Theorem fdvposlt 33599

Description: Functions with a positive derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve strict ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdvposlt.d	⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvposlt.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fdvposlt.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fdvposlt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvposlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdvposlt.lt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		fdvposlt.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
3		ioossre 13381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
4	2, 3	eqsstri 4015	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ ℝ
5		fdvposlt.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
6	4, 5	sselid 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		fdvposlt.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
8	4, 7	sselid 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	posdifd 11797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
10	1, 9	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
11	6, 8, 1	ltled 11358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
12		volioo 25077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
13	6, 8, 11, 12	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
14	10, 13	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
15		ioossicc 13406	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17		ioombl 25073	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
19		fdvposlt.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
20		cncff 24400	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
23	2, 5, 7	fct2relem 33597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
24	23	sselda 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
25	22, 24	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
26		ax-resscn 11163	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27		ssid 4003	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
28		cncfss 24406	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
29	26, 27, 28	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
30	21, 23	feqresmpt 6958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
31		rescncf 24404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
32	23, 19, 31	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
33	30, 32	eqeltrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
34	29, 33	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
35		cniccibl 25349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
36	6, 8, 34, 35	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
37	16, 18, 25, 36	iblss 25313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
38	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
39	16	sselda 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
40	39, 24	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
41	38, 40	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
42		fdvposlt.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
43		elrp 12972	. . . . 5 ⊢ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
44	41, 42, 43	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ+)
45	14, 37, 44	itggt0 25352	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥)
46		fdvposlt.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℝ)
47		fss 6731	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐸⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐸⟶ℂ)
48	46, 26, 47	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℂ)
49		cncfss 24406	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸–cn→ℝ) ⊆ (𝐸–cn→ℂ))
50	26, 27, 49	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐸–cn→ℝ) ⊆ (𝐸–cn→ℂ)
51	50, 19	sselid 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℂ))
52	2, 5, 7, 11, 48, 51	ftc2re 33598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
53	45, 52	breqtrd 5173	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
54	46, 5	ffvelcdmd 7084	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
55	46, 7	ffvelcdmd 7084	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
56	54, 55	posdifd 11797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐵) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
57	53, 56	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℝ⁺crp 12970  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  –cn→ccncf 24383  volcvol 24971  𝐿¹cibl 25125  ∫citg 25126   D cdv 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375

This theorem is referenced by:  fdvneggt  33600