Theorem elfzuz3 12998

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 12995	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 500	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173  ℤ_≥cuz 12327  ...cfz 12984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-neg 10954  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985

This theorem is referenced by:  elfzel2  12999  elfzle2  13005  peano2fzr  13014  fzsplit2  13026  fzsplit  13027  fznn0sub  13033  fzopth  13038  fzss1  13040  fzss2  13041  fzp1elp1  13054  predfz  13126  fzosplit  13164  fzoend  13222  fzofzp1b  13229  uzindi  13444  seqcl2  13483  seqfveq2  13487  monoord  13495  sermono  13497  seqsplit  13498  seqf1olem2  13505  seqid2  13511  seqhomo  13512  seqz  13513  bcval5  13773  seqcoll  13919  seqcoll2  13920  swrdval2  14100  pfxres  14133  pfxf  14134  spllen  14208  splfv2a  14210  repswpfx  14239  fsum0diag2  15234  climcndslem2  15301  prodfn0  15345  lcmflefac  16092  pcbc  16339  vdwlem2  16421  vdwlem5  16424  vdwlem6  16425  vdwlem8  16427  prmgaplem1  16488  psgnunilem5  18743  efgsres  18985  efgredleme  18990  efgcpbllemb  19002  imasdsf1olem  23129  volsup  24311  dvn2bss  24685  dvtaylp  25120  wilth  25811  ftalem1  25813  ppisval2  25845  dvdsppwf1o  25926  logfaclbnd  25961  bposlem6  26028  wlkres  27615  fzsplit3  30693  wrdres  30789  pfxf1  30794  swrdrn2  30804  swrdrn3  30805  swrdf1  30806  swrdrndisj  30807  splfv3  30808  cycpmco2f1  30971  cycpmco2rn  30972  cycpmco2lem7  30979  ballotlemsima  32055  ballotlemfrc  32066  ballotlemfrceq  32068  fzssfzo  32091  signstres  32127  fsum2dsub  32160  revpfxsfxrev  32651  swrdrevpfx  32652  pfxwlk  32659  erdszelem7  32733  erdszelem8  32734  poimirlem1  35424  poimirlem2  35425  poimirlem3  35426  poimirlem4  35427  poimirlem7  35430  poimirlem12  35435  poimirlem15  35438  poimirlem16  35439  poimirlem17  35440  poimirlem19  35442  poimirlem20  35443  poimirlem23  35446  poimirlem24  35447  poimirlem25  35448  poimirlem29  35452  poimirlem31  35454  mettrifi  35561  fzsplitnd  39634  bcc0  41519  iunincfi  42205  monoordxrv  42585  fmulcl  42687  fmul01lt1lem2  42691  dvnprodlem2  43053  stoweidlem11  43117  stoweidlem17  43123  fourierdlem15  43228  ssfz12  44370  smonoord  44387