Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzssfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzssfzo 31917
Description: Condition for an integer interval to be a subset of a half-open integer interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzssfzo (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzssfzo
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 13036 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 fzoval 13038 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
43eleq2d 2878 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
54ibi 270 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
6 elfzuz3 12903 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝐾))
7 fzss2 12946 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
85, 6, 73syl 18 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
98, 3sseqtrrd 3959 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wss 3884  cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531  cmin 10863  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-neg 10866  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033
This theorem is referenced by:  signstcl  31943  signstf  31944  signstfvp  31949
  Copyright terms: Public domain W3C validator