Theorem op2ndd 7815

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6756	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 7813	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  2^nd c2nd 7803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-2nd 7805

This theorem is referenced by:  2nd2val  7833  xp2nd  7837  sbcopeq1a  7863  csbopeq1a  7864  eloprabi  7876  mpomptsx  7877  dmmpossx  7879  fmpox  7880  ovmptss  7904  fmpoco  7906  df2nd2  7910  frxp  7938  xporderlem  7939  fnwelem  7943  fimaproj  7947  xpf1o  8875  mapunen  8882  xpwdomg  9274  hsmexlem2  10114  nqereu  10616  uzrdgfni  13606  fsumcom2  15414  fprodcom2  15622  qredeu  16291  comfeq  17332  isfuncd  17496  cofucl  17519  funcres2b  17528  funcpropd  17532  xpcco2nd  17818  xpccatid  17821  1stf2  17826  2ndf2  17829  1stfcl  17830  2ndfcl  17831  prf2fval  17834  prfcl  17836  evlf2  17852  evlfcl  17856  curf12  17861  curf1cl  17862  curf2  17863  curfcl  17866  hof2fval  17889  hofcl  17893  txbas  22626  cnmpt2nd  22728  txhmeo  22862  ptuncnv  22866  ptunhmeo  22867  xpstopnlem1  22868  xkohmeo  22874  prdstmdd  23183  ucnimalem  23340  fmucndlem  23351  fsum2cn  23940  ovoliunlem1  24571  2sqreuop  26515  2sqreuopnn  26516  2sqreuoplt  26517  2sqreuopltb  26518  2sqreuopnnlt  26519  2sqreuopnnltb  26520  wlkl0  28632  fcnvgreu  30912  fsumiunle  31045  gsummpt2co  31210  gsumhashmul  31218  esumiun  31962  eulerpartlemgs2  32247  hgt750lemb  32536  satfv1  33225  satefvfmla0  33280  msubrsub  33388  msubco  33393  msubvrs  33422  sbcoteq1a  33590  xpord2lem  33716  xpord3lem  33722  naddcllem  33758  filnetlem4  34497  finixpnum  35689  poimirlem4  35708  poimirlem15  35719  poimirlem20  35724  poimirlem26  35730  heicant  35739  heiborlem4  35899  heiborlem6  35901  dicelvalN  39119  rmxypairf1o  40649  unxpwdom3  40836  fgraphxp  40952  elcnvlem  41098  dvnprodlem2  43378  etransclem46  43711  ovnsubaddlem1  43998  uspgrsprf  45196  uspgrsprf1  45197  dmmpossx2  45560  lmod1zr  45722  2arymaptf  45886  rrx2plordisom  45957  funcf2lem  46187