Theorem fzss2 13305

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13261	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13262	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12609	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13259	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3888  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℤ_≥cuz 12591  ...cfz 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-neg 11217  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249

This theorem is referenced by:  fzssp1  13308  elfz0add  13364  predfz  13390  fzoss2  13424  sermono  13764  seqsplit  13765  seqcaopr2  13768  seqf1olem2a  13770  seqf1olem2  13772  seqhomo  13779  seqz  13780  bcm1k  14038  seqcoll  14187  seqcoll2  14188  isercoll  15388  fsum0diaglem  15497  fsum0diag2  15504  cvgcmpce  15539  mertenslem1  15605  prodfn0  15615  prodfrec  15616  binomfallfaclem2  15759  bpoly4  15778  eulerthlem2  16492  pcfac  16609  vdwnnlem2  16706  strleun  16867  gsumzaddlem  19531  telgsumfzs  19599  imasdsf1olem  23535  plyaddlem1  25383  plymullem1  25384  coeeulem  25394  coeidlem  25407  coeid3  25410  coefv0  25418  coemulc  25425  vieta1lem2  25480  ppinprm  26310  chtnprm  26312  chpwordi  26315  chtublem  26368  bposlem1  26441  gausslemma2dlem2  26524  lgsquadlem3  26539  chebbnd1lem1  26626  vmadivsumb  26640  dchrvmasumiflem1  26658  mulog2sumlem2  26692  selbergb  26706  selberg2b  26709  chpdifbndlem1  26710  logdivbnd  26713  selberg3lem2  26715  pntrsumbnd  26723  pntlemq  26758  axlowdimlem16  27334  axlowdimlem17  27335  wlkres  28047  crctcshwlkn0lem2  28185  clwwlkvbij  28486  prmdvdsbc  31139  splfv3  31239  freshmansdream  31493  ballotlemimin  32481  ballotlemsdom  32487  ballotlemsel1i  32488  ballotlemsima  32491  ballotlemfrc  32502  ballotlemfrceq  32504  fzssfzo  32527  fsum2dsub  32596  pfxwlk  33094  erdszelem7  33168  erdszelem8  33169  elfzm12  33642  poimirlem1  35787  poimirlem2  35788  poimirlem4  35790  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem9  35795  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem19  35805  poimirlem22  35808  poimirlem23  35809  poimirlem24  35810  poimirlem26  35812  poimirlem27  35813  poimirlem28  35814  poimirlem31  35817  mettrifi  35924  eldiophb  40586  eldioph2lem2  40590  diophrex  40604  fmul01  43128  fmulcl  43129  dvnprodlem2  43495  stoweidlem11  43559  stoweidlem17  43565  stoweidlem26  43574  iccpartres  44881  iccpartipre  44884