Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvposle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvposle 34142
Description: Functions with a nonnegative derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
fdvposlt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
fdvposlt.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvposle.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fdvposle.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fdvposle (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem fdvposle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13416 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3 ioombl 25449 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
5 fdvposlt.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
6 cncff 24768 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
87adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
9 fdvposlt.d . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
10 fdvposlt.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
11 fdvposlt.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
129, 10, 11fct2relem 34138 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸)
1312sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
148, 13ffvelcdmd 7081 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
15 ioossre 13391 . . . . . . . 8 (𝐢(,)𝐷) βŠ† ℝ
169, 15eqsstri 4011 . . . . . . 7 𝐸 βŠ† ℝ
1716, 10sselid 3975 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1816, 11sselid 3975 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
19 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
20 ssid 3999 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
21 cncfss 24774 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2219, 20, 21mp2an 689 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
237, 12feqresmpt 6955 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
24 rescncf 24772 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸 β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)))
2512, 5, 24sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2623, 25eqeltrrd 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2722, 26sselid 3975 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
28 cniccibl 25725 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
2917, 18, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
302, 4, 14, 29iblss 25689 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
317adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
322sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3332, 13syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
3431, 33ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
35 fdvposle.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
3630, 34, 35itgge0 25695 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
37 fdvposle.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
38 fdvposlt.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
39 fss 6728 . . . . 5 ((𝐹:πΈβŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„‚)
4038, 19, 39sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„‚)
41 cncfss 24774 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚))
4219, 20, 41mp2an 689 . . . . 5 (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚)
4342, 5sselid 3975 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
449, 10, 11, 37, 40, 43ftc2re 34139 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
4536, 44breqtrd 5167 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
4638, 11ffvelcdmd 7081 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4738, 10ffvelcdmd 7081 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4846, 47subge0d 11808 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅)))
4945, 48mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  β€“cnβ†’ccncf 24751  volcvol 25347  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  fdvnegge  34143
  Copyright terms: Public domain W3C validator