Theorem fzss2 13586

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13542	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13543	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12875	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13540	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3969	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  fzssp1  13589  elfz0add  13648  predfz  13675  fzoss2  13709  sermono  14057  seqsplit  14058  seqcaopr2  14061  seqf1olem2a  14063  seqf1olem2  14065  seqhomo  14072  seqz  14073  bcm1k  14338  seqcoll  14487  seqcoll2  14488  isercoll  15689  fsum0diaglem  15797  fsum0diag2  15804  cvgcmpce  15839  mertenslem1  15905  prodfn0  15915  prodfrec  15916  binomfallfaclem2  16061  bpoly4  16080  prmdvdsbc  16750  eulerthlem2  16806  pcfac  16924  vdwnnlem2  17021  strleun  17181  gsumzaddlem  19907  telgsumfzs  19975  freshmansdream  21540  imasdsf1olem  24317  plyaddlem1  26175  plymullem1  26176  coeeulem  26186  coeidlem  26199  coeid3  26202  coefv0  26210  coemulc  26217  vieta1lem2  26276  ppinprm  27119  chtnprm  27121  chpwordi  27124  chtublem  27179  bposlem1  27252  gausslemma2dlem2  27335  lgsquadlem3  27350  chebbnd1lem1  27437  vmadivsumb  27451  dchrvmasumiflem1  27469  mulog2sumlem2  27503  selbergb  27517  selberg2b  27520  chpdifbndlem1  27521  logdivbnd  27524  selberg3lem2  27526  pntrsumbnd  27534  pntlemq  27569  axlowdimlem16  28941  axlowdimlem17  28942  wlkres  29655  crctcshwlkn0lem2  29798  clwwlkvbij  30099  splfv3  32939  ballotlemimin  34543  ballotlemsdom  34549  ballotlemsel1i  34550  ballotlemsima  34553  ballotlemfrc  34564  ballotlemfrceq  34566  fzssfzo  34576  fsum2dsub  34644  pfxwlk  35151  erdszelem7  35224  erdszelem8  35225  elfzm12  35702  poimirlem1  37650  poimirlem2  37651  poimirlem4  37653  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  poimirlem9  37658  poimirlem15  37664  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem22  37671  poimirlem23  37672  poimirlem24  37673  poimirlem26  37675  poimirlem27  37676  poimirlem28  37677  poimirlem31  37680  mettrifi  37786  eldiophb  42747  eldioph2lem2  42751  diophrex  42765  fmul01  45576  fmulcl  45577  dvnprodlem2  45943  stoweidlem11  46007  stoweidlem17  46013  stoweidlem26  46022  iccpartres  47399  iccpartipre  47402