Theorem elfzuz3 13498

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13495	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 498	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  elfzel2  13499  elfzle2  13505  peano2fzr  13514  fzsplit2  13526  fzsplit  13527  fznn0sub  13533  fzopth  13538  fzss1  13540  fzss2  13541  fzp1elp1  13554  predfz  13626  fzosplit  13665  fzoend  13723  fzofzp1b  13730  uzindi  13947  seqcl2  13986  seqfveq2  13990  monoord  13998  sermono  14000  seqsplit  14001  seqf1olem2  14008  seqid2  14014  seqhomo  14015  seqz  14016  bcval5  14278  seqcoll  14425  seqcoll2  14426  swrdval2  14596  pfxres  14629  pfxf  14630  spllen  14704  splfv2a  14706  repswpfx  14735  fsum0diag2  15729  climcndslem2  15796  prodfn0  15840  lcmflefac  16585  pcbc  16833  vdwlem2  16915  vdwlem5  16918  vdwlem6  16919  vdwlem8  16921  prmgaplem1  16982  psgnunilem5  19362  efgsres  19606  efgredleme  19611  efgcpbllemb  19623  imasdsf1olem  23879  volsup  25073  dvn2bss  25447  dvtaylp  25882  wilth  26575  ftalem1  26577  ppisval2  26609  dvdsppwf1o  26690  logfaclbnd  26725  bposlem6  26792  wlkres  28958  fzsplit3  32036  wrdres  32134  pfxf1  32139  swrdrn2  32149  swrdrn3  32150  swrdf1  32151  swrdrndisj  32152  splfv3  32153  cycpmco2f1  32314  cycpmco2rn  32315  cycpmco2lem7  32322  ballotlemsima  33545  ballotlemfrc  33556  ballotlemfrceq  33558  fzssfzo  33581  signstres  33617  fsum2dsub  33650  revpfxsfxrev  34137  swrdrevpfx  34138  pfxwlk  34145  erdszelem7  34219  erdszelem8  34220  poimirlem1  36537  poimirlem2  36538  poimirlem3  36539  poimirlem4  36540  poimirlem7  36543  poimirlem12  36548  poimirlem15  36551  poimirlem16  36552  poimirlem17  36553  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  poimirlem23  36559  poimirlem24  36560  poimirlem25  36561  poimirlem29  36565  poimirlem31  36567  mettrifi  36673  fzsplitnd  40896  bcc0  43147  iunincfi  43831  monoordxrv  44240  fmulcl  44345  fmul01lt1lem2  44349  dvnprodlem2  44711  stoweidlem11  44775  stoweidlem17  44781  fourierdlem15  44886  ssfz12  46070  smonoord  46087