Theorem op2ndd 7842

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6774	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 7840	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  2^nd c2nd 7830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-2nd 7832

This theorem is referenced by:  2nd2val  7860  xp2nd  7864  sbcopeq1a  7890  csbopeq1a  7891  eloprabi  7903  mpomptsx  7904  dmmpossx  7906  fmpox  7907  ovmptss  7933  fmpoco  7935  df2nd2  7939  frxp  7967  xporderlem  7968  fnwelem  7972  fimaproj  7976  xpf1o  8926  mapunen  8933  xpwdomg  9344  hsmexlem2  10183  nqereu  10685  uzrdgfni  13678  fsumcom2  15486  fprodcom2  15694  qredeu  16363  comfeq  17415  isfuncd  17580  cofucl  17603  funcres2b  17612  funcpropd  17616  xpcco2nd  17902  xpccatid  17905  1stf2  17910  2ndf2  17913  1stfcl  17914  2ndfcl  17915  prf2fval  17918  prfcl  17920  evlf2  17936  evlfcl  17940  curf12  17945  curf1cl  17946  curf2  17947  curfcl  17950  hof2fval  17973  hofcl  17977  txbas  22718  cnmpt2nd  22820  txhmeo  22954  ptuncnv  22958  ptunhmeo  22959  xpstopnlem1  22960  xkohmeo  22966  prdstmdd  23275  ucnimalem  23432  fmucndlem  23443  fsum2cn  24034  ovoliunlem1  24666  2sqreuop  26610  2sqreuopnn  26611  2sqreuoplt  26612  2sqreuopltb  26613  2sqreuopnnlt  26614  2sqreuopnnltb  26615  wlkl0  28731  fcnvgreu  31010  fsumiunle  31143  gsummpt2co  31308  gsumhashmul  31316  esumiun  32062  eulerpartlemgs2  32347  hgt750lemb  32636  satfv1  33325  satefvfmla0  33380  msubrsub  33488  msubco  33493  msubvrs  33522  sbcoteq1a  33687  xpord2lem  33789  xpord3lem  33795  naddcllem  33831  filnetlem4  34570  finixpnum  35762  poimirlem4  35781  poimirlem15  35792  poimirlem20  35797  poimirlem26  35803  heicant  35812  heiborlem4  35972  heiborlem6  35974  dicelvalN  39192  rmxypairf1o  40733  unxpwdom3  40920  fgraphxp  41036  elcnvlem  41209  dvnprodlem2  43488  etransclem46  43821  ovnsubaddlem1  44108  uspgrsprf  45308  uspgrsprf1  45309  dmmpossx2  45672  lmod1zr  45834  2arymaptf  45998  rrx2plordisom  46069  funcf2lem  46299