Theorem fzss2 13492

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13448	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13449	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12781	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13446	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3941	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  fzssp1  13495  elfz0add  13554  predfz  13581  fzoss2  13615  sermono  13969  seqsplit  13970  seqcaopr2  13973  seqf1olem2a  13975  seqf1olem2  13977  seqhomo  13984  seqz  13985  bcm1k  14250  seqcoll  14399  seqcoll2  14400  isercoll  15603  fsum0diaglem  15711  fsum0diag2  15718  cvgcmpce  15753  mertenslem1  15819  prodfn0  15829  prodfrec  15830  binomfallfaclem2  15975  bpoly4  15994  prmdvdsbc  16665  eulerthlem2  16721  pcfac  16839  vdwnnlem2  16936  strleun  17096  gsumzaddlem  19862  telgsumfzs  19930  freshmansdream  21541  imasdsf1olem  24329  plyaddlem1  26186  plymullem1  26187  coeeulem  26197  coeidlem  26210  coeid3  26213  coefv0  26221  coemulc  26228  vieta1lem2  26287  ppinprm  27130  chtnprm  27132  chpwordi  27135  chtublem  27190  bposlem1  27263  gausslemma2dlem2  27346  lgsquadlem3  27361  chebbnd1lem1  27448  vmadivsumb  27462  dchrvmasumiflem1  27480  mulog2sumlem2  27514  selbergb  27528  selberg2b  27531  chpdifbndlem1  27532  logdivbnd  27535  selberg3lem2  27537  pntrsumbnd  27545  pntlemq  27580  axlowdimlem16  29042  axlowdimlem17  29043  wlkres  29754  crctcshwlkn0lem2  29896  clwwlkvbij  30200  splfv3  33050  ballotlemimin  34683  ballotlemsdom  34689  ballotlemsel1i  34690  ballotlemsima  34693  ballotlemfrc  34704  ballotlemfrceq  34706  fzssfzo  34716  fsum2dsub  34784  pfxwlk  35337  erdszelem7  35410  erdszelem8  35411  elfzm12  35888  poimirlem1  37866  poimirlem2  37867  poimirlem4  37869  poimirlem6  37871  poimirlem7  37872  poimirlem9  37874  poimirlem15  37880  poimirlem16  37881  poimirlem17  37882  poimirlem19  37884  poimirlem22  37887  poimirlem23  37888  poimirlem24  37889  poimirlem26  37891  poimirlem27  37892  poimirlem28  37893  poimirlem31  37896  mettrifi  38002  eldiophb  43108  eldioph2lem2  43112  diophrex  43126  fmul01  45934  fmulcl  45935  dvnprodlem2  46299  stoweidlem11  46363  stoweidlem17  46369  stoweidlem26  46378  iccpartres  47772  iccpartipre  47775