Theorem fineqv 9213

Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fineqv	⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3962	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3		vex 3460	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		fineqvlem 9212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
5	3, 4	mpan 700	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6		reldom 8935	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
7	6	brrelex1i 5705	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
9	8	con1i 147	. . . . 5 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
10	9	a1d 25	. . . 4 ⊢ (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
11	10	ssrdv 3944	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
12	2, 11	eqssd 3955	. 2 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13		ominf 9210	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
14		eleq2 2853	. . 3 ⊢ (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
15	13, 14	mtbii 328	. 2 ⊢ (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
16	12, 15	impbii 211	1 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5102  ωcom 7848   ≼ cdom 8927  Fincfn 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-om 7849  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933

This theorem is referenced by:  npomex  10956  fineqvomonb  35419  omprcomonb  35420  finorwe  37881