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Theorem smflimsuplem7 46841
Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem7.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem7.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem7.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem7.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem7.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smflimsuplem7.e 𝐸 = (𝑘𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem7.h 𝐻 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem7 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem7
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem7.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
3 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → 𝜑)
4 rabidim2 45107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6 rabidim1 3459 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
7 eliun 4995 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
86, 7sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
10 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
11 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝜑
12 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑚lim sup
13 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
1412, 13nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
15 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚
1614, 15nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
1711, 16nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚(𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
18 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑛𝑍
19 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝑥
20 nfii1 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2119, 20nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2217, 18, 21nf3an 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
23 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)
2422, 23nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
25 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
26 smflimsuplem7.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 smflimsuplem7.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 = (ℤ𝑀)
29 smflimsuplem7.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑆 ∈ SAlg)
31 smflimsuplem7.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
3225, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
33 smflimsuplem7.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸 = (𝑘𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
34 smflimsuplem7.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3528uztrn2 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘𝑍)
36353ad2antl2 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘𝑍)
37 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
38 uzss 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑛))
39 iinss1 5007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
42 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
4341, 42sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
44433ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
4524, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 36, 37, 44smflimsuplem2 46836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘))
4645ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘))
47 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
48 eliin 4996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘))
5046, 49sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
51503exp 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))))
5210, 51reximdai 3261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)))
5352imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
54 eliun 4995 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
5553, 54sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
563, 5, 9, 55syl21anc 838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → 𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
577biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
586, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
5958adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
60 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
61 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
62 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
63 nfiu1 5027 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6462, 63nfrabw 3475 . . . . . . . . . . . 12 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6561, 64nfel 2920 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6660, 65nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
67 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
68 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
69 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝜑)
7069, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7169, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑆 ∈ SAlg)
7269, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
73 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
74 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑛𝑍)
75 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
7668, 22, 70, 28, 71, 72, 33, 34, 73, 74, 75smflimsuplem6 46840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
77763exp 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )))
785, 77syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )))
7966, 67, 78rexlimd 3266 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
8059, 79mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
8156, 80jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
82 rabid 3458 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↔ (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
8381, 82sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
8483ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
85 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
8728eluzelz2 45414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
8887uzidd 12894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
90 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑𝑛𝑍)
91 xrltso 13183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → < Or ℝ*)
9392supexd 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ V)
94 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
9590, 93, 94fnmptd 6709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) Fn (𝐸𝑛))
96 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
97 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑛 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑛))
9897mpteq1d 5237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑛 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
9998rneqd 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑛 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
10099supeq1d 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑛 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
10196, 100mpteq12dv 5233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐸𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
102 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐸𝑛) ∈ V
103102mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V
104101, 34, 103fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛𝑍 → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
106105fneq1d 6661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛) Fn (𝐸𝑛) ↔ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) Fn (𝐸𝑛)))
10795, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) Fn (𝐸𝑛))
108107fndmd 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐻𝑛) = (𝐸𝑛))
10997iineq1d 45095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑛 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
110109eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)))
111100eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
112110, 111anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)))
113112rabbidva2 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
115 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
116115mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
117116rneqd 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
118117supeq1d 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
119118eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
120119cbvrabv 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
12188ne0d 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
122 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑚) ∈ V
123122dmex 7931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom (𝐹𝑚) ∈ V
124123rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
126121, 125iinexd 45138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
127120, 126rabexd 5340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
12833, 113, 114, 127fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
130 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
132129, 131eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
133108, 132eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐻𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
134 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑛))
135134dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → dom (𝐻𝑘) = dom (𝐻𝑛))
136135sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ dom (𝐻𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)))
137136rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑛) ∧ dom (𝐻𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
13889, 133, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
139 iinss 5056 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
141140ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
142 ss2iun 5010 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
14486, 143sstrd 3994 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
14582simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
14654biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
148147adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
149 nfiu1 5027 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
15067, 149nfrabw 3475 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
15161, 150nfel 2920 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
15260, 151nfan 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
15382simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
154 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝜑
155 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥))
156 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘dom ⇝
157155, 156nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
158154, 157nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
159 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑛𝑍
160 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑥
161 nfii1 5029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
162160, 161nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
163158, 159, 162nf3an 1901 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
16426adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
1651643adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1661653adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
16729adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
1681673adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑆 ∈ SAlg)
1691683adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑆 ∈ SAlg)
17031adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1711703adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1721713adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
173 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑛𝑍)
174 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
175 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
176163, 166, 28, 169, 172, 33, 34, 173, 174, 175smflimsuplem4 46838 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
1771763exp 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)))
178153, 177sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)))
179152, 62, 178rexlimd 3266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → (∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
180148, 179mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
181180ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
182144, 181jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
183 nfrab1 3457 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
184 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
185183, 184ssrabf 45119 . . . . . . 7 ({𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ ({𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
186182, 185sylibr 234 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
187186sseld 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}))
18884, 187impbid 212 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
189188alrimiv 1927 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
190 nfrab1 3457 . . . 4 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
191190, 183cleqf 2934 . . 3 ({𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
192189, 191sylibr 234 . 2 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
1932, 192eqtrd 2777 1 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   ciun 4991   ciin 4992  cmpt 5225   Or wor 5591  dom cdm 5685  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  supcsup 9480  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cz 12613  cuz 12878  lim supclsp 15506  cli 15520  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  46842
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