Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvposle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvposle 34274
Description: Functions with a nonnegative derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
fdvposlt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
fdvposlt.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvposle.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fdvposle.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
fdvposle (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem fdvposle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13452 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3 ioombl 25522 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
5 fdvposlt.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
6 cncff 24841 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
87adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
9 fdvposlt.d . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
10 fdvposlt.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
11 fdvposlt.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
129, 10, 11fct2relem 34270 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸)
1312sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
148, 13ffvelcdmd 7100 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
15 ioossre 13427 . . . . . . . 8 (𝐢(,)𝐷) βŠ† ℝ
169, 15eqsstri 4016 . . . . . . 7 𝐸 βŠ† ℝ
1716, 10sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1816, 11sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
19 ax-resscn 11205 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
20 ssid 4004 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
21 cncfss 24847 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2219, 20, 21mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
237, 12feqresmpt 6973 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
24 rescncf 24845 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸 β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)))
2512, 5, 24sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2623, 25eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2722, 26sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
28 cniccibl 25798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
2917, 18, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
302, 4, 14, 29iblss 25762 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
317adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
322sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3332, 13syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
3431, 33ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
35 fdvposle.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
3630, 34, 35itgge0 25768 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
37 fdvposle.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
38 fdvposlt.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
39 fss 6744 . . . . 5 ((𝐹:πΈβŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„‚)
4038, 19, 39sylancl 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„‚)
41 cncfss 24847 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚))
4219, 20, 41mp2an 690 . . . . 5 (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚)
4342, 5sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
449, 10, 11, 37, 40, 43ftc2re 34271 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
4536, 44breqtrd 5178 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
4638, 11ffvelcdmd 7100 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4738, 10ffvelcdmd 7100 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4846, 47subge0d 11844 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅)))
4945, 48mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  (,)cioo 13366  [,]cicc 13369  β€“cnβ†’ccncf 24824  volcvol 25420  πΏ1cibl 25574  βˆ«citg 25575   D cdv 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4245  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-cmp 23319  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-itg 25580  df-0p 25627  df-limc 25823  df-dv 25824
This theorem is referenced by:  fdvnegge  34275
  Copyright terms: Public domain W3C validator