Theorem sgnmulsgp 34531

Description: If two real numbers are of different signs, so are their signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnmulsgp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Proof of Theorem sgnmulsgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11782	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < 1))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
5		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
7	5, 6	breqtrd 5173	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < -1)
8		1nn0 12539	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		nn0nlt0 12549	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ¬ 1 < 0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
11		1re 11258	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		lt0neg1 11766	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
14	10, 13	mtbi 322	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 < -1
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → ¬ 0 < -1)
16	7, 15	pm2.21dd 195	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
18		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
19	18	gt0ne0d 11824	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
20	17, 19	pm2.21ddne 3023	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
22		remulcl 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
25		sgncl 34519	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1})
26		eltpi 4692	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1} → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
28	16, 20, 21, 27	mpjao3dan 1431	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
29	4, 28	impbida 801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))))
30		sgnpbi 34527	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
31	23, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
32		sgnmul 34523	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
33	32	breq2d 5159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
34	29, 31, 33	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {ctp 4634   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  -cneg 11490  ℕ₀cn0 12523  sgncsgn 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-rp 13032  df-sgn 15122

This theorem is referenced by:  signsvfpn  34578