Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvposle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvposle 33254
Description: Functions with a nonnegative derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
fdvposlt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
fdvposlt.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvposle.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fdvposle.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fdvposle (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem fdvposle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13357 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3 ioombl 24945 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
5 fdvposlt.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
6 cncff 24272 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
87adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
9 fdvposlt.d . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
10 fdvposlt.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
11 fdvposlt.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
129, 10, 11fct2relem 33250 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸)
1312sselda 3949 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
148, 13ffvelcdmd 7041 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
15 ioossre 13332 . . . . . . . 8 (𝐢(,)𝐷) βŠ† ℝ
169, 15eqsstri 3983 . . . . . . 7 𝐸 βŠ† ℝ
1716, 10sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1816, 11sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
19 ax-resscn 11115 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
20 ssid 3971 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
21 cncfss 24278 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2219, 20, 21mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
237, 12feqresmpt 6916 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
24 rescncf 24276 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸 β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)))
2512, 5, 24sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2623, 25eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2722, 26sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
28 cniccibl 25221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
2917, 18, 27, 28syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
302, 4, 14, 29iblss 25185 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
317adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
322sselda 3949 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3332, 13syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
3431, 33ffvelcdmd 7041 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
35 fdvposle.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
3630, 34, 35itgge0 25191 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
37 fdvposle.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
38 fdvposlt.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
39 fss 6690 . . . . 5 ((𝐹:πΈβŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„‚)
4038, 19, 39sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„‚)
41 cncfss 24278 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚))
4219, 20, 41mp2an 691 . . . . 5 (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚)
4342, 5sselid 3947 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
449, 10, 11, 37, 40, 43ftc2re 33251 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
4536, 44breqtrd 5136 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
4638, 11ffvelcdmd 7041 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4738, 10ffvelcdmd 7041 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4846, 47subge0d 11752 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅)))
4945, 48mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fdvnegge  33255
  Copyright terms: Public domain W3C validator