Theorem elfzuz3 13549

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13546	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536

This theorem is referenced by:  elfzel2  13550  elfzle2  13556  peano2fzr  13565  fzsplit2  13577  fzsplit  13578  fznn0sub  13584  fzopth  13589  fzss1  13591  fzss2  13592  fzp1elp1  13605  predfz  13681  fzosplit  13721  fzoend  13786  fzofzp1b  13794  uzindi  14018  seqcl2  14056  seqfveq2  14060  monoord  14068  sermono  14070  seqsplit  14071  seqf1olem2  14078  seqid2  14084  seqhomo  14085  seqz  14086  bcval5  14354  seqcoll  14501  seqcoll2  14502  swrdval2  14684  pfxres  14717  pfxf  14718  spllen  14791  splfv2a  14793  repswpfx  14822  fsum0diag2  15834  climcndslem2  15904  prodfn0  15948  lcmflefac  16706  pcbc  16960  vdwlem2  17042  vdwlem5  17045  vdwlem6  17046  vdwlem8  17048  prmgaplem1  17109  pfxchn  18666  psgnunilem5  19564  efgsres  19808  efgredleme  19813  efgcpbllemb  19825  imasdsf1olem  24499  volsup  25684  dvn2bss  26058  dvtaylp  26499  wilth  27201  ftalem1  27203  ppisval2  27235  dvdsppwf1o  27316  logfaclbnd  27352  bposlem6  27419  wlkres  29959  fzsplit3  33079  wrdres  33196  pfxf1  33203  swrdrn2  33215  swrdrn3  33216  swrdf1  33217  swrdrndisj  33218  splfv3  33219  cycpmco2f1  33385  cycpmco2rn  33386  cycpmco2lem7  33393  ballotlemsima  34851  ballotlemfrc  34862  ballotlemfrceq  34864  fzssfzo  34874  signstres  34907  fsum2dsub  34939  revpfxsfxrev  35540  swrdrevpfx  35541  pfxwlk  35549  erdszelem7  35622  erdszelem8  35623  poimirlem1  38194  poimirlem2  38195  poimirlem3  38196  poimirlem4  38197  poimirlem7  38200  poimirlem12  38205  poimirlem15  38208  poimirlem16  38209  poimirlem17  38210  poimirlem19  38212  poimirlem20  38213  poimirlem23  38216  poimirlem24  38217  poimirlem25  38218  poimirlem29  38222  poimirlem31  38224  mettrifi  38330  fzsplitnd  42673  aks6d1c2lem4  42818  bcc0  44976  iunincfi  45738  monoordxrv  46121  fmulcl  46223  fmul01lt1lem2  46227  dvnprodlem2  46587  stoweidlem11  46651  stoweidlem17  46657  fourierdlem15  46762  ssfz12  47974  smonoord  48037