Theorem fzss2 13525

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13481	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13482	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12811	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13479	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3952	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  fzssp1  13528  elfz0add  13587  predfz  13614  fzoss2  13648  sermono  13999  seqsplit  14000  seqcaopr2  14003  seqf1olem2a  14005  seqf1olem2  14007  seqhomo  14014  seqz  14015  bcm1k  14280  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  isercoll  15634  fsum0diaglem  15742  fsum0diag2  15749  cvgcmpce  15784  mertenslem1  15850  prodfn0  15860  prodfrec  15861  binomfallfaclem2  16006  bpoly4  16025  prmdvdsbc  16696  eulerthlem2  16752  pcfac  16870  vdwnnlem2  16967  strleun  17127  gsumzaddlem  19851  telgsumfzs  19919  freshmansdream  21484  imasdsf1olem  24261  plyaddlem1  26118  plymullem1  26119  coeeulem  26129  coeidlem  26142  coeid3  26145  coefv0  26153  coemulc  26160  vieta1lem2  26219  ppinprm  27062  chtnprm  27064  chpwordi  27067  chtublem  27122  bposlem1  27195  gausslemma2dlem2  27278  lgsquadlem3  27293  chebbnd1lem1  27380  vmadivsumb  27394  dchrvmasumiflem1  27412  mulog2sumlem2  27446  selbergb  27460  selberg2b  27463  chpdifbndlem1  27464  logdivbnd  27467  selberg3lem2  27469  pntrsumbnd  27477  pntlemq  27512  axlowdimlem16  28884  axlowdimlem17  28885  wlkres  29598  crctcshwlkn0lem2  29741  clwwlkvbij  30042  splfv3  32880  ballotlemimin  34497  ballotlemsdom  34503  ballotlemsel1i  34504  ballotlemsima  34507  ballotlemfrc  34518  ballotlemfrceq  34520  fzssfzo  34530  fsum2dsub  34598  pfxwlk  35111  erdszelem7  35184  erdszelem8  35185  elfzm12  35662  poimirlem1  37615  poimirlem2  37616  poimirlem4  37618  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem9  37623  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem22  37636  poimirlem23  37637  poimirlem24  37638  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  poimirlem28  37642  poimirlem31  37645  mettrifi  37751  eldiophb  42745  eldioph2lem2  42749  diophrex  42763  fmul01  45578  fmulcl  45579  dvnprodlem2  45945  stoweidlem11  46009  stoweidlem17  46015  stoweidlem26  46024  iccpartres  47419  iccpartipre  47422