Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumncl 34555
Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumncl.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
gsumncl.b ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
Assertion
Ref Expression
gsumncl (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumncl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumncl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2737 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
3 gsumncl.w . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
4 gsumncl.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
5 gsumncl.b . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
65fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
71, 2, 3, 4, 6gsumval2 18699 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁((+g𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
86ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐾)
93adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → 𝑀 ∈ Mnd)
10 simprl 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → 𝑥𝐾)
11 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
121, 2mndcl 18755 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
139, 10, 11, 12syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
144, 8, 13seqcl 14063 . 2 (𝜑 → (seq𝑁((+g𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃) ∈ 𝐾)
157, 14eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748
This theorem is referenced by:  signstcl  34580  signstf  34581
  Copyright terms: Public domain W3C validator