Theorem op2ndd 8000

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 7998	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	eqtrdi 2813	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  2^nd c2nd 7988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-2nd 7990

This theorem is used by:  2nd2val  8018  xp2nd  8022  sbcopeq1a  8049  csbopeq1a  8050  eloprabi  8063  mpomptsx  8064  dmmpossx  8066  fmpox  8067  ovmptss  8093  fmpoco  8095  df2nd2  8099  frxp  8127  xporderlem  8128  fnwelem  8132  fimaproj  8136  xpord2lem  8143  naddcllem  8667  xpf1o  9140  mapunen  9147  xpwdomg  9560  hsmexlem2  10432  nqereu  10941  uzrdgfni  14024  fsumcom2  15862  fprodcom2  16075  qredeu  16752  comfeq  17798  isfuncd  17958  cofucl  17981  funcres2b  17990  funcpropd  17995  xpcco2nd  18277  xpccatid  18280  1stf2  18285  2ndf2  18288  1stfcl  18289  2ndfcl  18290  prf2fval  18293  prfcl  18295  evlf2  18310  evlfcl  18314  curf12  18319  curf1cl  18320  curf2  18321  curfcl  18324  hof2fval  18347  hofcl  18351  txbas  23797  cnmpt2nd  23899  txhmeo  24033  ptuncnv  24037  ptunhmeo  24038  xpstopnlem1  24039  xkohmeo  24045  prdstmdd  24354  ucnimalem  24509  fmucndlem  24520  fsum2cn  25103  ovoliunlem1  25734  2sqreuop  27699  2sqreuopnn  27700  2sqreuoplt  27701  2sqreuopltb  27702  2sqreuopnnlt  27703  2sqreuopnnltb  27704  noseqrdgfn  28572  wlkl0  30848  fcnvgreu  33147  fsumiunle  33301  gsummpt2co  33490  gsumhashmul  33509  gsumwrd2dccatlem  33519  gsumwrd2dccat  33520  conjga  33612  elrgspnlem2  33685  elrgspnsubrunlem2  33690  mplvrpmga  34057  esumiun  34606  eulerpartlemgs2  34893  hgt750lemb  35166  satfv1  35944  satefvfmla0  35999  msubrsub  36107  msubco  36112  msubvrs  36141  nmulprop  36772  filnetlem4  37002  finixpnum  38361  poimirlem4  38375  poimirlem15  38386  poimirlem20  38391  poimirlem26  38397  heicant  38406  heiborlem4  38566  heiborlem6  38568  dicelvalN  42053  aks6d1c2p1  42986  aks6d1c3  42991  aks6d1c4  42992  aks6d1c6lem2  43039  aks6d1c6lem4  43041  aks6d1c7lem1  43048  fmpocos  43105  rmxypairf1o  43754  unxpwdom3  43938  fgraphxp  44047  elcnvlem  44443  dvnprodlem2  46777  etransclem46  47110  ovnsubaddlem1  47400  gpgvtxel2  48966  gpgvtx0  48971  gpgvtx1  48972  gpgedgvtx0  48979  gpgedgvtx1  48980  gpgvtxedg0  48981  gpgvtxedg1  48982  pgnbgreunbgrlem1  49031  pgnbgreunbgrlem2  49035  pgnbgreunbgrlem4  49037  pgnbgreunbgrlem5  49041  uspgrsprf  49064  uspgrsprf1  49065  dmmpossx2  49269  lmod1zr  49425  2arymaptf  49584  rrx2plordisom  49655  eloprab1st2nd  49798  funcf2lem  50009  oppf2  50068  tposcurf1  50227  reldmprcof2  50310  opf12  50332  setc1ocofval  50422