Theorem fzss2 13532

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13488	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13489	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12818	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13486	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  fzssp1  13535  elfz0add  13594  predfz  13621  fzoss2  13655  sermono  14006  seqsplit  14007  seqcaopr2  14010  seqf1olem2a  14012  seqf1olem2  14014  seqhomo  14021  seqz  14022  bcm1k  14287  seqcoll  14436  seqcoll2  14437  isercoll  15641  fsum0diaglem  15749  fsum0diag2  15756  cvgcmpce  15791  mertenslem1  15857  prodfn0  15867  prodfrec  15868  binomfallfaclem2  16013  bpoly4  16032  prmdvdsbc  16703  eulerthlem2  16759  pcfac  16877  vdwnnlem2  16974  strleun  17134  gsumzaddlem  19858  telgsumfzs  19926  freshmansdream  21491  imasdsf1olem  24268  plyaddlem1  26125  plymullem1  26126  coeeulem  26136  coeidlem  26149  coeid3  26152  coefv0  26160  coemulc  26167  vieta1lem2  26226  ppinprm  27069  chtnprm  27071  chpwordi  27074  chtublem  27129  bposlem1  27202  gausslemma2dlem2  27285  lgsquadlem3  27300  chebbnd1lem1  27387  vmadivsumb  27401  dchrvmasumiflem1  27419  mulog2sumlem2  27453  selbergb  27467  selberg2b  27470  chpdifbndlem1  27471  logdivbnd  27474  selberg3lem2  27476  pntrsumbnd  27484  pntlemq  27519  axlowdimlem16  28891  axlowdimlem17  28892  wlkres  29605  crctcshwlkn0lem2  29748  clwwlkvbij  30049  splfv3  32887  ballotlemimin  34504  ballotlemsdom  34510  ballotlemsel1i  34511  ballotlemsima  34514  ballotlemfrc  34525  ballotlemfrceq  34527  fzssfzo  34537  fsum2dsub  34605  pfxwlk  35118  erdszelem7  35191  erdszelem8  35192  elfzm12  35669  poimirlem1  37622  poimirlem2  37623  poimirlem4  37625  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem9  37630  poimirlem15  37636  poimirlem16  37637  poimirlem17  37638  poimirlem19  37640  poimirlem22  37643  poimirlem23  37644  poimirlem24  37645  poimirlem26  37647  poimirlem27  37648  poimirlem28  37649  poimirlem31  37652  mettrifi  37758  eldiophb  42752  eldioph2lem2  42756  diophrex  42770  fmul01  45585  fmulcl  45586  dvnprodlem2  45952  stoweidlem11  46016  stoweidlem17  46022  stoweidlem26  46031  iccpartres  47423  iccpartipre  47426