Theorem elfzuz3 13421

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13418	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  elfzel2  13422  elfzle2  13428  peano2fzr  13437  fzsplit2  13449  fzsplit  13450  fznn0sub  13456  fzopth  13461  fzss1  13463  fzss2  13464  fzp1elp1  13477  predfz  13553  fzosplit  13592  fzoend  13657  fzofzp1b  13665  uzindi  13889  seqcl2  13927  seqfveq2  13931  monoord  13939  sermono  13941  seqsplit  13942  seqf1olem2  13949  seqid2  13955  seqhomo  13956  seqz  13957  bcval5  14225  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  swrdval2  14554  pfxres  14587  pfxf  14588  spllen  14661  splfv2a  14663  repswpfx  14692  fsum0diag2  15690  climcndslem2  15757  prodfn0  15801  lcmflefac  16559  pcbc  16812  vdwlem2  16894  vdwlem5  16897  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  prmgaplem1  16961  pfxchn  18516  psgnunilem5  19406  efgsres  19650  efgredleme  19655  efgcpbllemb  19667  imasdsf1olem  24288  volsup  25484  dvn2bss  25859  dvtaylp  26305  wilth  27008  ftalem1  27010  ppisval2  27042  dvdsppwf1o  27123  logfaclbnd  27160  bposlem6  27227  wlkres  29647  fzsplit3  32776  wrdres  32916  pfxf1  32923  swrdrn2  32935  swrdrn3  32936  swrdf1  32937  swrdrndisj  32938  splfv3  32939  cycpmco2f1  33093  cycpmco2rn  33094  cycpmco2lem7  33101  ballotlemsima  34529  ballotlemfrc  34540  ballotlemfrceq  34542  fzssfzo  34552  signstres  34588  fsum2dsub  34620  revpfxsfxrev  35160  swrdrevpfx  35161  pfxwlk  35168  erdszelem7  35241  erdszelem8  35242  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem3  37662  poimirlem4  37663  poimirlem7  37666  poimirlem12  37671  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem23  37682  poimirlem24  37683  poimirlem25  37684  poimirlem29  37688  poimirlem31  37690  mettrifi  37796  fzsplitnd  42074  aks6d1c2lem4  42219  bcc0  44432  iunincfi  45190  monoordxrv  45578  fmulcl  45680  fmul01lt1lem2  45684  dvnprodlem2  46044  stoweidlem11  46108  stoweidlem17  46114  fourierdlem15  46219  ssfz12  47413  smonoord  47470