Theorem gsumncl 34930

Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumncl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
gsumncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gsumncl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumncl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3		gsumncl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		gsumncl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
5		gsumncl.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
6	5	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 6	gsumval2 18739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁((+g‘𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
8	6	ffvelcdmda 7079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐾)
9	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑀 ∈ Mnd)
10		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
11		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
12	1, 2	mndcl 18795	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
14	4, 8, 13	seqcl 14054	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁((+g‘𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃) ∈ 𝐾)
15	7, 14	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  seqcseq 14033  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305   Σ_g cgsu 17488  Mndcmnd 18787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788

This theorem is referenced by:  signstcl  34952  signstf  34953