Theorem elfzuz3 12899

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 12896	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 500	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  elfzel2  12900  elfzle2  12906  peano2fzr  12915  fzsplit2  12927  fzsplit  12928  fznn0sub  12934  fzopth  12939  fzss1  12941  fzss2  12942  fzp1elp1  12955  predfz  13027  fzosplit  13065  fzoend  13123  fzofzp1b  13130  uzindi  13345  seqcl2  13384  seqfveq2  13388  monoord  13396  sermono  13398  seqsplit  13399  seqf1olem2  13406  seqid2  13412  seqhomo  13413  seqz  13414  bcval5  13674  seqcoll  13818  seqcoll2  13819  swrdval2  13999  pfxres  14032  pfxf  14033  spllen  14107  splfv2a  14109  repswpfx  14138  fsum0diag2  15130  climcndslem2  15197  prodfn0  15242  lcmflefac  15982  pcbc  16226  vdwlem2  16308  vdwlem5  16311  vdwlem6  16312  vdwlem8  16314  prmgaplem1  16375  psgnunilem5  18614  efgsres  18856  efgredleme  18861  efgcpbllemb  18873  imasdsf1olem  22980  volsup  24160  dvn2bss  24533  dvtaylp  24965  wilth  25656  ftalem1  25658  ppisval2  25690  dvdsppwf1o  25771  logfaclbnd  25806  bposlem6  25873  wlkres  27460  fzsplit3  30543  wrdres  30639  pfxf1  30644  swrdrn2  30654  swrdrn3  30655  swrdf1  30656  swrdrndisj  30657  splfv3  30658  cycpmco2f1  30816  cycpmco2rn  30817  cycpmco2lem7  30824  ballotlemsima  31883  ballotlemfrc  31894  ballotlemfrceq  31896  fzssfzo  31919  signstres  31955  fsum2dsub  31988  revpfxsfxrev  32475  swrdrevpfx  32476  pfxwlk  32483  erdszelem7  32557  erdszelem8  32558  poimirlem1  35058  poimirlem2  35059  poimirlem3  35060  poimirlem4  35061  poimirlem7  35064  poimirlem12  35069  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem23  35080  poimirlem24  35081  poimirlem25  35082  poimirlem29  35086  poimirlem31  35088  mettrifi  35195  fzsplitnd  39270  bcc0  41044  iunincfi  41730  monoordxrv  42121  fmulcl  42223  fmul01lt1lem2  42227  dvnprodlem2  42589  stoweidlem11  42653  stoweidlem17  42659  fourierdlem15  42764  ssfz12  43871  smonoord  43888