MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqv 9281
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv
StepHypRef Expression
1 ssv 4002 . . . 4 Fin ⊆ V
21a1i 11 . . 3 (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3 vex 3473 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
4 fineqvlem 9280 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
53, 4mpan 689 . . . . . . 7 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6 reldom 8963 . . . . . . . 8 Rel ≼
76brrelex1i 5728 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . . 6 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
98con1i 147 . . . . 5 (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
109a1d 25 . . . 4 (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
1110ssrdv 3984 . . 3 (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
122, 11eqssd 3995 . 2 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13 ominf 9276 . . 3 ¬ ω ∈ Fin
14 eleq2 2817 . . 3 (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
1513, 14mtbii 326 . 2 (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
1612, 15impbii 208 1 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  wss 3944  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  ωcom 7864  cdom 8955  Fincfn 8957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961
This theorem is referenced by:  npomex  11013  finorwe  36851
  Copyright terms: Public domain W3C validator