Theorem fzss2 13485

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13441	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13442	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12771	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13439	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3943	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-neg 11368  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429

This theorem is referenced by:  fzssp1  13488  elfz0add  13547  predfz  13574  fzoss2  13608  sermono  13959  seqsplit  13960  seqcaopr2  13963  seqf1olem2a  13965  seqf1olem2  13967  seqhomo  13974  seqz  13975  bcm1k  14240  seqcoll  14389  seqcoll2  14390  isercoll  15593  fsum0diaglem  15701  fsum0diag2  15708  cvgcmpce  15743  mertenslem1  15809  prodfn0  15819  prodfrec  15820  binomfallfaclem2  15965  bpoly4  15984  prmdvdsbc  16655  eulerthlem2  16711  pcfac  16829  vdwnnlem2  16926  strleun  17086  gsumzaddlem  19818  telgsumfzs  19886  freshmansdream  21499  imasdsf1olem  24277  plyaddlem1  26134  plymullem1  26135  coeeulem  26145  coeidlem  26158  coeid3  26161  coefv0  26169  coemulc  26176  vieta1lem2  26235  ppinprm  27078  chtnprm  27080  chpwordi  27083  chtublem  27138  bposlem1  27211  gausslemma2dlem2  27294  lgsquadlem3  27309  chebbnd1lem1  27396  vmadivsumb  27410  dchrvmasumiflem1  27428  mulog2sumlem2  27462  selbergb  27476  selberg2b  27479  chpdifbndlem1  27480  logdivbnd  27483  selberg3lem2  27485  pntrsumbnd  27493  pntlemq  27528  axlowdimlem16  28920  axlowdimlem17  28921  wlkres  29632  crctcshwlkn0lem2  29774  clwwlkvbij  30075  splfv3  32913  ballotlemimin  34473  ballotlemsdom  34479  ballotlemsel1i  34480  ballotlemsima  34483  ballotlemfrc  34494  ballotlemfrceq  34496  fzssfzo  34506  fsum2dsub  34574  pfxwlk  35096  erdszelem7  35169  erdszelem8  35170  elfzm12  35647  poimirlem1  37600  poimirlem2  37601  poimirlem4  37603  poimirlem6  37605  poimirlem7  37606  poimirlem9  37608  poimirlem15  37614  poimirlem16  37615  poimirlem17  37616  poimirlem19  37618  poimirlem22  37621  poimirlem23  37622  poimirlem24  37623  poimirlem26  37625  poimirlem27  37626  poimirlem28  37627  poimirlem31  37630  mettrifi  37736  eldiophb  42730  eldioph2lem2  42734  diophrex  42748  fmul01  45562  fmulcl  45563  dvnprodlem2  45929  stoweidlem11  45993  stoweidlem17  45999  stoweidlem26  46008  iccpartres  47403  iccpartipre  47406