Theorem sgnmulsgp 32903

Description: If two real numbers are of same signs, so are their signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnmulsgp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Proof of Theorem sgnmulsgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11661	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		breq2 5101	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < 1))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
5		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
7	5, 6	breqtrd 5123	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < -1)
8		1nn0 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		nn0nlt0 12429	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ¬ 1 < 0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
11		1re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		lt0neg1 11645	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
14	10, 13	mtbi 322	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 < -1
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → ¬ 0 < -1)
16	7, 15	pm2.21dd 195	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
18		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
19	18	gt0ne0d 11703	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
20	17, 19	pm2.21ddne 3015	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
22		remulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
25		sgncl 32891	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1})
26		eltpi 4644	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1} → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
28	16, 20, 21, 27	mpjao3dan 1435	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
29	4, 28	impbida 801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))))
30		sgnpbi 32899	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
31	23, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
32		sgnmul 32895	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
33	32	breq2d 5109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
34	29, 31, 33	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {ctp 4583   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  -cneg 11367  ℕ₀cn0 12403  sgncsgn 15011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-n0 12404  df-rp 12908  df-sgn 15012

This theorem is referenced by:  signsvfpn  34721