Theorem sgnmulsgp 32907

Description: If two real numbers are of same signs, so are their signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnmulsgp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Proof of Theorem sgnmulsgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11660	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < 1))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
5		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
7	5, 6	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → 0 < -1)
8		1nn0 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		nn0nlt0 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ¬ 1 < 0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
11		1re 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		lt0neg1 11644	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
14	10, 13	mtbi 322	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 < -1
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → ¬ 0 < -1)
16	7, 15	pm2.21dd 195	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
18		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)))
19	18	gt0ne0d 11702	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
20	17, 19	pm2.21ddne 3017	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
22		remulcl 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
25		sgncl 32895	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1})
26		eltpi 4633	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1} → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
28	16, 20, 21, 27	mpjao3dan 1435	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
29	4, 28	impbida 801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵))))
30		sgnpbi 32903	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
31	23, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
32		sgnmul 32899	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
33	32	breq2d 5098	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
34	29, 31, 33	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {ctp 4572   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  ℝ^*cxr 11166   < clt 11167  -cneg 11366  ℕ₀cn0 12402  sgncsgn 15010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-rp 12907  df-sgn 15011

This theorem is referenced by:  signsvfpn  34735