Theorem fzssfzo 34833

Description: Condition for an integer interval to be a subset of a half-open integer interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzssfzo	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzssfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13663	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzoval 13665	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	3	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
5	4	ibi 269	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
6		elfzuz3 13526	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
7		fzss2 13569	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
9	8, 3	sseqtrrd 3973	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11074   − cmin 11414  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-neg 11417  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  signstcl  34856  signstf  34857  signstfvp  34862