Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvnegge Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fdvnegge 33614
Description: Functions with a nonpositive derivative, i.e., decreasing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
fdvposlt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
fdvposlt.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvnegge.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fdvnegge.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0)
Assertion
Ref Expression
fdvnegge (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem fdvnegge
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
65renegcld 11641 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
76fmpttd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
8 reelprrecn 11202 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
98a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
10 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
1110, 5sselid 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
12 fvexd 6907 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ V)
134feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1413oveq2d 7425 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))))
15 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
16 cncff 24409 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1817feqmptd 6961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
1914, 18eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
209, 11, 12, 19dvmptneg 25483 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
2117ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2221renegcld 11641 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2322fmpttd 7115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
24 ssid 4005 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
25 cncfss 24415 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚))
2610, 24, 25mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚)
2726, 15sselid 3981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
28 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))
2928negfcncf 24439 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
31 cncfcdm 24414 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3210, 30, 31sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3323, 32mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
3420, 33eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
35 fdvnegge.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
36 fdvnegge.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0)
3717adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
38 ioossicc 13410 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
401, 2, 3fct2relem 33609 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸)
4139, 40sstrd 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐸)
4241sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
4337, 42ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4443le0neg1d 11785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4536, 44mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
4620adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
4746fveq1d 6894 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯))
4828a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
49 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
5049fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5150negeqd 11454 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5243renegcld 11641 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5348, 51, 42, 52fvmptd 7006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5447, 53eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5545, 54breqtrrd 5177 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯))
561, 2, 3, 7, 34, 35, 55fdvposle 33613 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) ≀ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅))
57 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))
58 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ 𝑦 = 𝐴)
5958fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
6059negeqd 11454 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΄))
614, 2ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6261renegcld 11641 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6357, 60, 2, 62fvmptd 7006 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
64 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ 𝑦 = 𝐡)
6564fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΅))
6665negeqd 11454 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΅))
674, 3ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6867renegcld 11641 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6957, 66, 3, 68fvmptd 7006 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
7056, 63, 693brtr3d 5180 . 2 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ≀ -(πΉβ€˜π΅))
7167, 61lenegd 11793 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) ≀ -(πΉβ€˜π΅)))
7270, 71mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   ≀ cle 11249  -cneg 11445  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  logdivsqrle  33662
  Copyright terms: Public domain W3C validator