Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2re 33211
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part two, for functions continuous on 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2re.e 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a (𝜑𝐴𝐸)
ftc2re.b (𝜑𝐵𝐸)
ftc2re.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc2re.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
ftc2re.1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2re (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝐸(𝑡)

Proof of Theorem ftc2re
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc2re.e . . . . . 6 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2 ioossre 13325 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3978 . . . . 5 𝐸 ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 ⊆ ℝ)
5 ftc2re.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐸)
64, 5sseldd 3945 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 ftc2re.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
84, 7sseldd 3945 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9 ftc2re.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
10 ax-resscn 11108 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
12 ftc2re.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
13 iccssre 13346 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
146, 8, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615tgioo2 24166 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1715, 16dvres 25275 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐸⟶ℂ) ∧ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
1811, 12, 4, 14, 17syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
19 iccntr 24184 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
206, 8, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2120reseq2d 5937 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
2218, 21eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
23 ioossicc 13350 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
251, 5, 7fct2relem 33210 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
2624, 25sstrd 3954 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
27 ftc2re.1 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
28 rescncf 24260 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
2926, 27, 28sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
3022, 29eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
31 ioombl 24929 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
33 cnmbf 25023 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn)
3432, 29, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn)
35 dmres 5959 . . . . . . 7 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
3635fveq2i 6845 . . . . . 6 (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
37 cncff 24256 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℂ)
3827, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℂ)
3938fdmd 6679 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝐸)
4039ineq2d 4172 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸))
41 df-ss 3927 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸) = (𝐴(,)𝐵))
4226, 41sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸) = (𝐴(,)𝐵))
4340, 42eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐵))
4443fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
45 volioo 24933 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
466, 8, 9, 45syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
478, 6resubcld 11583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4846, 47eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
4944, 48eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))) ∈ ℝ)
5036, 49eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) ∈ ℝ)
51 rescncf 24260 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
5225, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
5327, 52mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54 cniccbdd 24825 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
556, 8, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
5635, 43eqtrid 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5756, 24eqsstrd 3982 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
58 ssralv 4010 . . . . . . . . . 10 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
6059adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
6157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
6261sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
65 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
6656ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
6765, 66eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
68 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
7064, 69eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦))
7170fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)))
7271breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7372biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7473ralimdva 3164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7560, 74syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7675reximdva 3165 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7755, 76mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
78 bddibl 25204 . . . . 5 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐿1)
7934, 50, 77, 78syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐿1)
8022, 79eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ 𝐿1)
81 dvcn 25285 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐸⟶ℂ ∧ 𝐸 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = 𝐸) → 𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ))
8211, 12, 4, 39, 81syl31anc 1373 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ))
83 rescncf 24260 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → (𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
8425, 83syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
8582, 84mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
866, 8, 9, 30, 80, 85ftc2 25408 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)))
8722fveq1d 6844 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡))
88 fvres 6861 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
8987, 88sylan9eq 2796 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
9089ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
91 itgeq2 25142 . . 3 (∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
9290, 91syl 17 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
936rexrd 11205 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
948rexrd 11205 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
95 ubicc2 13382 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9693, 94, 9, 95syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9796fvresd 6862 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
98 lbicc2 13381 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9993, 94, 9, 98syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10099fvresd 6862 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
10197, 100oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
10286, 92, 1013eqtr3d 2784 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  𝐿1cibl 24981  citg 24982   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fdvposlt  33212  fdvposle  33214  itgexpif  33219
  Copyright terms: Public domain W3C validator