Theorem elfzuz3 13528

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13525	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 501	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-neg 11419  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  elfzel2  13529  elfzle2  13535  peano2fzr  13544  fzsplit2  13556  fzsplit  13557  fznn0sub  13563  fzopth  13568  fzss1  13570  fzss2  13571  fzp1elp1  13584  predfz  13660  fzosplit  13700  fzoend  13765  fzofzp1b  13773  uzindi  13997  seqcl2  14035  seqfveq2  14039  monoord  14047  sermono  14049  seqsplit  14050  seqf1olem2  14057  seqid2  14063  seqhomo  14064  seqz  14065  bcval5  14333  seqcoll  14479  seqcoll2  14480  swrdval2  14662  pfxres  14695  pfxf  14696  spllen  14769  splfv2a  14771  repswpfx  14800  fsum0diag2  15812  climcndslem2  15882  prodfn0  15926  lcmflefac  16684  pcbc  16938  vdwlem2  17020  vdwlem5  17023  vdwlem6  17024  vdwlem8  17026  prmgaplem1  17087  pfxchn  18644  psgnunilem5  19536  efgsres  19780  efgredleme  19785  efgcpbllemb  19797  imasdsf1olem  24435  volsup  25620  dvn2bss  25994  dvtaylp  26435  wilth  27137  ftalem1  27139  ppisval2  27171  dvdsppwf1o  27252  logfaclbnd  27288  bposlem6  27355  wlkres  29871  fzsplit3  32997  wrdres  33115  pfxf1  33122  swrdrn2  33134  swrdrn3  33135  swrdf1  33136  swrdrndisj  33137  splfv3  33138  cycpmco2f1  33306  cycpmco2rn  33307  cycpmco2lem7  33314  ballotlemsima  34815  ballotlemfrc  34826  ballotlemfrceq  34828  fzssfzo  34838  signstres  34871  fsum2dsub  34903  revpfxsfxrev  35470  swrdrevpfx  35471  pfxwlk  35479  erdszelem7  35552  erdszelem8  35553  poimirlem1  38125  poimirlem2  38126  poimirlem3  38127  poimirlem4  38128  poimirlem7  38131  poimirlem12  38136  poimirlem15  38139  poimirlem16  38140  poimirlem17  38141  poimirlem19  38143  poimirlem20  38144  poimirlem23  38147  poimirlem24  38148  poimirlem25  38149  poimirlem29  38153  poimirlem31  38155  mettrifi  38261  fzsplitnd  42604  aks6d1c2lem4  42749  bcc0  44921  iunincfi  45677  monoordxrv  46060  fmulcl  46162  fmul01lt1lem2  46166  dvnprodlem2  46526  stoweidlem11  46590  stoweidlem17  46596  fourierdlem15  46701  ssfz12  47913  smonoord  47976