Theorem fzss2 13566

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13522	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13523	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12854	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13520	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 416	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3942	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510

This theorem is referenced by:  fzssp1  13569  elfz0add  13628  predfz  13655  fzoss2  13690  sermono  14044  seqsplit  14045  seqcaopr2  14048  seqf1olem2a  14050  seqf1olem2  14052  seqhomo  14059  seqz  14060  bcm1k  14325  seqcoll  14474  seqcoll2  14475  isercoll  15678  fsum0diaglem  15786  fsum0diag2  15793  cvgcmpce  15829  mertenslem1  15897  prodfn0  15907  prodfrec  15908  binomfallfaclem2  16053  bpoly4  16072  prmdvdsbc  16744  eulerthlem2  16800  pcfac  16918  vdwnnlem2  17015  strleun  17176  gsumzaddlem  19944  telgsumfzs  20012  freshmansdream  21606  imasdsf1olem  24413  plyaddlem1  26253  plymullem1  26254  coeeulem  26264  coeidlem  26277  coeid3  26280  coefv0  26288  coemulc  26295  vieta1lem2  26352  ppinprm  27193  chtnprm  27195  chpwordi  27198  chtublem  27252  bposlem1  27325  gausslemma2dlem2  27408  lgsquadlem3  27423  chebbnd1lem1  27510  vmadivsumb  27524  dchrvmasumiflem1  27542  mulog2sumlem2  27576  selbergb  27590  selberg2b  27593  chpdifbndlem1  27594  logdivbnd  27597  selberg3lem2  27599  pntrsumbnd  27607  pntlemq  27642  axlowdimlem16  29104  axlowdimlem17  29105  wlkres  29815  crctcshwlkn0lem2  29957  clwwlkvbij  30261  splfv3  33097  ballotlemimin  34764  ballotlemsdom  34770  ballotlemsel1i  34771  ballotlemsima  34774  ballotlemfrc  34785  ballotlemfrceq  34787  fzssfzo  34797  fsum2dsub  34865  pfxwlk  35438  erdszelem7  35511  erdszelem8  35512  elfzm12  35989  poimirlem1  38084  poimirlem2  38085  poimirlem4  38087  poimirlem6  38089  poimirlem7  38090  poimirlem9  38092  poimirlem15  38098  poimirlem16  38099  poimirlem17  38100  poimirlem19  38102  poimirlem22  38105  poimirlem23  38106  poimirlem24  38107  poimirlem26  38109  poimirlem27  38110  poimirlem28  38111  poimirlem31  38114  mettrifi  38220  eldiophb  43302  eldioph2lem2  43306  diophrex  43320  fmul01  46120  fmulcl  46121  dvnprodlem2  46485  stoweidlem11  46549  stoweidlem17  46555  stoweidlem26  46564  iccpartres  47988  iccpartipre  47991