Theorem elfzuz3 13569

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13566	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 503	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℤ_≥cuz 12882  ...cfz 13555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-neg 11463  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556

This theorem is used by:  elfzel2  13570  elfzle2  13576  peano2fzr  13585  fzsplit2  13598  fzsplit  13599  fznn0sub  13605  fzopth  13610  fzss1  13612  fzss2  13613  fzp1elp1  13626  predfz  13702  fzosplit  13742  fzoend  13807  fzofzp1b  13815  uzindi  14040  seqcl2  14078  seqfveq2  14082  monoord  14090  sermono  14092  seqsplit  14093  seqf1olem2  14100  seqid2  14106  seqhomo  14107  seqz  14108  bcval5  14376  seqcoll  14523  seqcoll2  14524  swrdval2  14708  swrdf1  14713  swrdrn3  14716  pfxres  14743  pfxf  14744  spllen  14817  splfv2a  14819  revpfxsfxrev  14831  swrdrevpfx  14832  repswpfx  14850  fsum0diag2  15861  climcndslem2  15931  prodfn0  15975  lcmflefac  16732  pcbc  16986  vdwlem2  17068  vdwlem5  17071  vdwlem6  17072  vdwlem8  17074  prmgaplem1  17135  pfxchn  18692  psgnunilem5  19612  efgsres  19856  efgredleme  19861  efgcpbllemb  19873  imasdsf1olem  24585  volsup  25770  dvn2bss  26144  dvtaylp  26588  wilth  27290  ftalem1  27292  ppisval2  27324  dvdsppwf1o  27405  logfaclbnd  27441  bposlem6  27508  wlkres  30080  pfxwlk  30097  fzsplit3  33212  wrdres  33329  pfxf1  33336  swrdrn2  33344  swrdrndisj  33345  splfv3  33346  cycpmco2f1  33512  cycpmco2rn  33513  cycpmco2lem7  33520  ballotlemsima  34975  ballotlemfrc  34986  ballotlemfrceq  34988  fzssfzo  34998  signstres  35031  fsum2dsub  35063  erdszelem7  35730  erdszelem8  35731  poimirlem1  38333  poimirlem2  38334  poimirlem3  38335  poimirlem4  38336  poimirlem7  38339  poimirlem12  38344  poimirlem15  38347  poimirlem16  38348  poimirlem17  38349  poimirlem19  38351  poimirlem20  38352  poimirlem23  38355  poimirlem24  38356  poimirlem25  38357  poimirlem29  38361  poimirlem31  38363  mettrifi  38470  fzsplitnd  42811  aks6d1c2lem4  42956  bcc0  45127  iunincfi  45889  monoordxrv  46272  fmulcl  46374  fmul01lt1lem2  46378  dvnprodlem2  46738  stoweidlem11  46802  stoweidlem17  46808  fourierdlem15  46913  ssfz12  48128  smonoord  48191