Theorem gsumncl 31810

Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumncl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
gsumncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gsumncl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumncl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3		gsumncl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		gsumncl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
5		gsumncl.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
6	5	fmpttd 6879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 6	gsumval2 17896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁((+g‘𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
8	6	ffvelrnda 6851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐾)
9	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑀 ∈ Mnd)
10		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
11		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
12	1, 2	mndcl 17919	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
14	4, 8, 13	seqcl 13391	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁((+g‘𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃) ∈ 𝐾)
15	7, 14	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  seqcseq 13370  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565   Σ_g cgsu 16714  Mndcmnd 17911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912

This theorem is referenced by:  signstcl  31835  signstf  31836