MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqv 8893
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv
StepHypRef Expression
1 ssv 3925 . . . 4 Fin ⊆ V
21a1i 11 . . 3 (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3 vex 3412 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
4 fineqvlem 8892 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
53, 4mpan 690 . . . . . . 7 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6 reldom 8632 . . . . . . . 8 Rel ≼
76brrelex1i 5605 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . . 6 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
98con1i 149 . . . . 5 (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
109a1d 25 . . . 4 (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
1110ssrdv 3907 . . 3 (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
122, 11eqssd 3918 . 2 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13 ominf 8890 . . 3 ¬ ω ∈ Fin
14 eleq2 2826 . . 3 (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
1513, 14mtbii 329 . 2 (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
1612, 15impbii 212 1 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  ωcom 7644  cdom 8624  Fincfn 8626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630
This theorem is referenced by:  npomex  10610  finorwe  35290
  Copyright terms: Public domain W3C validator