Theorem fzss2 13623

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13578	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13579	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12909	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13576	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-neg 11472  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566

This theorem is used by:  fzssp1  13626  elfz0add  13685  predfz  13712  fzoss2  13747  sermono  14102  seqsplit  14103  seqcaopr2  14106  seqf1olem2a  14108  seqf1olem2  14110  seqhomo  14117  seqz  14118  bcm1k  14383  seqcoll  14533  seqcoll2  14534  isercoll  15759  fsum0diaglem  15866  fsum0diag2  15873  cvgcmpce  15909  mertenslem1  15977  prodfn0  15987  prodfrec  15988  binomfallfaclem2  16132  bpoly4  16151  prmdvdsbc  16823  eulerthlem2  16879  pcfac  16997  vdwnnlem2  17094  strleun  17255  gsumzaddlem  20054  telgsumfzs  20122  freshmansdream  21793  imasdsf1olem  24605  plyaddlem1  26446  plymullem1  26447  coeeulem  26457  coeidlem  26470  coeid3  26473  coefv0  26481  coemulc  26488  vieta1lem2  26550  ppinprm  27396  chtnprm  27398  chpwordi  27401  chtublem  27455  bposlem1  27528  gausslemma2dlem2  27611  lgsquadlem3  27626  chebbnd1lem1  27713  vmadivsumb  27727  dchrvmasumiflem1  27745  mulog2sumlem2  27779  selbergb  27793  selberg2b  27796  chpdifbndlem1  27797  logdivbnd  27800  selberg3lem2  27802  pntrsumbnd  27810  pntlemq  27845  axlowdimlem16  29422  axlowdimlem17  29423  wlkres  30136  pfxwlk  30153  crctcshwlkn0lem2  30287  clwwlkvbij  30591  splfv3  33406  ballotlemimin  35025  ballotlemsdom  35031  ballotlemsel1i  35032  ballotlemsima  35035  ballotlemfrc  35046  ballotlemfrceq  35048  fzssfzo  35058  fsum2dsub  35123  erdszelem7  35784  erdszelem8  35785  elfzm12  36262  poimirlem1  38378  poimirlem2  38379  poimirlem4  38381  poimirlem6  38383  poimirlem7  38384  poimirlem9  38386  poimirlem15  38392  poimirlem16  38393  poimirlem17  38394  poimirlem19  38396  poimirlem22  38399  poimirlem23  38400  poimirlem24  38401  poimirlem26  38403  poimirlem27  38404  poimirlem28  38405  poimirlem31  38408  mettrifi  38515  eldiophb  43610  eldioph2lem2  43614  diophrex  43628  fmul01  46418  fmulcl  46419  dvnprodlem2  46783  stoweidlem11  46847  stoweidlem17  46853  stoweidlem26  46862  iccpartres  48326  iccpartipre  48329