MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqv 9296
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv
StepHypRef Expression
1 ssv 4019 . . . 4 Fin ⊆ V
21a1i 11 . . 3 (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3 vex 3481 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
4 fineqvlem 9295 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
53, 4mpan 690 . . . . . . 7 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6 reldom 8989 . . . . . . . 8 Rel ≼
76brrelex1i 5744 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . . 6 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
98con1i 147 . . . . 5 (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
109a1d 25 . . . 4 (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
1110ssrdv 4000 . . 3 (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
122, 11eqssd 4012 . 2 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13 ominf 9291 . . 3 ¬ ω ∈ Fin
14 eleq2 2827 . . 3 (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
1513, 14mtbii 326 . 2 (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
1612, 15impbii 209 1 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  ωcom 7886  cdom 8981  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987
This theorem is referenced by:  npomex  11033  finorwe  37364
  Copyright terms: Public domain W3C validator