Theorem fdvposlt 34140

Description: Functions with a positive derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve strict ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdvposlt.d	⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvposlt.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fdvposlt.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fdvposlt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvposlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdvposlt.lt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		fdvposlt.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
3		ioossre 13391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 4011	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ ℝ
5		fdvposlt.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
6	4, 5	sselid 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		fdvposlt.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
8	4, 7	sselid 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	posdifd 11805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
10	1, 9	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
11	6, 8, 1	ltled 11366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
12		volioo 25453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
13	6, 8, 11, 12	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
14	10, 13	breqtrrd 5169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
15		ioossicc 13416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17		ioombl 25449	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
19		fdvposlt.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
20		cncff 24768	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
23	2, 5, 7	fct2relem 34138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
24	23	sselda 3977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
25	22, 24	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
26		ax-resscn 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27		ssid 3999	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
28		cncfss 24774	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
29	26, 27, 28	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
30	21, 23	feqresmpt 6955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
31		rescncf 24772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
32	23, 19, 31	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
33	30, 32	eqeltrrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
34	29, 33	sselid 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
35		cniccibl 25725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
36	6, 8, 34, 35	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
37	16, 18, 25, 36	iblss 25689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
38	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
39	16	sselda 3977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
40	39, 24	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
41	38, 40	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
42		fdvposlt.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
43		elrp 12982	. . . . 5 ⊢ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
44	41, 42, 43	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45	14, 37, 44	itggt0 25728	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥)
46		fdvposlt.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℝ)
47		fss 6728	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐸⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐸⟶ℂ)
48	46, 26, 47	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℂ)
49		cncfss 24774	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸–cn→ℝ) ⊆ (𝐸–cn→ℂ))
50	26, 27, 49	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐸–cn→ℝ) ⊆ (𝐸–cn→ℂ)
51	50, 19	sselid 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℂ))
52	2, 5, 7, 11, 48, 51	ftc2re 34139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
53	45, 52	breqtrd 5167	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
54	46, 5	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
55	46, 7	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
56	54, 55	posdifd 11805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐵) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
57	53, 56	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   ↾ cres 5671  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℝ⁺crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  –cn→ccncf 24751  volcvol 25347  𝐿¹cibl 25501  ∫citg 25502   D cdv 25747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751

This theorem is referenced by:  fdvneggt  34141