Theorem fzss2 13152

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13108	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13109	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12456	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13106	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 416	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3907	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-neg 11065  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  fzssp1  13155  elfz0add  13211  predfz  13237  fzoss2  13270  sermono  13608  seqsplit  13609  seqcaopr2  13612  seqf1olem2a  13614  seqf1olem2  13616  seqhomo  13623  seqz  13624  bcm1k  13881  seqcoll  14030  seqcoll2  14031  isercoll  15231  fsum0diaglem  15340  fsum0diag2  15347  cvgcmpce  15382  mertenslem1  15448  prodfn0  15458  prodfrec  15459  binomfallfaclem2  15602  bpoly4  15621  eulerthlem2  16335  pcfac  16452  vdwnnlem2  16549  strleun  16710  gsumzaddlem  19306  telgsumfzs  19374  imasdsf1olem  23271  plyaddlem1  25107  plymullem1  25108  coeeulem  25118  coeidlem  25131  coeid3  25134  coefv0  25142  coemulc  25149  vieta1lem2  25204  ppinprm  26034  chtnprm  26036  chpwordi  26039  chtublem  26092  bposlem1  26165  gausslemma2dlem2  26248  lgsquadlem3  26263  chebbnd1lem1  26350  vmadivsumb  26364  dchrvmasumiflem1  26382  mulog2sumlem2  26416  selbergb  26430  selberg2b  26433  chpdifbndlem1  26434  logdivbnd  26437  selberg3lem2  26439  pntrsumbnd  26447  pntlemq  26482  axlowdimlem16  27048  axlowdimlem17  27049  wlkres  27758  crctcshwlkn0lem2  27895  clwwlkvbij  28196  prmdvdsbc  30850  splfv3  30950  freshmansdream  31203  ballotlemimin  32184  ballotlemsdom  32190  ballotlemsel1i  32191  ballotlemsima  32194  ballotlemfrc  32205  ballotlemfrceq  32207  fzssfzo  32230  fsum2dsub  32299  pfxwlk  32798  erdszelem7  32872  erdszelem8  32873  elfzm12  33346  poimirlem1  35515  poimirlem2  35516  poimirlem4  35518  poimirlem6  35520  poimirlem7  35521  poimirlem9  35523  poimirlem15  35529  poimirlem16  35530  poimirlem17  35531  poimirlem19  35533  poimirlem22  35536  poimirlem23  35537  poimirlem24  35538  poimirlem26  35540  poimirlem27  35541  poimirlem28  35542  poimirlem31  35545  mettrifi  35652  eldiophb  40282  eldioph2lem2  40286  diophrex  40300  fmul01  42796  fmulcl  42797  dvnprodlem2  43163  stoweidlem11  43227  stoweidlem17  43233  stoweidlem26  43242  iccpartres  44543  iccpartipre  44546