Theorem elfzuz3 13558

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13555	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  elfzel2  13559  elfzle2  13565  peano2fzr  13574  fzsplit2  13586  fzsplit  13587  fznn0sub  13593  fzopth  13598  fzss1  13600  fzss2  13601  fzp1elp1  13614  predfz  13690  fzosplit  13729  fzoend  13793  fzofzp1b  13801  uzindi  14020  seqcl2  14058  seqfveq2  14062  monoord  14070  sermono  14072  seqsplit  14073  seqf1olem2  14080  seqid2  14086  seqhomo  14087  seqz  14088  bcval5  14354  seqcoll  14500  seqcoll2  14501  swrdval2  14681  pfxres  14714  pfxf  14715  spllen  14789  splfv2a  14791  repswpfx  14820  fsum0diag2  15816  climcndslem2  15883  prodfn0  15927  lcmflefac  16682  pcbc  16934  vdwlem2  17016  vdwlem5  17019  vdwlem6  17020  vdwlem8  17022  prmgaplem1  17083  psgnunilem5  19527  efgsres  19771  efgredleme  19776  efgcpbllemb  19788  imasdsf1olem  24399  volsup  25605  dvn2bss  25981  dvtaylp  26427  wilth  27129  ftalem1  27131  ppisval2  27163  dvdsppwf1o  27244  logfaclbnd  27281  bposlem6  27348  wlkres  29703  fzsplit3  32802  wrdres  32904  pfxf1  32911  swrdrn2  32924  swrdrn3  32925  swrdf1  32926  swrdrndisj  32927  splfv3  32928  pfxchn  32984  cycpmco2f1  33127  cycpmco2rn  33128  cycpmco2lem7  33135  ballotlemsima  34497  ballotlemfrc  34508  ballotlemfrceq  34510  fzssfzo  34533  signstres  34569  fsum2dsub  34601  revpfxsfxrev  35100  swrdrevpfx  35101  pfxwlk  35108  erdszelem7  35182  erdszelem8  35183  poimirlem1  37608  poimirlem2  37609  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem7  37614  poimirlem12  37619  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem23  37630  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  mettrifi  37744  fzsplitnd  41964  aks6d1c2lem4  42109  bcc0  44336  iunincfi  45034  monoordxrv  45432  fmulcl  45537  fmul01lt1lem2  45541  dvnprodlem2  45903  stoweidlem11  45967  stoweidlem17  45973  fourierdlem15  46078  ssfz12  47264  smonoord  47296