Theorem op2ndd 7979

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6858	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 7977	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  2^nd c2nd 7967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-2nd 7969

This theorem is referenced by:  2nd2val  7997  xp2nd  8001  sbcopeq1a  8028  csbopeq1a  8029  eloprabi  8042  mpomptsx  8043  dmmpossx  8045  fmpox  8046  ovmptss  8072  fmpoco  8074  df2nd2  8078  frxp  8105  xporderlem  8106  fnwelem  8110  fimaproj  8114  xpord2lem  8121  naddcllem  8640  xpf1o  9103  mapunen  9110  xpwdomg  9538  hsmexlem2  10380  nqereu  10882  uzrdgfni  13923  fsumcom2  15740  fprodcom2  15950  qredeu  16628  comfeq  17667  isfuncd  17827  cofucl  17850  funcres2b  17859  funcpropd  17864  xpcco2nd  18146  xpccatid  18149  1stf2  18154  2ndf2  18157  1stfcl  18158  2ndfcl  18159  prf2fval  18162  prfcl  18164  evlf2  18179  evlfcl  18183  curf12  18188  curf1cl  18189  curf2  18190  curfcl  18193  hof2fval  18216  hofcl  18220  txbas  23454  cnmpt2nd  23556  txhmeo  23690  ptuncnv  23694  ptunhmeo  23695  xpstopnlem1  23696  xkohmeo  23702  prdstmdd  24011  ucnimalem  24167  fmucndlem  24178  fsum2cn  24762  ovoliunlem1  25403  2sqreuop  27373  2sqreuopnn  27374  2sqreuoplt  27375  2sqreuopltb  27376  2sqreuopnnlt  27377  2sqreuopnnltb  27378  noseqrdgfn  28200  wlkl0  30296  fcnvgreu  32597  fsumiunle  32754  gsummpt2co  32988  gsumhashmul  33001  gsumwrd2dccatlem  33006  gsumwrd2dccat  33007  conjga  33127  elrgspnlem2  33194  elrgspnsubrunlem2  33199  esumiun  34084  eulerpartlemgs2  34371  hgt750lemb  34647  satfv1  35350  satefvfmla0  35405  msubrsub  35513  msubco  35518  msubvrs  35547  filnetlem4  36369  finixpnum  37599  poimirlem4  37618  poimirlem15  37629  poimirlem20  37634  poimirlem26  37640  heicant  37649  heiborlem4  37808  heiborlem6  37810  dicelvalN  41172  aks6d1c2p1  42106  aks6d1c3  42111  aks6d1c4  42112  aks6d1c6lem2  42159  aks6d1c6lem4  42161  aks6d1c7lem1  42168  fmpocos  42222  rmxypairf1o  42900  unxpwdom3  43084  fgraphxp  43193  elcnvlem  43590  dvnprodlem2  45945  etransclem46  46278  ovnsubaddlem1  46568  gpgvtxel2  48039  gpgvtx0  48044  gpgvtx1  48045  gpgedgvtx0  48052  gpgedgvtx1  48053  gpgvtxedg0  48054  gpgvtxedg1  48055  pgnbgreunbgrlem1  48103  pgnbgreunbgrlem2  48107  pgnbgreunbgrlem4  48109  pgnbgreunbgrlem5  48113  uspgrsprf  48134  uspgrsprf1  48135  dmmpossx2  48325  lmod1zr  48482  2arymaptf  48641  rrx2plordisom  48712  eloprab1st2nd  48856  funcf2lem  49070  oppf2  49129  tposcurf1  49288  reldmprcof2  49371  opf12  49393  setc1ocofval  49483