Theorem elfzuz3 13467

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13464	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 498	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℤ_≥cuz 12780  ...cfz 13453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-neg 11372  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454

This theorem is referenced by:  elfzel2  13468  elfzle2  13474  peano2fzr  13483  fzsplit2  13495  fzsplit  13496  fznn0sub  13502  fzopth  13507  fzss1  13509  fzss2  13510  fzp1elp1  13523  predfz  13599  fzosplit  13639  fzoend  13704  fzofzp1b  13712  uzindi  13936  seqcl2  13974  seqfveq2  13978  monoord  13986  sermono  13988  seqsplit  13989  seqf1olem2  13996  seqid2  14002  seqhomo  14003  seqz  14004  bcval5  14272  seqcoll  14418  seqcoll2  14419  swrdval2  14601  pfxres  14634  pfxf  14635  spllen  14708  splfv2a  14710  repswpfx  14739  fsum0diag2  15737  climcndslem2  15807  prodfn0  15851  lcmflefac  16609  pcbc  16863  vdwlem2  16945  vdwlem5  16948  vdwlem6  16949  vdwlem8  16951  prmgaplem1  17012  pfxchn  18568  psgnunilem5  19461  efgsres  19705  efgredleme  19710  efgcpbllemb  19722  imasdsf1olem  24357  volsup  25542  dvn2bss  25916  dvtaylp  26354  wilth  27053  ftalem1  27055  ppisval2  27087  dvdsppwf1o  27168  logfaclbnd  27204  bposlem6  27271  wlkres  29756  fzsplit3  32886  wrdres  33015  pfxf1  33022  swrdrn2  33034  swrdrn3  33035  swrdf1  33036  swrdrndisj  33037  splfv3  33038  cycpmco2f1  33206  cycpmco2rn  33207  cycpmco2lem7  33214  ballotlemsima  34709  ballotlemfrc  34720  ballotlemfrceq  34722  fzssfzo  34732  signstres  34768  fsum2dsub  34800  revpfxsfxrev  35353  swrdrevpfx  35354  pfxwlk  35361  erdszelem7  35434  erdszelem8  35435  poimirlem1  37997  poimirlem2  37998  poimirlem3  37999  poimirlem4  38000  poimirlem7  38003  poimirlem12  38008  poimirlem15  38011  poimirlem16  38012  poimirlem17  38013  poimirlem19  38015  poimirlem20  38016  poimirlem23  38019  poimirlem24  38020  poimirlem25  38021  poimirlem29  38025  poimirlem31  38027  mettrifi  38133  fzsplitnd  42476  aks6d1c2lem4  42621  bcc0  44793  iunincfi  45549  monoordxrv  45932  fmulcl  46034  fmul01lt1lem2  46038  dvnprodlem2  46398  stoweidlem11  46462  stoweidlem17  46468  fourierdlem15  46573  ssfz12  47785  smonoord  47848