Theorem fzss2 13518

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13474	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 13475	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12806	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 13472	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3927	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fzssp1  13521  elfz0add  13580  predfz  13607  fzoss2  13642  sermono  13996  seqsplit  13997  seqcaopr2  14000  seqf1olem2a  14002  seqf1olem2  14004  seqhomo  14011  seqz  14012  bcm1k  14277  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  isercoll  15630  fsum0diaglem  15738  fsum0diag2  15745  cvgcmpce  15781  mertenslem1  15849  prodfn0  15859  prodfrec  15860  binomfallfaclem2  16005  bpoly4  16024  prmdvdsbc  16696  eulerthlem2  16752  pcfac  16870  vdwnnlem2  16967  strleun  17127  gsumzaddlem  19896  telgsumfzs  19964  freshmansdream  21554  imasdsf1olem  24338  plyaddlem1  26178  plymullem1  26179  coeeulem  26189  coeidlem  26202  coeid3  26205  coefv0  26213  coemulc  26220  vieta1lem2  26277  ppinprm  27115  chtnprm  27117  chpwordi  27120  chtublem  27174  bposlem1  27247  gausslemma2dlem2  27330  lgsquadlem3  27345  chebbnd1lem1  27432  vmadivsumb  27446  dchrvmasumiflem1  27464  mulog2sumlem2  27498  selbergb  27512  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  logdivbnd  27519  selberg3lem2  27521  pntrsumbnd  27529  pntlemq  27564  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027  wlkres  29737  crctcshwlkn0lem2  29879  clwwlkvbij  30183  splfv3  33018  ballotlemimin  34650  ballotlemsdom  34656  ballotlemsel1i  34657  ballotlemsima  34660  ballotlemfrc  34671  ballotlemfrceq  34673  fzssfzo  34683  fsum2dsub  34751  pfxwlk  35306  erdszelem7  35379  erdszelem8  35380  elfzm12  35857  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem4  37945  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem9  37950  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  poimirlem31  37972  mettrifi  38078  eldiophb  43189  eldioph2lem2  43193  diophrex  43207  fmul01  46010  fmulcl  46011  dvnprodlem2  46375  stoweidlem11  46439  stoweidlem17  46445  stoweidlem26  46454  iccpartres  47878  iccpartipre  47881