Theorem sgnmulsgp 32797

Description: If two real numbers are of same signs, so are their signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnmulsgp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Proof of Theorem sgnmulsgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11642	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		breq2 5096	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < 1))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
5		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
7	5, 6	breqtrd 5118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < -1)
8		1nn0 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		nn0nlt0 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ¬ 1 < 0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
11		1re 11115	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		lt0neg1 11626	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
14	10, 13	mtbi 322	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 < -1
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → ¬ 0 < -1)
16	7, 15	pm2.21dd 195	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
18		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
19	18	gt0ne0d 11684	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
20	17, 19	pm2.21ddne 3009	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
22		remulcl 11094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
25		sgncl 32785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1})
26		eltpi 4640	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1} → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
28	16, 20, 21, 27	mpjao3dan 1434	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
29	4, 28	impbida 800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))))
30		sgnpbi 32793	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
31	23, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
32		sgnmul 32789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
33	32	breq2d 5104	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
34	29, 31, 33	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {ctp 4581   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149  -cneg 11348  ℕ₀cn0 12384  sgncsgn 14993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-rp 12894  df-sgn 14994

This theorem is referenced by:  signsvfpn  34569