Theorem fzss2 13466

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13422	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13423	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12756	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13420	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3936	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-neg 11354  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410

This theorem is referenced by:  fzssp1  13469  elfz0add  13528  predfz  13555  fzoss2  13589  sermono  13943  seqsplit  13944  seqcaopr2  13947  seqf1olem2a  13949  seqf1olem2  13951  seqhomo  13958  seqz  13959  bcm1k  14224  seqcoll  14373  seqcoll2  14374  isercoll  15577  fsum0diaglem  15685  fsum0diag2  15692  cvgcmpce  15727  mertenslem1  15793  prodfn0  15803  prodfrec  15804  binomfallfaclem2  15949  bpoly4  15968  prmdvdsbc  16639  eulerthlem2  16695  pcfac  16813  vdwnnlem2  16910  strleun  17070  gsumzaddlem  19835  telgsumfzs  19903  freshmansdream  21513  imasdsf1olem  24289  plyaddlem1  26146  plymullem1  26147  coeeulem  26157  coeidlem  26170  coeid3  26173  coefv0  26181  coemulc  26188  vieta1lem2  26247  ppinprm  27090  chtnprm  27092  chpwordi  27095  chtublem  27150  bposlem1  27223  gausslemma2dlem2  27306  lgsquadlem3  27321  chebbnd1lem1  27408  vmadivsumb  27422  dchrvmasumiflem1  27440  mulog2sumlem2  27474  selbergb  27488  selberg2b  27491  chpdifbndlem1  27492  logdivbnd  27495  selberg3lem2  27497  pntrsumbnd  27505  pntlemq  27540  axlowdimlem16  28937  axlowdimlem17  28938  wlkres  29649  crctcshwlkn0lem2  29791  clwwlkvbij  30095  splfv3  32946  ballotlemimin  34540  ballotlemsdom  34546  ballotlemsel1i  34547  ballotlemsima  34550  ballotlemfrc  34561  ballotlemfrceq  34563  fzssfzo  34573  fsum2dsub  34641  pfxwlk  35189  erdszelem7  35262  erdszelem8  35263  elfzm12  35740  poimirlem1  37681  poimirlem2  37682  poimirlem4  37684  poimirlem6  37686  poimirlem7  37687  poimirlem9  37689  poimirlem15  37695  poimirlem16  37696  poimirlem17  37697  poimirlem19  37699  poimirlem22  37702  poimirlem23  37703  poimirlem24  37704  poimirlem26  37706  poimirlem27  37707  poimirlem28  37708  poimirlem31  37711  mettrifi  37817  eldiophb  42874  eldioph2lem2  42878  diophrex  42892  fmul01  45704  fmulcl  45705  dvnprodlem2  46069  stoweidlem11  46133  stoweidlem17  46139  stoweidlem26  46148  iccpartres  47542  iccpartipre  47545