Theorem fdvnegge 35013

Description: Functions with a nonpositive derivative, i.e., decreasing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdvposlt.d	⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvnegge.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
fdvnegge.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
fdvnegge	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvnegge

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdvposlt.d	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2		fdvposlt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
3		fdvposlt.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
4		fdvposlt.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐸⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11659	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → -(𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
7	6	fmpttd 7117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦)):𝐸⟶ℝ)
8		reelprrecn 11210	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10		ax-resscn 11175	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11	10, 5	sselid 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
12		fvexd 6903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ V)
13	4	feqmptd 6956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹‘𝑦)))
14	13	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹‘𝑦))))
15		fdvposlt.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
16		cncff 25082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
18	17	feqmptd 6956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
19	14, 18	eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
20	9, 11, 12, 19	dvmptneg 26155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
21	17	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
22	21	renegcld 11659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
23	22	fmpttd 7117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ)
24		ssid 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
25		cncfss 25088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸–cn→ℝ) ⊆ (𝐸–cn→ℂ))
26	10, 24, 25	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸–cn→ℝ) ⊆ (𝐸–cn→ℂ)
27	26, 15	sselid 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℂ))
28		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
29	28	negfcncf 25112	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸–cn→ℂ))
30	27, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸–cn→ℂ))
31		cncfcdm 25087	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸–cn→ℂ)) → ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
32	10, 30, 31	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
33	23, 32	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
34	20, 33	eqeltrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦))) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
35		fdvnegge.le	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
36		fdvnegge.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0)
37	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
38		ioossicc 13478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
40	1, 2, 3	fct2relem 35008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
41	39, 40	sstrd 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
42	41	sselda 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
43	37, 42	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
44	43	le0neg1d 11803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
45	36, 44	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
46	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
47	46	fveq1d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦)))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥))
48	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
49		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
50	49	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
51	50	negeqd 11469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
52	43	renegcld 11659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
53	48, 51, 42, 52	fvmptd 7004	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
54	47, 53	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
55	45, 54	breqtrrd 5144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦)))‘𝑥))
56	1, 2, 3, 7, 34, 35, 55	fdvposle 35012	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) ≤ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵))
57		eqidd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦)))
58		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
59	58	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
60	59	negeqd 11469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐴) → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐴))
61	4, 2	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
62	61	renegcld 11659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
63	57, 60, 2, 62	fvmptd 7004	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
64		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
65	64	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
66	65	negeqd 11469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐵) → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐵))
67	4, 3	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
68	67	renegcld 11659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
69	57, 66, 3, 68	fvmptd 7004	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
70	56, 63, 69	3brtr3d 5147	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) ≤ -(𝐹‘𝐵))
71	67, 61	lenegd 11811	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) ≤ -(𝐹‘𝐵)))
72	70, 71	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {cpr 4596   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   ≤ cle 11262  -cneg 11460  (,)cioo 13390  [,]cicc 13393  –cn→ccncf 25065   D cdv 26052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-symdif 4209  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-submnd 18867  df-mulg 19159  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-cmp 23574  df-tx 23749  df-hmeo 23942  df-fil 24033  df-fm 24125  df-flim 24126  df-flf 24127  df-xms 24507  df-ms 24508  df-tms 24509  df-cncf 25067  df-ovol 25653  df-vol 25654  df-mbf 25808  df-itg1 25809  df-itg2 25810  df-ibl 25811  df-itg 25812  df-0p 25859  df-limc 26055  df-dv 26056

This theorem is used by:  logdivsqrle  35061