Theorem fineqv 9259

Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fineqv	⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 4005	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3		vex 3478	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		fineqvlem 9258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
5	3, 4	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6		reldom 8941	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
7	6	brrelex1i 5730	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
9	8	con1i 147	. . . . 5 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
10	9	a1d 25	. . . 4 ⊢ (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
11	10	ssrdv 3987	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
12	2, 11	eqssd 3998	. 2 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13		ominf 9254	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
14		eleq2 2822	. . 3 ⊢ (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
15	13, 14	mtbii 325	. 2 ⊢ (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
16	12, 15	impbii 208	1 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  ωcom 7851   ≼ cdom 8933  Fincfn 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939

This theorem is referenced by:  npomex  10987  finorwe  36251