MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzss2 13482
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 13438 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
21adantl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3 elfzuz3 13439 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑘))
4 uztrn 12782 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
53, 4sylan2 594 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
6 elfzuzb 13436 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
72, 5, 6sylanbrc 584 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
87ex 414 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
98ssrdv 3951 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3911  cfv 6497  (class class class)co 7358  cuz 12764  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  fzssp1  13485  elfz0add  13541  predfz  13567  fzoss2  13601  sermono  13941  seqsplit  13942  seqcaopr2  13945  seqf1olem2a  13947  seqf1olem2  13949  seqhomo  13956  seqz  13957  bcm1k  14216  seqcoll  14364  seqcoll2  14365  isercoll  15553  fsum0diaglem  15662  fsum0diag2  15669  cvgcmpce  15704  mertenslem1  15770  prodfn0  15780  prodfrec  15781  binomfallfaclem2  15924  bpoly4  15943  eulerthlem2  16655  pcfac  16772  vdwnnlem2  16869  strleun  17030  gsumzaddlem  19699  telgsumfzs  19767  imasdsf1olem  23729  plyaddlem1  25577  plymullem1  25578  coeeulem  25588  coeidlem  25601  coeid3  25604  coefv0  25612  coemulc  25619  vieta1lem2  25674  ppinprm  26504  chtnprm  26506  chpwordi  26509  chtublem  26562  bposlem1  26635  gausslemma2dlem2  26718  lgsquadlem3  26733  chebbnd1lem1  26820  vmadivsumb  26834  dchrvmasumiflem1  26852  mulog2sumlem2  26886  selbergb  26900  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  logdivbnd  26907  selberg3lem2  26909  pntrsumbnd  26917  pntlemq  26952  axlowdimlem16  27909  axlowdimlem17  27910  wlkres  28621  crctcshwlkn0lem2  28759  clwwlkvbij  29060  prmdvdsbc  31715  splfv3  31815  freshmansdream  32070  ballotlemimin  33108  ballotlemsdom  33114  ballotlemsel1i  33115  ballotlemsima  33118  ballotlemfrc  33129  ballotlemfrceq  33131  fzssfzo  33154  fsum2dsub  33223  pfxwlk  33720  erdszelem7  33794  erdszelem8  33795  elfzm12  34266  poimirlem1  36082  poimirlem2  36083  poimirlem4  36085  poimirlem6  36087  poimirlem7  36088  poimirlem9  36090  poimirlem15  36096  poimirlem16  36097  poimirlem17  36098  poimirlem19  36100  poimirlem22  36103  poimirlem23  36104  poimirlem24  36105  poimirlem26  36107  poimirlem27  36108  poimirlem28  36109  poimirlem31  36112  mettrifi  36219  eldiophb  41083  eldioph2lem2  41087  diophrex  41101  fmul01  43828  fmulcl  43829  dvnprodlem2  44195  stoweidlem11  44259  stoweidlem17  44265  stoweidlem26  44274  iccpartres  45617  iccpartipre  45620
  Copyright terms: Public domain W3C validator