Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvneggt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvneggt 31956
Description: Functions with a negative derivative, i.e. monotonously decreasing functions, inverse strict ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a (𝜑𝐴𝐸)
fdvposlt.b (𝜑𝐵𝐸)
fdvposlt.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
fdvneggt.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
fdvneggt.1 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < 0)
Assertion
Ref Expression
fdvneggt (𝜑 → (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvneggt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
54ffvelrnda 6844 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
65renegcld 11067 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐸) → -(𝐹𝑦) ∈ ℝ)
76fmpttd 6872 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)):𝐸⟶ℝ)
8 reelprrecn 10629 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10 ax-resscn 10594 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1110, 5sseldi 3951 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
12 fvexd 6678 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ V)
134feqmptd 6726 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦)))
1413oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))))
15 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
16 cncff 23507 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1817feqmptd 6726 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
1914, 18eqtr3d 2861 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
209, 11, 12, 19dvmptneg 24578 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
2117ffvelrnda 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
2221renegcld 11067 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐸) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
2322fmpttd 6872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ)
24 ssid 3975 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
25 cncfss 23513 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ))
2610, 24, 25mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ)
2726, 15sseldi 3951 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
28 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
2928negfcncf 23537 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
31 cncffvrn 23512 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3210, 30, 31sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3323, 32mpbird 260 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ))
3420, 33eqeltrd 2916 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) ∈ (𝐸cn→ℝ))
35 fdvneggt.lt . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
36 fdvneggt.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < 0)
3717adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
38 ioossicc 12822 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
401, 2, 3fct2relem 31953 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
4139, 40sstrd 3963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
4241sselda 3953 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐸)
4337, 42ffvelrnd 6845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
4443lt0neg1d 11209 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
4536, 44mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
4620adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4746fveq1d 6665 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥))
4828a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
49 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
5049fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5150negeqd 10880 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5243renegcld 11067 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
5348, 51, 42, 52fvmptd 6768 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5447, 53eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5545, 54breqtrrd 5081 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥))
561, 2, 3, 7, 34, 35, 55fdvposlt 31955 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
57 eqidd 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))
58 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
5958fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
6059negeqd 10880 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
614, 2ffvelrnd 6845 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6261renegcld 11067 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6357, 60, 2, 62fvmptd 6768 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
64 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
6564fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
6665negeqd 10880 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
674, 3ffvelrnd 6845 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
6867renegcld 11067 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
6957, 66, 3, 68fvmptd 6768 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
7056, 63, 693brtr3d 5084 . 2 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -(𝐹𝐵))
7167, 61ltnegd 11218 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -(𝐹𝐵)))
7270, 71mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  {cpr 4552   class class class wbr 5053  cmpt 5133  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537   < clt 10675  -cneg 10871  (,)cioo 12737  [,]cicc 12740  cnccncf 23490   D cdv 24475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-symdif 4204  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-omul 8105  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-fl 13168  df-mod 13244  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-fbas 20097  df-fg 20098  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-cld 21633  df-ntr 21634  df-cls 21635  df-nei 21712  df-lp 21750  df-perf 21751  df-cn 21841  df-cnp 21842  df-haus 21929  df-cmp 22001  df-tx 22176  df-hmeo 22369  df-fil 22460  df-fm 22552  df-flim 22553  df-flf 22554  df-xms 22936  df-ms 22937  df-tms 22938  df-cncf 23492  df-ovol 24077  df-vol 24078  df-mbf 24232  df-itg1 24233  df-itg2 24234  df-ibl 24235  df-itg 24236  df-0p 24283  df-limc 24478  df-dv 24479
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator