Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvnegge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvnegge 34617
Description: Functions with a nonpositive derivative, i.e., decreasing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a (𝜑𝐴𝐸)
fdvposlt.b (𝜑𝐵𝐸)
fdvposlt.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
fdvnegge.le (𝜑𝐴𝐵)
fdvnegge.1 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0)
Assertion
Ref Expression
fdvnegge (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvnegge
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
54ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
65renegcld 11690 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐸) → -(𝐹𝑦) ∈ ℝ)
76fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)):𝐸⟶ℝ)
8 reelprrecn 11247 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10 ax-resscn 11212 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1110, 5sselid 3981 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
12 fvexd 6921 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ V)
134feqmptd 6977 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦)))
1413oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))))
15 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
16 cncff 24919 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1817feqmptd 6977 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
1914, 18eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
209, 11, 12, 19dvmptneg 26004 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
2117ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
2221renegcld 11690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐸) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
2322fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ)
24 ssid 4006 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
25 cncfss 24925 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ))
2610, 24, 25mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ)
2726, 15sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
28 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
2928negfcncf 24950 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
31 cncfcdm 24924 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3210, 30, 31sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3323, 32mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ))
3420, 33eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) ∈ (𝐸cn→ℝ))
35 fdvnegge.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
36 fdvnegge.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0)
3717adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
38 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
401, 2, 3fct2relem 34612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
4139, 40sstrd 3994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
4241sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐸)
4337, 42ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
4443le0neg1d 11834 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
4536, 44mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
4620adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4746fveq1d 6908 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥))
4828a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
49 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
5049fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5150negeqd 11502 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5243renegcld 11690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
5348, 51, 42, 52fvmptd 7023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5447, 53eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5545, 54breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥))
561, 2, 3, 7, 34, 35, 55fdvposle 34616 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) ≤ ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
57 eqidd 2738 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))
58 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
5958fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
6059negeqd 11502 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
614, 2ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6261renegcld 11690 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6357, 60, 2, 62fvmptd 7023 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
64 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
6564fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
6665negeqd 11502 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
674, 3ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
6867renegcld 11690 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
6957, 66, 3, 68fvmptd 7023 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
7056, 63, 693brtr3d 5174 . 2 (𝜑 → -(𝐹𝐴) ≤ -(𝐹𝐵))
7167, 61lenegd 11842 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) ≤ -(𝐹𝐵)))
7270, 71mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  cle 11296  -cneg 11493  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cnccncf 24902   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  logdivsqrle  34665
  Copyright terms: Public domain W3C validator