Theorem fzss2 13678

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13633	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13634	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12964	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13631	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11525  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621

This theorem is used by:  fzssp1  13681  elfz0add  13740  predfz  13767  fzoss2  13802  sermono  14157  seqsplit  14158  seqcaopr2  14161  seqf1olem2a  14163  seqf1olem2  14165  seqhomo  14172  seqz  14173  bcm1k  14439  seqcoll  14589  seqcoll2  14590  isercoll  15815  fsum0diaglem  15922  fsum0diag2  15929  cvgcmpce  15965  mertenslem1  16033  prodfn0  16043  prodfrec  16044  binomfallfaclem2  16186  bpoly4  16205  prmdvdsbc  16882  eulerthlem2  16939  pcfac  17057  vdwnnlem2  17154  strleun  17315  gsumzaddlem  20115  telgsumfzs  20183  freshmansdream  21860  imasdsf1olem  24672  plyaddlem1  26512  plymullem1  26513  coeeulem  26523  coeidlem  26536  coeid3  26539  coefv0  26547  coemulc  26554  vieta1lem2  26616  ppinprm  27461  chtnprm  27463  chpwordi  27466  chtublem  27520  bposlem1  27593  gausslemma2dlem2  27676  lgsquadlem3  27691  chebbnd1lem1  27778  vmadivsumb  27792  dchrvmasumiflem1  27810  mulog2sumlem2  27844  selbergb  27858  selberg2b  27861  chpdifbndlem1  27862  logdivbnd  27865  selberg3lem2  27867  pntrsumbnd  27875  pntlemq  27910  axlowdimlem16  29517  axlowdimlem17  29518  wlkres  30231  pfxwlk  30248  crctcshwlkn0lem2  30382  clwwlkvbij  30686  splfv3  33501  ballotlemimin  35121  ballotlemsdom  35127  ballotlemsel1i  35128  ballotlemsima  35131  ballotlemfrc  35142  ballotlemfrceq  35144  fzssfzo  35154  fsum2dsub  35219  erdszelem7  35931  erdszelem8  35932  elfzm12  36409  poimirlem1  38507  poimirlem2  38508  poimirlem4  38510  poimirlem6  38512  poimirlem7  38513  poimirlem9  38515  poimirlem15  38521  poimirlem16  38522  poimirlem17  38523  poimirlem19  38525  poimirlem22  38528  poimirlem23  38529  poimirlem24  38530  poimirlem26  38532  poimirlem27  38533  poimirlem28  38534  poimirlem31  38537  mettrifi  38659  eldiophb  43721  eldioph2lem2  43725  diophrex  43739  fmul01  46536  fmulcl  46537  dvnprodlem2  46901  stoweidlem11  46965  stoweidlem17  46971  stoweidlem26  46980  iccpartres  48444  iccpartipre  48447