Theorem fzss2 13225

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13181	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13182	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12529	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13179	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3923	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  fzssp1  13228  elfz0add  13284  predfz  13310  fzoss2  13343  sermono  13683  seqsplit  13684  seqcaopr2  13687  seqf1olem2a  13689  seqf1olem2  13691  seqhomo  13698  seqz  13699  bcm1k  13957  seqcoll  14106  seqcoll2  14107  isercoll  15307  fsum0diaglem  15416  fsum0diag2  15423  cvgcmpce  15458  mertenslem1  15524  prodfn0  15534  prodfrec  15535  binomfallfaclem2  15678  bpoly4  15697  eulerthlem2  16411  pcfac  16528  vdwnnlem2  16625  strleun  16786  gsumzaddlem  19437  telgsumfzs  19505  imasdsf1olem  23434  plyaddlem1  25279  plymullem1  25280  coeeulem  25290  coeidlem  25303  coeid3  25306  coefv0  25314  coemulc  25321  vieta1lem2  25376  ppinprm  26206  chtnprm  26208  chpwordi  26211  chtublem  26264  bposlem1  26337  gausslemma2dlem2  26420  lgsquadlem3  26435  chebbnd1lem1  26522  vmadivsumb  26536  dchrvmasumiflem1  26554  mulog2sumlem2  26588  selbergb  26602  selberg2b  26605  chpdifbndlem1  26606  logdivbnd  26609  selberg3lem2  26611  pntrsumbnd  26619  pntlemq  26654  axlowdimlem16  27228  axlowdimlem17  27229  wlkres  27940  crctcshwlkn0lem2  28077  clwwlkvbij  28378  prmdvdsbc  31032  splfv3  31132  freshmansdream  31386  ballotlemimin  32372  ballotlemsdom  32378  ballotlemsel1i  32379  ballotlemsima  32382  ballotlemfrc  32393  ballotlemfrceq  32395  fzssfzo  32418  fsum2dsub  32487  pfxwlk  32985  erdszelem7  33059  erdszelem8  33060  elfzm12  33533  poimirlem1  35705  poimirlem2  35706  poimirlem4  35708  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem9  35713  poimirlem15  35719  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem22  35726  poimirlem23  35727  poimirlem24  35728  poimirlem26  35730  poimirlem27  35731  poimirlem28  35732  poimirlem31  35735  mettrifi  35842  eldiophb  40495  eldioph2lem2  40499  diophrex  40513  fmul01  43011  fmulcl  43012  dvnprodlem2  43378  stoweidlem11  43442  stoweidlem17  43448  stoweidlem26  43457  iccpartres  44758  iccpartipre  44761