Theorem elfzuz3 13653

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13650	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 503	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  elfzel2  13654  elfzle2  13661  peano2fzr  13670  fzsplit2  13683  fzsplit  13684  fznn0sub  13690  fzopth  13695  fzss1  13697  fzss2  13698  fzp1elp1  13711  predfz  13787  fzosplit  13827  fzoend  13892  fzofzp1b  13900  uzindi  14125  seqcl2  14163  seqfveq2  14167  monoord  14175  sermono  14177  seqsplit  14178  seqf1olem2  14185  seqid2  14191  seqhomo  14192  seqz  14193  bcval5  14462  seqcoll  14609  seqcoll2  14610  swrdval2  14794  swrdf1  14799  swrdrn3  14802  pfxres  14829  pfxf  14830  spllen  14903  splfv2a  14905  revpfxsfxrev  14917  swrdrevpfx  14918  repswpfx  14936  fsum0diag2  15949  climcndslem2  16019  prodfn0  16063  lcmflefac  16823  pcbc  17078  vdwlem2  17160  vdwlem5  17163  vdwlem6  17164  vdwlem8  17166  prmgaplem1  17227  pfxchn  18784  psgnunilem5  19708  efgsres  19952  efgredleme  19957  efgcpbllemb  19969  imasdsf1olem  24692  volsup  25877  dvn2bss  26250  dvtaylp  26697  wilth  27398  ftalem1  27400  ppisval2  27432  dvdsppwf1o  27513  logfaclbnd  27549  bposlem6  27616  wlkres  30249  pfxwlk  30266  fzsplit3  33385  wrdres  33502  pfxf1  33509  swrdrn2  33517  swrdrndisj  33518  splfv3  33519  cycpmco2f1  33685  cycpmco2rn  33686  cycpmco2lem7  33693  ballotlemsima  35148  ballotlemfrc  35159  ballotlemfrceq  35161  fzssfzo  35171  signstres  35204  fsum2dsub  35236  erdszelem7  35962  erdszelem8  35963  poimirlem1  38539  poimirlem2  38540  poimirlem3  38541  poimirlem4  38542  poimirlem7  38545  poimirlem12  38550  poimirlem15  38553  poimirlem16  38554  poimirlem17  38555  poimirlem19  38557  poimirlem20  38558  poimirlem23  38561  poimirlem24  38562  poimirlem25  38563  poimirlem29  38567  poimirlem31  38569  mettrifi  38691  fzsplitnd  43032  aks6d1c2lem4  43177  bcc0  45323  iunincfi  46108  monoordxrv  46490  fmulcl  46592  fmul01lt1lem2  46596  dvnprodlem2  46956  stoweidlem11  47020  stoweidlem17  47026  fourierdlem15  47131  ssfz12  48383  smonoord  48446