Theorem op2ndd 8041

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6920	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 8039	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	eqtrdi 2796	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  2^nd c2nd 8029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-2nd 8031

This theorem is referenced by:  2nd2val  8059  xp2nd  8063  sbcopeq1a  8090  csbopeq1a  8091  eloprabi  8104  mpomptsx  8105  dmmpossx  8107  fmpox  8108  ovmptss  8134  fmpoco  8136  df2nd2  8140  frxp  8167  xporderlem  8168  fnwelem  8172  fimaproj  8176  xpord2lem  8183  naddcllem  8732  xpf1o  9205  mapunen  9212  xpwdomg  9654  hsmexlem2  10496  nqereu  10998  uzrdgfni  14009  fsumcom2  15822  fprodcom2  16032  qredeu  16705  comfeq  17764  isfuncd  17929  cofucl  17952  funcres2b  17961  funcpropd  17967  xpcco2nd  18254  xpccatid  18257  1stf2  18262  2ndf2  18265  1stfcl  18266  2ndfcl  18267  prf2fval  18270  prfcl  18272  evlf2  18288  evlfcl  18292  curf12  18297  curf1cl  18298  curf2  18299  curfcl  18302  hof2fval  18325  hofcl  18329  txbas  23596  cnmpt2nd  23698  txhmeo  23832  ptuncnv  23836  ptunhmeo  23837  xpstopnlem1  23838  xkohmeo  23844  prdstmdd  24153  ucnimalem  24310  fmucndlem  24321  fsum2cn  24914  ovoliunlem1  25556  2sqreuop  27524  2sqreuopnn  27525  2sqreuoplt  27526  2sqreuopltb  27527  2sqreuopnnlt  27528  2sqreuopnnltb  27529  noseqrdgfn  28330  wlkl0  30399  fcnvgreu  32691  fsumiunle  32833  gsummpt2co  33031  gsumhashmul  33040  esumiun  34058  eulerpartlemgs2  34345  hgt750lemb  34633  satfv1  35331  satefvfmla0  35386  msubrsub  35494  msubco  35499  msubvrs  35528  filnetlem4  36347  finixpnum  37565  poimirlem4  37584  poimirlem15  37595  poimirlem20  37600  poimirlem26  37606  heicant  37615  heiborlem4  37774  heiborlem6  37776  dicelvalN  41135  aks6d1c2p1  42075  aks6d1c3  42080  aks6d1c4  42081  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem4  42130  aks6d1c7lem1  42137  fmpocos  42229  rmxypairf1o  42868  unxpwdom3  43052  fgraphxp  43165  elcnvlem  43563  dvnprodlem2  45868  etransclem46  46201  ovnsubaddlem1  46491  uspgrsprf  47869  uspgrsprf1  47870  dmmpossx2  48061  lmod1zr  48222  2arymaptf  48386  rrx2plordisom  48457  funcf2lem  48685