MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzuz3 13445
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 13442 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
21simprbi 498 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6501  (class class class)co 7362  cuz 12770  ...cfz 13431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-neg 11395  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432
This theorem is referenced by:  elfzel2  13446  elfzle2  13452  peano2fzr  13461  fzsplit2  13473  fzsplit  13474  fznn0sub  13480  fzopth  13485  fzss1  13487  fzss2  13488  fzp1elp1  13501  predfz  13573  fzosplit  13612  fzoend  13670  fzofzp1b  13677  uzindi  13894  seqcl2  13933  seqfveq2  13937  monoord  13945  sermono  13947  seqsplit  13948  seqf1olem2  13955  seqid2  13961  seqhomo  13962  seqz  13963  bcval5  14225  seqcoll  14370  seqcoll2  14371  swrdval2  14541  pfxres  14574  pfxf  14575  spllen  14649  splfv2a  14651  repswpfx  14680  fsum0diag2  15675  climcndslem2  15742  prodfn0  15786  lcmflefac  16531  pcbc  16779  vdwlem2  16861  vdwlem5  16864  vdwlem6  16865  vdwlem8  16867  prmgaplem1  16928  psgnunilem5  19283  efgsres  19527  efgredleme  19532  efgcpbllemb  19544  imasdsf1olem  23742  volsup  24936  dvn2bss  25310  dvtaylp  25745  wilth  26436  ftalem1  26438  ppisval2  26470  dvdsppwf1o  26551  logfaclbnd  26586  bposlem6  26653  wlkres  28660  fzsplit3  31739  wrdres  31835  pfxf1  31840  swrdrn2  31850  swrdrn3  31851  swrdf1  31852  swrdrndisj  31853  splfv3  31854  cycpmco2f1  32015  cycpmco2rn  32016  cycpmco2lem7  32023  ballotlemsima  33155  ballotlemfrc  33166  ballotlemfrceq  33168  fzssfzo  33191  signstres  33227  fsum2dsub  33260  revpfxsfxrev  33749  swrdrevpfx  33750  pfxwlk  33757  erdszelem7  33831  erdszelem8  33832  poimirlem1  36108  poimirlem2  36109  poimirlem3  36110  poimirlem4  36111  poimirlem7  36114  poimirlem12  36119  poimirlem15  36122  poimirlem16  36123  poimirlem17  36124  poimirlem19  36126  poimirlem20  36127  poimirlem23  36130  poimirlem24  36131  poimirlem25  36132  poimirlem29  36136  poimirlem31  36138  mettrifi  36245  fzsplitnd  40469  bcc0  42694  iunincfi  43378  monoordxrv  43791  fmulcl  43896  fmul01lt1lem2  43900  dvnprodlem2  44262  stoweidlem11  44326  stoweidlem17  44332  fourierdlem15  44437  ssfz12  45620  smonoord  45637
  Copyright terms: Public domain W3C validator