Theorem fzss2 13547

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13503	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13504	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12846	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13501	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3989	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℤ_≥cuz 12828  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-neg 11453  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  fzssp1  13550  elfz0add  13606  predfz  13632  fzoss2  13666  sermono  14006  seqsplit  14007  seqcaopr2  14010  seqf1olem2a  14012  seqf1olem2  14014  seqhomo  14021  seqz  14022  bcm1k  14281  seqcoll  14431  seqcoll2  14432  isercoll  15620  fsum0diaglem  15728  fsum0diag2  15735  cvgcmpce  15770  mertenslem1  15836  prodfn0  15846  prodfrec  15847  binomfallfaclem2  15990  bpoly4  16009  eulerthlem2  16721  pcfac  16838  vdwnnlem2  16935  strleun  17096  gsumzaddlem  19832  telgsumfzs  19900  imasdsf1olem  24101  plyaddlem1  25961  plymullem1  25962  coeeulem  25972  coeidlem  25985  coeid3  25988  coefv0  25996  coemulc  26003  vieta1lem2  26058  ppinprm  26890  chtnprm  26892  chpwordi  26895  chtublem  26948  bposlem1  27021  gausslemma2dlem2  27104  lgsquadlem3  27119  chebbnd1lem1  27206  vmadivsumb  27220  dchrvmasumiflem1  27238  mulog2sumlem2  27272  selbergb  27286  selberg2b  27289  chpdifbndlem1  27290  logdivbnd  27293  selberg3lem2  27295  pntrsumbnd  27303  pntlemq  27338  axlowdimlem16  28480  axlowdimlem17  28481  wlkres  29192  crctcshwlkn0lem2  29330  clwwlkvbij  29631  prmdvdsbc  32287  splfv3  32387  freshmansdream  32649  ballotlemimin  33800  ballotlemsdom  33806  ballotlemsel1i  33807  ballotlemsima  33810  ballotlemfrc  33821  ballotlemfrceq  33823  fzssfzo  33846  fsum2dsub  33915  pfxwlk  34410  erdszelem7  34484  erdszelem8  34485  elfzm12  34956  poimirlem1  36794  poimirlem2  36795  poimirlem4  36797  poimirlem6  36799  poimirlem7  36800  poimirlem9  36802  poimirlem15  36808  poimirlem16  36809  poimirlem17  36810  poimirlem19  36812  poimirlem22  36815  poimirlem23  36816  poimirlem24  36817  poimirlem26  36819  poimirlem27  36820  poimirlem28  36821  poimirlem31  36824  mettrifi  36930  eldiophb  41799  eldioph2lem2  41803  diophrex  41817  fmul01  44596  fmulcl  44597  dvnprodlem2  44963  stoweidlem11  45027  stoweidlem17  45033  stoweidlem26  45042  iccpartres  46386  iccpartipre  46389