Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvnegge Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fdvnegge 33602
Description: Functions with a nonpositive derivative, i.e., decreasing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
fdvposlt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
fdvposlt.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvnegge.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fdvnegge.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0)
Assertion
Ref Expression
fdvnegge (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem fdvnegge
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
65renegcld 11637 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
76fmpttd 7111 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
8 reelprrecn 11198 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
98a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
10 ax-resscn 11163 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
1110, 5sselid 3979 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
12 fvexd 6903 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ V)
134feqmptd 6957 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1413oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))))
15 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
16 cncff 24400 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1817feqmptd 6957 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
1914, 18eqtr3d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
209, 11, 12, 19dvmptneg 25474 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
2117ffvelcdmda 7083 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2221renegcld 11637 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2322fmpttd 7111 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
24 ssid 4003 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
25 cncfss 24406 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚))
2610, 24, 25mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚)
2726, 15sselid 3979 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
28 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))
2928negfcncf 24430 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
31 cncfcdm 24405 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3210, 30, 31sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3323, 32mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
3420, 33eqeltrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
35 fdvnegge.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
36 fdvnegge.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0)
3717adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
38 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
401, 2, 3fct2relem 33597 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸)
4139, 40sstrd 3991 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐸)
4241sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
4337, 42ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4443le0neg1d 11781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4536, 44mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
4620adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
4746fveq1d 6890 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯))
4828a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
49 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
5049fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5150negeqd 11450 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5243renegcld 11637 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5348, 51, 42, 52fvmptd 7002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5447, 53eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5545, 54breqtrrd 5175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯))
561, 2, 3, 7, 34, 35, 55fdvposle 33601 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) ≀ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅))
57 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))
58 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ 𝑦 = 𝐴)
5958fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
6059negeqd 11450 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΄))
614, 2ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6261renegcld 11637 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6357, 60, 2, 62fvmptd 7002 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
64 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ 𝑦 = 𝐡)
6564fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΅))
6665negeqd 11450 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΅))
674, 3ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6867renegcld 11637 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6957, 66, 3, 68fvmptd 7002 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
7056, 63, 693brtr3d 5178 . 2 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ≀ -(πΉβ€˜π΅))
7167, 61lenegd 11789 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) ≀ -(πΉβ€˜π΅)))
7270, 71mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   ≀ cle 11245  -cneg 11441  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  β€“cnβ†’ccncf 24383   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  logdivsqrle  33650
  Copyright terms: Public domain W3C validator