Theorem fzssfzo 34503

Description: Condition for an integer interval to be a subset of a half-open integer interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzssfzo	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzssfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13595	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzoval 13597	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	3	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
5	4	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
6		elfzuz3 13458	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
7		fzss2 13501	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
9	8, 3	sseqtrrd 3981	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  signstcl  34529  signstf  34530  signstfvp  34535