Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2re 34592
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part two, for functions continuous on 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2re.e 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a (𝜑𝐴𝐸)
ftc2re.b (𝜑𝐵𝐸)
ftc2re.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc2re.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
ftc2re.1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2re (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝐸(𝑡)

Proof of Theorem ftc2re
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc2re.e . . . . . 6 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2 ioossre 13445 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 4030 . . . . 5 𝐸 ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 ⊆ ℝ)
5 ftc2re.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐸)
64, 5sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 ftc2re.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
84, 7sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9 ftc2re.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
10 ax-resscn 11210 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
12 ftc2re.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
13 iccssre 13466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
146, 8, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15 eqid 2735 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615tgioo2 24839 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1715, 16dvres 25961 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐸⟶ℂ) ∧ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
1811, 12, 4, 14, 17syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
19 iccntr 24857 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
206, 8, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2120reseq2d 6000 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
2218, 21eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
23 ioossicc 13470 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
251, 5, 7fct2relem 34591 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
2624, 25sstrd 4006 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
27 ftc2re.1 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
28 rescncf 24937 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
2926, 27, 28sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
3022, 29eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
31 ioombl 25614 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
33 cnmbf 25708 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn)
3432, 29, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn)
35 dmres 6032 . . . . . . 7 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
3635fveq2i 6910 . . . . . 6 (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
37 cncff 24933 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℂ)
3827, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℂ)
3938fdmd 6747 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝐸)
4039ineq2d 4228 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸))
41 dfss2 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸) = (𝐴(,)𝐵))
4226, 41sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸) = (𝐴(,)𝐵))
4340, 42eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐵))
4443fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
45 volioo 25618 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
466, 8, 9, 45syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
478, 6resubcld 11689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4846, 47eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
4944, 48eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))) ∈ ℝ)
5036, 49eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) ∈ ℝ)
51 rescncf 24937 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
5225, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
5327, 52mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54 cniccbdd 25510 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
556, 8, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
5635, 43eqtrid 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5756, 24eqsstrd 4034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
58 ssralv 4064 . . . . . . . . . 10 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
6059adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
6157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
6261sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 fvres 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
65 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
6656ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
6765, 66eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
68 fvres 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
7064, 69eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦))
7170fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)))
7271breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7372biimpd 229 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7473ralimdva 3165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7560, 74syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7675reximdva 3166 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7755, 76mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
78 bddibl 25890 . . . . 5 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐿1)
7934, 50, 77, 78syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐿1)
8022, 79eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ 𝐿1)
81 dvcn 25972 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐸⟶ℂ ∧ 𝐸 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = 𝐸) → 𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ))
8211, 12, 4, 39, 81syl31anc 1372 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ))
83 rescncf 24937 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → (𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
8425, 83syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
8582, 84mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
866, 8, 9, 30, 80, 85ftc2 26100 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)))
8722fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡))
88 fvres 6926 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
8987, 88sylan9eq 2795 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
9089ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
91 itgeq2 25828 . . 3 (∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
9290, 91syl 17 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
936rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
948rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
95 ubicc2 13502 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9693, 94, 9, 95syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9796fvresd 6927 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
98 lbicc2 13501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9993, 94, 9, 98syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10099fvresd 6927 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
10197, 100oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
10286, 92, 1013eqtr3d 2783 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  abscabs 15270  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  intcnt 23041  cnccncf 24916  volcvol 25512  MblFncmbf 25663  𝐿1cibl 25666  citg 25667   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  fdvposlt  34593  fdvposle  34595  itgexpif  34600
  Copyright terms: Public domain W3C validator