Theorem elfzuz3 13458

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13455	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  elfzel2  13459  elfzle2  13465  peano2fzr  13474  fzsplit2  13486  fzsplit  13487  fznn0sub  13493  fzopth  13498  fzss1  13500  fzss2  13501  fzp1elp1  13514  predfz  13590  fzosplit  13629  fzoend  13694  fzofzp1b  13702  uzindi  13923  seqcl2  13961  seqfveq2  13965  monoord  13973  sermono  13975  seqsplit  13976  seqf1olem2  13983  seqid2  13989  seqhomo  13990  seqz  13991  bcval5  14259  seqcoll  14405  seqcoll2  14406  swrdval2  14587  pfxres  14620  pfxf  14621  spllen  14695  splfv2a  14697  repswpfx  14726  fsum0diag2  15725  climcndslem2  15792  prodfn0  15836  lcmflefac  16594  pcbc  16847  vdwlem2  16929  vdwlem5  16932  vdwlem6  16933  vdwlem8  16935  prmgaplem1  16996  psgnunilem5  19408  efgsres  19652  efgredleme  19657  efgcpbllemb  19669  imasdsf1olem  24294  volsup  25490  dvn2bss  25865  dvtaylp  26311  wilth  27014  ftalem1  27016  ppisval2  27048  dvdsppwf1o  27129  logfaclbnd  27166  bposlem6  27233  wlkres  29649  fzsplit3  32766  wrdres  32906  pfxf1  32913  swrdrn2  32926  swrdrn3  32927  swrdf1  32928  swrdrndisj  32929  splfv3  32930  pfxchn  32981  cycpmco2f1  33096  cycpmco2rn  33097  cycpmco2lem7  33104  ballotlemsima  34500  ballotlemfrc  34511  ballotlemfrceq  34513  fzssfzo  34523  signstres  34559  fsum2dsub  34591  revpfxsfxrev  35096  swrdrevpfx  35097  pfxwlk  35104  erdszelem7  35177  erdszelem8  35178  poimirlem1  37608  poimirlem2  37609  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem7  37614  poimirlem12  37619  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem23  37630  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  mettrifi  37744  fzsplitnd  41963  aks6d1c2lem4  42108  bcc0  44322  iunincfi  45081  monoordxrv  45470  fmulcl  45572  fmul01lt1lem2  45576  dvnprodlem2  45938  stoweidlem11  46002  stoweidlem17  46008  fourierdlem15  46113  ssfz12  47308  smonoord  47365