Theorem op2ndd 7941

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6831	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 7939	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	eqtrdi 2784	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ⟨cop 4583  ‘cfv 6489  2^nd c2nd 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-2nd 7931

This theorem is referenced by:  2nd2val  7959  xp2nd  7963  sbcopeq1a  7990  csbopeq1a  7991  eloprabi  8004  mpomptsx  8005  dmmpossx  8007  fmpox  8008  ovmptss  8032  fmpoco  8034  df2nd2  8038  frxp  8065  xporderlem  8066  fnwelem  8070  fimaproj  8074  xpord2lem  8081  naddcllem  8600  xpf1o  9062  mapunen  9069  xpwdomg  9481  hsmexlem2  10328  nqereu  10830  uzrdgfni  13875  fsumcom2  15691  fprodcom2  15901  qredeu  16579  comfeq  17622  isfuncd  17782  cofucl  17805  funcres2b  17814  funcpropd  17819  xpcco2nd  18101  xpccatid  18104  1stf2  18109  2ndf2  18112  1stfcl  18113  2ndfcl  18114  prf2fval  18117  prfcl  18119  evlf2  18134  evlfcl  18138  curf12  18143  curf1cl  18144  curf2  18145  curfcl  18148  hof2fval  18171  hofcl  18175  txbas  23492  cnmpt2nd  23594  txhmeo  23728  ptuncnv  23732  ptunhmeo  23733  xpstopnlem1  23734  xkohmeo  23740  prdstmdd  24049  ucnimalem  24204  fmucndlem  24215  fsum2cn  24799  ovoliunlem1  25440  2sqreuop  27410  2sqreuopnn  27411  2sqreuoplt  27412  2sqreuopltb  27413  2sqreuopnnlt  27414  2sqreuopnnltb  27415  noseqrdgfn  28246  wlkl0  30358  fcnvgreu  32666  fsumiunle  32823  gsummpt2co  33039  gsumhashmul  33052  gsumwrd2dccatlem  33057  gsumwrd2dccat  33058  conjga  33150  elrgspnlem2  33221  elrgspnsubrunlem2  33226  mplvrpmga  33586  esumiun  34118  eulerpartlemgs2  34404  hgt750lemb  34680  satfv1  35418  satefvfmla0  35473  msubrsub  35581  msubco  35586  msubvrs  35615  filnetlem4  36436  finixpnum  37655  poimirlem4  37674  poimirlem15  37685  poimirlem20  37690  poimirlem26  37696  heicant  37705  heiborlem4  37864  heiborlem6  37866  dicelvalN  41287  aks6d1c2p1  42221  aks6d1c3  42226  aks6d1c4  42227  aks6d1c6lem2  42274  aks6d1c6lem4  42276  aks6d1c7lem1  42283  fmpocos  42342  rmxypairf1o  43018  unxpwdom3  43202  fgraphxp  43311  elcnvlem  43708  dvnprodlem2  46059  etransclem46  46392  ovnsubaddlem1  46682  gpgvtxel2  48162  gpgvtx0  48167  gpgvtx1  48168  gpgedgvtx0  48175  gpgedgvtx1  48176  gpgvtxedg0  48177  gpgvtxedg1  48178  pgnbgreunbgrlem1  48227  pgnbgreunbgrlem2  48231  pgnbgreunbgrlem4  48233  pgnbgreunbgrlem5  48237  uspgrsprf  48260  uspgrsprf1  48261  dmmpossx2  48451  lmod1zr  48608  2arymaptf  48767  rrx2plordisom  48838  eloprab1st2nd  48982  funcf2lem  49196  oppf2  49255  tposcurf1  49414  reldmprcof2  49497  opf12  49519  setc1ocofval  49609