Theorem fineqv 9272

Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fineqv	⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3937	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		fineqvlem 9271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
5	3, 4	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6		reldom 8993	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
7	6	brrelex1i 5711	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
8	5, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
9	8	con1i 148	. . . . 5 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
10	9	a1d 26	. . . 4 ⊢ (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
11	10	ssrdv 3919	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
12	2, 11	eqssd 3930	. 2 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13		ominf 9269	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
14		eleq2 2853	. . 3 ⊢ (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
15	13, 14	mtbii 329	. 2 ⊢ (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
16	12, 15	impbii 212	1 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  ωcom 7887   ≼ cdom 8985  Fincfn 8987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-om 7888  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991

This theorem is used by:  npomex  11094  fineqvomonb  35861  omprcomonb  35862  finorwe  38451