Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvneggt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fdvneggt 34078
Description: Functions with a negative derivative, i.e. monotonously decreasing functions, inverse strict ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
fdvposlt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
fdvposlt.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvneggt.lt (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fdvneggt.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) < 0)
Assertion
Ref Expression
fdvneggt (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) < (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem fdvneggt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
65renegcld 11648 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
76fmpttd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
8 reelprrecn 11208 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
98a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
10 ax-resscn 11173 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
1110, 5sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
12 fvexd 6906 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ V)
134feqmptd 6960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1413oveq2d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))))
15 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
16 cncff 24734 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1817feqmptd 6960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
1914, 18eqtr3d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
209, 11, 12, 19dvmptneg 25819 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
2117ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2221renegcld 11648 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2322fmpttd 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
24 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
25 cncfss 24740 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚))
2610, 24, 25mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚)
2726, 15sselid 3980 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
28 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))
2928negfcncf 24765 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
31 cncfcdm 24739 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3210, 30, 31sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3323, 32mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
3420, 33eqeltrd 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
35 fdvneggt.lt . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
36 fdvneggt.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) < 0)
3717adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
38 ioossicc 13417 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
401, 2, 3fct2relem 34075 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸)
4139, 40sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐸)
4241sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
4337, 42ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4443lt0neg1d 11790 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4536, 44mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 < -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
4620adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
4746fveq1d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯))
4828a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
49 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
5049fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5150negeqd 11461 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5243renegcld 11648 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5348, 51, 42, 52fvmptd 7005 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5447, 53eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5545, 54breqtrrd 5176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 < ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯))
561, 2, 3, 7, 34, 35, 55fdvposlt 34077 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) < ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅))
57 eqidd 2732 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))
58 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ 𝑦 = 𝐴)
5958fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
6059negeqd 11461 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΄))
614, 2ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6261renegcld 11648 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6357, 60, 2, 62fvmptd 7005 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
64 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ 𝑦 = 𝐡)
6564fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΅))
6665negeqd 11461 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΅))
674, 3ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6867renegcld 11648 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6957, 66, 3, 68fvmptd 7005 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
7056, 63, 693brtr3d 5179 . 2 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) < -(πΉβ€˜π΅))
7167, 61ltnegd 11799 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) < -(πΉβ€˜π΅)))
7270, 71mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) < (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116   < clt 11255  -cneg 11452  (,)cioo 13331  [,]cicc 13334  β€“cnβ†’ccncf 24717   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-cmp 23212  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-ovol 25314  df-vol 25315  df-mbf 25469  df-itg1 25470  df-itg2 25471  df-ibl 25472  df-itg 25473  df-0p 25520  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator