Theorem fzss2 13516

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13472	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13473	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12804	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13470	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 589	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-neg 11378  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460

This theorem is referenced by:  fzssp1  13519  elfz0add  13578  predfz  13605  fzoss2  13640  sermono  13994  seqsplit  13995  seqcaopr2  13998  seqf1olem2a  14000  seqf1olem2  14002  seqhomo  14009  seqz  14010  bcm1k  14275  seqcoll  14424  seqcoll2  14425  isercoll  15628  fsum0diaglem  15736  fsum0diag2  15743  cvgcmpce  15779  mertenslem1  15847  prodfn0  15857  prodfrec  15858  binomfallfaclem2  16003  bpoly4  16022  prmdvdsbc  16694  eulerthlem2  16750  pcfac  16868  vdwnnlem2  16965  strleun  17125  gsumzaddlem  19894  telgsumfzs  19962  freshmansdream  21556  imasdsf1olem  24363  plyaddlem1  26203  plymullem1  26204  coeeulem  26214  coeidlem  26227  coeid3  26230  coefv0  26238  coemulc  26245  vieta1lem2  26302  ppinprm  27140  chtnprm  27142  chpwordi  27145  chtublem  27199  bposlem1  27272  gausslemma2dlem2  27355  lgsquadlem3  27370  chebbnd1lem1  27457  vmadivsumb  27471  dchrvmasumiflem1  27489  mulog2sumlem2  27523  selbergb  27537  selberg2b  27540  chpdifbndlem1  27541  logdivbnd  27544  selberg3lem2  27546  pntrsumbnd  27554  pntlemq  27589  axlowdimlem16  29051  axlowdimlem17  29052  wlkres  29762  crctcshwlkn0lem2  29904  clwwlkvbij  30208  splfv3  33044  ballotlemimin  34697  ballotlemsdom  34703  ballotlemsel1i  34704  ballotlemsima  34707  ballotlemfrc  34718  ballotlemfrceq  34720  fzssfzo  34730  fsum2dsub  34798  pfxwlk  35359  erdszelem7  35432  erdszelem8  35433  elfzm12  35910  poimirlem1  37995  poimirlem2  37996  poimirlem4  37998  poimirlem6  38000  poimirlem7  38001  poimirlem9  38003  poimirlem15  38009  poimirlem16  38010  poimirlem17  38011  poimirlem19  38013  poimirlem22  38016  poimirlem23  38017  poimirlem24  38018  poimirlem26  38020  poimirlem27  38021  poimirlem28  38022  poimirlem31  38025  mettrifi  38131  eldiophb  43213  eldioph2lem2  43217  diophrex  43231  fmul01  46032  fmulcl  46033  dvnprodlem2  46397  stoweidlem11  46461  stoweidlem17  46467  stoweidlem26  46476  iccpartres  47900  iccpartipre  47903