Theorem elfzuz3 13441

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13438	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-neg 11371  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  elfzel2  13442  elfzle2  13448  peano2fzr  13457  fzsplit2  13469  fzsplit  13470  fznn0sub  13476  fzopth  13481  fzss1  13483  fzss2  13484  fzp1elp1  13497  predfz  13573  fzosplit  13612  fzoend  13677  fzofzp1b  13685  uzindi  13909  seqcl2  13947  seqfveq2  13951  monoord  13959  sermono  13961  seqsplit  13962  seqf1olem2  13969  seqid2  13975  seqhomo  13976  seqz  13977  bcval5  14245  seqcoll  14391  seqcoll2  14392  swrdval2  14574  pfxres  14607  pfxf  14608  spllen  14681  splfv2a  14683  repswpfx  14712  fsum0diag2  15710  climcndslem2  15777  prodfn0  15821  lcmflefac  16579  pcbc  16832  vdwlem2  16914  vdwlem5  16917  vdwlem6  16918  vdwlem8  16920  prmgaplem1  16981  pfxchn  18537  psgnunilem5  19427  efgsres  19671  efgredleme  19676  efgcpbllemb  19688  imasdsf1olem  24321  volsup  25517  dvn2bss  25892  dvtaylp  26338  wilth  27041  ftalem1  27043  ppisval2  27075  dvdsppwf1o  27156  logfaclbnd  27193  bposlem6  27260  wlkres  29746  fzsplit3  32875  wrdres  33019  pfxf1  33026  swrdrn2  33038  swrdrn3  33039  swrdf1  33040  swrdrndisj  33041  splfv3  33042  cycpmco2f1  33208  cycpmco2rn  33209  cycpmco2lem7  33216  ballotlemsima  34675  ballotlemfrc  34686  ballotlemfrceq  34688  fzssfzo  34698  signstres  34734  fsum2dsub  34766  revpfxsfxrev  35312  swrdrevpfx  35313  pfxwlk  35320  erdszelem7  35393  erdszelem8  35394  poimirlem1  37824  poimirlem2  37825  poimirlem3  37826  poimirlem4  37827  poimirlem7  37830  poimirlem12  37835  poimirlem15  37838  poimirlem16  37839  poimirlem17  37840  poimirlem19  37842  poimirlem20  37843  poimirlem23  37846  poimirlem24  37847  poimirlem25  37848  poimirlem29  37852  poimirlem31  37854  mettrifi  37960  fzsplitnd  42304  aks6d1c2lem4  42449  bcc0  44648  iunincfi  45405  monoordxrv  45792  fmulcl  45894  fmul01lt1lem2  45898  dvnprodlem2  46258  stoweidlem11  46322  stoweidlem17  46328  fourierdlem15  46433  ssfz12  47627  smonoord  47684