Theorem gsumncl 34838

Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumncl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
gsumncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gsumncl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumncl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumncl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3		gsumncl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4		gsumncl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
5		gsumncl.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
6	5	fmpttd 7097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 6	gsumval2 18721	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁((+g‘𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
8	6	ffvelcdmda 7066	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐾)
9	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑀 ∈ Mnd)
10		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
11		simprr 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
12	1, 2	mndcl 18777	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1391	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
14	4, 8, 13	seqcl 14036	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁((+g‘𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃) ∈ 𝐾)
15	7, 14	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℤ_≥cuz 12840  ...cfz 13513  seqcseq 14015  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287   Σ_g cgsu 17470  Mndcmnd 18769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-seq 14016  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770

This theorem is referenced by:  signstcl  34860  signstf  34861