Theorem fzss2 13624

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13580	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13581	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12921	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13578	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 4014	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  fzssp1  13627  elfz0add  13683  predfz  13710  fzoss2  13744  sermono  14085  seqsplit  14086  seqcaopr2  14089  seqf1olem2a  14091  seqf1olem2  14093  seqhomo  14100  seqz  14101  bcm1k  14364  seqcoll  14513  seqcoll2  14514  isercoll  15716  fsum0diaglem  15824  fsum0diag2  15831  cvgcmpce  15866  mertenslem1  15932  prodfn0  15942  prodfrec  15943  binomfallfaclem2  16088  bpoly4  16107  prmdvdsbc  16773  eulerthlem2  16829  pcfac  16946  vdwnnlem2  17043  strleun  17204  gsumzaddlem  19963  telgsumfzs  20031  freshmansdream  21616  imasdsf1olem  24404  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  coeeulem  26283  coeidlem  26296  coeid3  26299  coefv0  26307  coemulc  26314  vieta1lem2  26371  ppinprm  27213  chtnprm  27215  chpwordi  27218  chtublem  27273  bposlem1  27346  gausslemma2dlem2  27429  lgsquadlem3  27444  chebbnd1lem1  27531  vmadivsumb  27545  dchrvmasumiflem1  27563  mulog2sumlem2  27597  selbergb  27611  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  logdivbnd  27618  selberg3lem2  27620  pntrsumbnd  27628  pntlemq  27663  axlowdimlem16  28990  axlowdimlem17  28991  wlkres  29706  crctcshwlkn0lem2  29844  clwwlkvbij  30145  splfv3  32925  ballotlemimin  34470  ballotlemsdom  34476  ballotlemsel1i  34477  ballotlemsima  34480  ballotlemfrc  34491  ballotlemfrceq  34493  fzssfzo  34516  fsum2dsub  34584  pfxwlk  35091  erdszelem7  35165  erdszelem8  35166  elfzm12  35643  poimirlem1  37581  poimirlem2  37582  poimirlem4  37584  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem9  37589  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem22  37602  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  poimirlem31  37611  mettrifi  37717  eldiophb  42713  eldioph2lem2  42717  diophrex  42731  fmul01  45501  fmulcl  45502  dvnprodlem2  45868  stoweidlem11  45932  stoweidlem17  45938  stoweidlem26  45947  iccpartres  47292  iccpartipre  47295