Theorem fzss2 13461

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13417	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13418	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12747	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13415	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤ_≥cuz 12729  ...cfz 13404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-neg 11344  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405

This theorem is referenced by:  fzssp1  13464  elfz0add  13523  predfz  13550  fzoss2  13584  sermono  13938  seqsplit  13939  seqcaopr2  13942  seqf1olem2a  13944  seqf1olem2  13946  seqhomo  13953  seqz  13954  bcm1k  14219  seqcoll  14368  seqcoll2  14369  isercoll  15572  fsum0diaglem  15680  fsum0diag2  15687  cvgcmpce  15722  mertenslem1  15788  prodfn0  15798  prodfrec  15799  binomfallfaclem2  15944  bpoly4  15963  prmdvdsbc  16634  eulerthlem2  16690  pcfac  16808  vdwnnlem2  16905  strleun  17065  gsumzaddlem  19831  telgsumfzs  19899  freshmansdream  21509  imasdsf1olem  24286  plyaddlem1  26143  plymullem1  26144  coeeulem  26154  coeidlem  26167  coeid3  26170  coefv0  26178  coemulc  26185  vieta1lem2  26244  ppinprm  27087  chtnprm  27089  chpwordi  27092  chtublem  27147  bposlem1  27220  gausslemma2dlem2  27303  lgsquadlem3  27318  chebbnd1lem1  27405  vmadivsumb  27419  dchrvmasumiflem1  27437  mulog2sumlem2  27471  selbergb  27485  selberg2b  27488  chpdifbndlem1  27489  logdivbnd  27492  selberg3lem2  27494  pntrsumbnd  27502  pntlemq  27537  axlowdimlem16  28933  axlowdimlem17  28934  wlkres  29645  crctcshwlkn0lem2  29787  clwwlkvbij  30088  splfv3  32934  ballotlemimin  34514  ballotlemsdom  34520  ballotlemsel1i  34521  ballotlemsima  34524  ballotlemfrc  34535  ballotlemfrceq  34537  fzssfzo  34547  fsum2dsub  34615  pfxwlk  35156  erdszelem7  35229  erdszelem8  35230  elfzm12  35707  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem4  37663  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem9  37668  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem22  37681  poimirlem23  37682  poimirlem24  37683  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem28  37687  poimirlem31  37690  mettrifi  37796  eldiophb  42789  eldioph2lem2  42793  diophrex  42807  fmul01  45619  fmulcl  45620  dvnprodlem2  45984  stoweidlem11  46048  stoweidlem17  46054  stoweidlem26  46063  iccpartres  47448  iccpartipre  47451