Theorem fzss2 13541

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13497	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13498	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12840	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13495	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3989	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  fzssp1  13544  elfz0add  13600  predfz  13626  fzoss2  13660  sermono  14000  seqsplit  14001  seqcaopr2  14004  seqf1olem2a  14006  seqf1olem2  14008  seqhomo  14015  seqz  14016  bcm1k  14275  seqcoll  14425  seqcoll2  14426  isercoll  15614  fsum0diaglem  15722  fsum0diag2  15729  cvgcmpce  15764  mertenslem1  15830  prodfn0  15840  prodfrec  15841  binomfallfaclem2  15984  bpoly4  16003  eulerthlem2  16715  pcfac  16832  vdwnnlem2  16929  strleun  17090  gsumzaddlem  19789  telgsumfzs  19857  imasdsf1olem  23879  plyaddlem1  25727  plymullem1  25728  coeeulem  25738  coeidlem  25751  coeid3  25754  coefv0  25762  coemulc  25769  vieta1lem2  25824  ppinprm  26656  chtnprm  26658  chpwordi  26661  chtublem  26714  bposlem1  26787  gausslemma2dlem2  26870  lgsquadlem3  26885  chebbnd1lem1  26972  vmadivsumb  26986  dchrvmasumiflem1  27004  mulog2sumlem2  27038  selbergb  27052  selberg2b  27055  chpdifbndlem1  27056  logdivbnd  27059  selberg3lem2  27061  pntrsumbnd  27069  pntlemq  27104  axlowdimlem16  28215  axlowdimlem17  28216  wlkres  28927  crctcshwlkn0lem2  29065  clwwlkvbij  29366  prmdvdsbc  32022  splfv3  32122  freshmansdream  32381  ballotlemimin  33504  ballotlemsdom  33510  ballotlemsel1i  33511  ballotlemsima  33514  ballotlemfrc  33525  ballotlemfrceq  33527  fzssfzo  33550  fsum2dsub  33619  pfxwlk  34114  erdszelem7  34188  erdszelem8  34189  elfzm12  34660  poimirlem1  36489  poimirlem2  36490  poimirlem4  36492  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem9  36497  poimirlem15  36503  poimirlem16  36504  poimirlem17  36505  poimirlem19  36507  poimirlem22  36510  poimirlem23  36511  poimirlem24  36512  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem28  36516  poimirlem31  36519  mettrifi  36625  eldiophb  41495  eldioph2lem2  41499  diophrex  41513  fmul01  44296  fmulcl  44297  dvnprodlem2  44663  stoweidlem11  44727  stoweidlem17  44733  stoweidlem26  44742  iccpartres  46086  iccpartipre  46089