Theorem fzss2 13389

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13345	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13346	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12693	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13343	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ℤ_≥cuz 12675  ...cfz 13332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-neg 11301  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333

This theorem is referenced by:  fzssp1  13392  elfz0add  13448  predfz  13474  fzoss2  13508  sermono  13848  seqsplit  13849  seqcaopr2  13852  seqf1olem2a  13854  seqf1olem2  13856  seqhomo  13863  seqz  13864  bcm1k  14122  seqcoll  14270  seqcoll2  14271  isercoll  15470  fsum0diaglem  15579  fsum0diag2  15586  cvgcmpce  15621  mertenslem1  15687  prodfn0  15697  prodfrec  15698  binomfallfaclem2  15841  bpoly4  15860  eulerthlem2  16572  pcfac  16689  vdwnnlem2  16786  strleun  16947  gsumzaddlem  19609  telgsumfzs  19677  imasdsf1olem  23624  plyaddlem1  25472  plymullem1  25473  coeeulem  25483  coeidlem  25496  coeid3  25499  coefv0  25507  coemulc  25514  vieta1lem2  25569  ppinprm  26399  chtnprm  26401  chpwordi  26404  chtublem  26457  bposlem1  26530  gausslemma2dlem2  26613  lgsquadlem3  26628  chebbnd1lem1  26715  vmadivsumb  26729  dchrvmasumiflem1  26747  mulog2sumlem2  26781  selbergb  26795  selberg2b  26798  chpdifbndlem1  26799  logdivbnd  26802  selberg3lem2  26804  pntrsumbnd  26812  pntlemq  26847  axlowdimlem16  27555  axlowdimlem17  27556  wlkres  28267  crctcshwlkn0lem2  28405  clwwlkvbij  28706  prmdvdsbc  31358  splfv3  31458  freshmansdream  31712  ballotlemimin  32713  ballotlemsdom  32719  ballotlemsel1i  32720  ballotlemsima  32723  ballotlemfrc  32734  ballotlemfrceq  32736  fzssfzo  32759  fsum2dsub  32828  pfxwlk  33325  erdszelem7  33399  erdszelem8  33400  elfzm12  33873  poimirlem1  35876  poimirlem2  35877  poimirlem4  35879  poimirlem6  35881  poimirlem7  35882  poimirlem9  35884  poimirlem15  35890  poimirlem16  35891  poimirlem17  35892  poimirlem19  35894  poimirlem22  35897  poimirlem23  35898  poimirlem24  35899  poimirlem26  35901  poimirlem27  35902  poimirlem28  35903  poimirlem31  35906  mettrifi  36013  eldiophb  40829  eldioph2lem2  40833  diophrex  40847  fmul01  43446  fmulcl  43447  dvnprodlem2  43813  stoweidlem11  43877  stoweidlem17  43883  stoweidlem26  43892  iccpartres  45210  iccpartipre  45213