Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvnegge Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fdvnegge 33683
Description: Functions with a nonpositive derivative, i.e., decreasing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
fdvposlt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
fdvposlt.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
fdvposlt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
fdvposlt.c (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
fdvnegge.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fdvnegge.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0)
Assertion
Ref Expression
fdvnegge (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem fdvnegge
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐢(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΈβŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
65renegcld 11643 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
76fmpttd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
8 reelprrecn 11204 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
98a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
10 ax-resscn 11169 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
1110, 5sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
12 fvexd 6906 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ V)
134feqmptd 6960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1413oveq2d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))))
15 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
16 cncff 24416 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cn→ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
1817feqmptd 6960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
1914, 18eqtr3d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
209, 11, 12, 19dvmptneg 25490 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
2117ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2221renegcld 11643 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2322fmpttd 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„)
24 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
25 cncfss 24422 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚))
2610, 24, 25mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐸–cn→ℝ) βŠ† (𝐸–cnβ†’β„‚)
2726, 15sselid 3980 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
28 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))
2928negfcncf 24446 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚))
31 cncfcdm 24421 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3210, 30, 31sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)):πΈβŸΆβ„))
3323, 32mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
3420, 33eqeltrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) ∈ (𝐸–cn→ℝ))
35 fdvnegge.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
36 fdvnegge.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0)
3717adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D 𝐹):πΈβŸΆβ„)
38 ioossicc 13412 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
401, 2, 3fct2relem 33678 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐸)
4139, 40sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐸)
4241sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
4337, 42ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4443le0neg1d 11787 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4536, 44mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
4620adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
4746fveq1d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯))
4828a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
49 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
5049fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5150negeqd 11456 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5243renegcld 11643 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5348, 51, 42, 52fvmptd 7005 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5447, 53eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5545, 54breqtrrd 5176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ ((ℝ D (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯))
561, 2, 3, 7, 34, 35, 55fdvposle 33682 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) ≀ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅))
57 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)))
58 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ 𝑦 = 𝐴)
5958fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
6059negeqd 11456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΄))
614, 2ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6261renegcld 11643 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6357, 60, 2, 62fvmptd 7005 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
64 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ 𝑦 = 𝐡)
6564fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΅))
6665negeqd 11456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΅))
674, 3ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6867renegcld 11643 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
6957, 66, 3, 68fvmptd 7005 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐸 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
7056, 63, 693brtr3d 5179 . 2 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ≀ -(πΉβ€˜π΅))
7167, 61lenegd 11795 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) ≀ -(πΉβ€˜π΅)))
7270, 71mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11251  -cneg 11447  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329  β€“cnβ†’ccncf 24399   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  logdivsqrle  33731
  Copyright terms: Public domain W3C validator