Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvposle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvposle 32154
Description: Functions with a nonnegative derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a (𝜑𝐴𝐸)
fdvposlt.b (𝜑𝐵𝐸)
fdvposlt.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
fdvposle.le (𝜑𝐴𝐵)
fdvposle.1 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
fdvposle (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvposle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12910 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3 ioombl 24320 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5 fdvposlt.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
6 cncff 23648 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
87adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
9 fdvposlt.d . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
10 fdvposlt.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐸)
11 fdvposlt.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐸)
129, 10, 11fct2relem 32150 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
1312sselda 3878 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐸)
148, 13ffvelrnd 6865 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
15 ioossre 12885 . . . . . . . 8 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
169, 15eqsstri 3912 . . . . . . 7 𝐸 ⊆ ℝ
1716, 10sseldi 3876 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1816, 11sseldi 3876 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
19 ax-resscn 10675 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
20 ssid 3900 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
21 cncfss 23654 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2219, 20, 21mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
237, 12feqresmpt 6741 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
24 rescncf 23652 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
2512, 5, 24sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2623, 25eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2722, 26sseldi 3876 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
28 cniccibl 24596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
2917, 18, 27, 28syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
302, 4, 14, 29iblss 24560 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
317adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
322sselda 3878 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3332, 13syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐸)
3431, 33ffvelrnd 6865 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
35 fdvposle.1 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
3630, 34, 35itgge0 24566 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥)
37 fdvposle.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
38 fdvposlt.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
39 fss 6522 . . . . 5 ((𝐹:𝐸⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐸⟶ℂ)
4038, 19, 39sylancl 589 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
41 cncfss 23654 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ))
4219, 20, 41mp2an 692 . . . . 5 (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ)
4342, 5sseldi 3876 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
449, 10, 11, 37, 40, 43ftc2re 32151 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
4536, 44breqtrd 5057 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
4638, 11ffvelrnd 6865 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
4738, 10ffvelrnd 6865 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
4846, 47subge0d 11311 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
4945, 48mpbid 235 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3844   class class class wbr 5031  cmpt 5111  dom cdm 5526  cres 5528  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  cc 10616  cr 10617  0cc0 10618  cle 10757  cmin 10951  (,)cioo 12824  [,]cicc 12827  cnccncf 23631  volcvol 24218  𝐿1cibl 24372  citg 24373   D cdv 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cc 9938  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696  ax-addf 10697  ax-mulf 10698
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-symdif 4134  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-ofr 7429  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-supp 7860  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-2o 8135  df-oadd 8138  df-omul 8139  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-ixp 8511  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fsupp 8910  df-fi 8951  df-sup 8982  df-inf 8983  df-oi 9050  df-dju 9406  df-card 9444  df-acn 9447  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-xneg 12593  df-xadd 12594  df-xmul 12595  df-ioo 12828  df-ioc 12829  df-ico 12830  df-icc 12831  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-fl 13256  df-mod 13332  df-seq 13464  df-exp 13525  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-limsup 14921  df-clim 14938  df-rlim 14939  df-sum 15139  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-starv 16686  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-ip 16689  df-tset 16690  df-ple 16691  df-ds 16693  df-unif 16694  df-hom 16695  df-cco 16696  df-rest 16802  df-topn 16803  df-0g 16821  df-gsum 16822  df-topgen 16823  df-pt 16824  df-prds 16827  df-xrs 16881  df-qtop 16886  df-imas 16887  df-xps 16889  df-mre 16963  df-mrc 16964  df-acs 16966  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-submnd 18076  df-mulg 18346  df-cntz 18568  df-cmn 19029  df-psmet 20212  df-xmet 20213  df-met 20214  df-bl 20215  df-mopn 20216  df-fbas 20217  df-fg 20218  df-cnfld 20221  df-top 21648  df-topon 21665  df-topsp 21687  df-bases 21700  df-cld 21773  df-ntr 21774  df-cls 21775  df-nei 21852  df-lp 21890  df-perf 21891  df-cn 21981  df-cnp 21982  df-haus 22069  df-cmp 22141  df-tx 22316  df-hmeo 22509  df-fil 22600  df-fm 22692  df-flim 22693  df-flf 22694  df-xms 23076  df-ms 23077  df-tms 23078  df-cncf 23633  df-ovol 24219  df-vol 24220  df-mbf 24374  df-itg1 24375  df-itg2 24376  df-ibl 24377  df-itg 24378  df-0p 24425  df-limc 24621  df-dv 24622
This theorem is referenced by:  fdvnegge  32155
  Copyright terms: Public domain W3C validator