Theorem op2ndd 8025

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6906	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 8023	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	eqtrdi 2793	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  2^nd c2nd 8013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-2nd 8015

This theorem is referenced by:  2nd2val  8043  xp2nd  8047  sbcopeq1a  8074  csbopeq1a  8075  eloprabi  8088  mpomptsx  8089  dmmpossx  8091  fmpox  8092  ovmptss  8118  fmpoco  8120  df2nd2  8124  frxp  8151  xporderlem  8152  fnwelem  8156  fimaproj  8160  xpord2lem  8167  naddcllem  8714  xpf1o  9179  mapunen  9186  xpwdomg  9625  hsmexlem2  10467  nqereu  10969  uzrdgfni  13999  fsumcom2  15810  fprodcom2  16020  qredeu  16695  comfeq  17749  isfuncd  17910  cofucl  17933  funcres2b  17942  funcpropd  17947  xpcco2nd  18230  xpccatid  18233  1stf2  18238  2ndf2  18241  1stfcl  18242  2ndfcl  18243  prf2fval  18246  prfcl  18248  evlf2  18263  evlfcl  18267  curf12  18272  curf1cl  18273  curf2  18274  curfcl  18277  hof2fval  18300  hofcl  18304  txbas  23575  cnmpt2nd  23677  txhmeo  23811  ptuncnv  23815  ptunhmeo  23816  xpstopnlem1  23817  xkohmeo  23823  prdstmdd  24132  ucnimalem  24289  fmucndlem  24300  fsum2cn  24895  ovoliunlem1  25537  2sqreuop  27506  2sqreuopnn  27507  2sqreuoplt  27508  2sqreuopltb  27509  2sqreuopnnlt  27510  2sqreuopnnltb  27511  noseqrdgfn  28312  wlkl0  30386  fcnvgreu  32683  fsumiunle  32831  gsummpt2co  33051  gsumhashmul  33064  gsumwrd2dccatlem  33069  gsumwrd2dccat  33070  elrgspnlem2  33247  elrgspnsubrunlem2  33252  esumiun  34095  eulerpartlemgs2  34382  hgt750lemb  34671  satfv1  35368  satefvfmla0  35423  msubrsub  35531  msubco  35536  msubvrs  35565  filnetlem4  36382  finixpnum  37612  poimirlem4  37631  poimirlem15  37642  poimirlem20  37647  poimirlem26  37653  heicant  37662  heiborlem4  37821  heiborlem6  37823  dicelvalN  41180  aks6d1c2p1  42119  aks6d1c3  42124  aks6d1c4  42125  aks6d1c6lem2  42172  aks6d1c6lem4  42174  aks6d1c7lem1  42181  fmpocos  42275  rmxypairf1o  42923  unxpwdom3  43107  fgraphxp  43216  elcnvlem  43614  dvnprodlem2  45962  etransclem46  46295  ovnsubaddlem1  46585  gpgvtxel2  48006  gpgvtx0  48008  gpgvtx1  48009  gpgedgvtx0  48019  gpgedgvtx1  48020  gpgvtxedg0  48021  gpgvtxedg1  48022  uspgrsprf  48062  uspgrsprf1  48063  dmmpossx2  48253  lmod1zr  48410  2arymaptf  48573  rrx2plordisom  48644  funcf2lem  48914  tposcurf1  48999