Theorem fzss2 13480

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13436	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13437	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12769	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13434	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3939	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fzssp1  13483  elfz0add  13542  predfz  13569  fzoss2  13603  sermono  13957  seqsplit  13958  seqcaopr2  13961  seqf1olem2a  13963  seqf1olem2  13965  seqhomo  13972  seqz  13973  bcm1k  14238  seqcoll  14387  seqcoll2  14388  isercoll  15591  fsum0diaglem  15699  fsum0diag2  15706  cvgcmpce  15741  mertenslem1  15807  prodfn0  15817  prodfrec  15818  binomfallfaclem2  15963  bpoly4  15982  prmdvdsbc  16653  eulerthlem2  16709  pcfac  16827  vdwnnlem2  16924  strleun  17084  gsumzaddlem  19850  telgsumfzs  19918  freshmansdream  21529  imasdsf1olem  24317  plyaddlem1  26174  plymullem1  26175  coeeulem  26185  coeidlem  26198  coeid3  26201  coefv0  26209  coemulc  26216  vieta1lem2  26275  ppinprm  27118  chtnprm  27120  chpwordi  27123  chtublem  27178  bposlem1  27251  gausslemma2dlem2  27334  lgsquadlem3  27349  chebbnd1lem1  27436  vmadivsumb  27450  dchrvmasumiflem1  27468  mulog2sumlem2  27502  selbergb  27516  selberg2b  27519  chpdifbndlem1  27520  logdivbnd  27523  selberg3lem2  27525  pntrsumbnd  27533  pntlemq  27568  axlowdimlem16  29030  axlowdimlem17  29031  wlkres  29742  crctcshwlkn0lem2  29884  clwwlkvbij  30188  splfv3  33040  ballotlemimin  34663  ballotlemsdom  34669  ballotlemsel1i  34670  ballotlemsima  34673  ballotlemfrc  34684  ballotlemfrceq  34686  fzssfzo  34696  fsum2dsub  34764  pfxwlk  35318  erdszelem7  35391  erdszelem8  35392  elfzm12  35869  poimirlem1  37818  poimirlem2  37819  poimirlem4  37821  poimirlem6  37823  poimirlem7  37824  poimirlem9  37826  poimirlem15  37832  poimirlem16  37833  poimirlem17  37834  poimirlem19  37836  poimirlem22  37839  poimirlem23  37840  poimirlem24  37841  poimirlem26  37843  poimirlem27  37844  poimirlem28  37845  poimirlem31  37848  mettrifi  37954  eldiophb  42995  eldioph2lem2  42999  diophrex  43013  fmul01  45822  fmulcl  45823  dvnprodlem2  46187  stoweidlem11  46251  stoweidlem17  46257  stoweidlem26  46266  iccpartres  47660  iccpartipre  47663