MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqv 9294
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv
StepHypRef Expression
1 ssv 4006 . . . 4 Fin ⊆ V
21a1i 11 . . 3 (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
4 fineqvlem 9293 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
53, 4mpan 688 . . . . . . 7 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6 reldom 8976 . . . . . . . 8 Rel ≼
76brrelex1i 5738 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . . 6 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
98con1i 147 . . . . 5 (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
109a1d 25 . . . 4 (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
1110ssrdv 3988 . . 3 (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
122, 11eqssd 3999 . 2 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13 ominf 9289 . . 3 ¬ ω ∈ Fin
14 eleq2 2818 . . 3 (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
1513, 14mtbii 325 . 2 (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
1612, 15impbii 208 1 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wss 3949  𝒫 cpw 4606   class class class wbr 5152  ωcom 7876  cdom 8968  Fincfn 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974
This theorem is referenced by:  npomex  11027  finorwe  36894
  Copyright terms: Public domain W3C validator