Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqv 8720
 Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv
StepHypRef Expression
1 ssv 3939 . . . 4 Fin ⊆ V
21a1i 11 . . 3 (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3 vex 3444 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
4 fineqvlem 8719 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
53, 4mpan 689 . . . . . . 7 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6 reldom 8501 . . . . . . . 8 Rel ≼
76brrelex1i 5573 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . . 6 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
98con1i 149 . . . . 5 (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
109a1d 25 . . . 4 (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
1110ssrdv 3921 . . 3 (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
122, 11eqssd 3932 . 2 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13 ominf 8717 . . 3 ¬ ω ∈ Fin
14 eleq2 2878 . . 3 (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
1513, 14mtbii 329 . 2 (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
1612, 15impbii 212 1 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5031  ωcom 7563   ≼ cdom 8493  Fincfn 8495 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-om 7564  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499 This theorem is referenced by:  npomex  10410  finorwe  34818
 Copyright terms: Public domain W3C validator