Theorem fineqv 8893

Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fineqv	⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3925	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3		vex 3412	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		fineqvlem 8892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
5	3, 4	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6		reldom 8632	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
7	6	brrelex1i 5605	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
9	8	con1i 149	. . . . 5 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
10	9	a1d 25	. . . 4 ⊢ (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
11	10	ssrdv 3907	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
12	2, 11	eqssd 3918	. 2 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13		ominf 8890	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
14		eleq2 2826	. . 3 ⊢ (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
15	13, 14	mtbii 329	. 2 ⊢ (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
16	12, 15	impbii 212	1 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  ωcom 7644   ≼ cdom 8624  Fincfn 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630

This theorem is referenced by:  npomex  10610  finorwe  35290