Theorem fzss2 12631

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12588	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 12589	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 11943	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 587	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 12586	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 579	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 402	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3802	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3767  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ℤ_≥cuz 11926  ...cfz 12576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-neg 10557  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577

This theorem is referenced by:  fzssp1  12634  elfz0add  12689  predfz  12715  fzoss2  12747  sermono  13083  seqsplit  13084  seqcaopr2  13087  seqf1olem2a  13089  seqf1olem2  13091  seqhomo  13098  seqz  13099  bcm1k  13351  seqcoll  13493  seqcoll2  13494  isercoll  14736  fsum0diaglem  14843  fsum0diag2  14850  cvgcmpce  14885  mertenslem1  14950  prodfn0  14960  prodfrec  14961  binomfallfaclem2  15104  bpoly4  15123  eulerthlem2  15817  pcfac  15933  vdwnnlem2  16030  strleun  16290  gsumzaddlem  18633  telgsumfzs  18699  imasdsf1olem  22503  plyaddlem1  24307  plymullem1  24308  coeeulem  24318  coeidlem  24331  coeid3  24334  coefv0  24342  coemulc  24349  vieta1lem2  24404  ppinprm  25227  chtnprm  25229  chpwordi  25232  chtublem  25285  bposlem1  25358  gausslemma2dlem2  25441  lgsquadlem3  25456  chebbnd1lem1  25507  vmadivsumb  25521  dchrvmasumiflem1  25539  mulog2sumlem2  25573  selbergb  25587  selberg2b  25590  chpdifbndlem1  25591  logdivbnd  25594  selberg3lem2  25596  pntrsumbnd  25604  pntlemq  25639  axlowdimlem16  26186  axlowdimlem17  26187  wlkres  26913  wlkresOLD  26915  crctcshwlkn0lem2  27054  clwwlkvbij  27445  clwwlkvbijOLD  27446  clwwlkvbijOLDOLD  27447  ballotlemimin  31076  ballotlemsdom  31082  ballotlemsel1i  31083  ballotlemsima  31086  ballotlemfrc  31097  ballotlemfrceq  31099  fzssfzo  31122  fsum2dsub  31197  erdszelem7  31688  erdszelem8  31689  elfzm12  32076  poimirlem1  33891  poimirlem2  33892  poimirlem4  33894  poimirlem6  33896  poimirlem7  33897  poimirlem9  33899  poimirlem15  33905  poimirlem16  33906  poimirlem17  33907  poimirlem19  33909  poimirlem22  33912  poimirlem23  33913  poimirlem24  33914  poimirlem26  33916  poimirlem27  33917  poimirlem28  33918  poimirlem31  33921  mettrifi  34032  eldiophb  38094  eldioph2lem2  38098  diophrex  38113  fmul01  40544  fmulcl  40545  dvnprodlem2  40894  stoweidlem11  40959  stoweidlem17  40965  stoweidlem26  40974  iccpartres  42182  iccpartipre  42185