Theorem elfzuz3 13182

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13179	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  elfzel2  13183  elfzle2  13189  peano2fzr  13198  fzsplit2  13210  fzsplit  13211  fznn0sub  13217  fzopth  13222  fzss1  13224  fzss2  13225  fzp1elp1  13238  predfz  13310  fzosplit  13348  fzoend  13406  fzofzp1b  13413  uzindi  13630  seqcl2  13669  seqfveq2  13673  monoord  13681  sermono  13683  seqsplit  13684  seqf1olem2  13691  seqid2  13697  seqhomo  13698  seqz  13699  bcval5  13960  seqcoll  14106  seqcoll2  14107  swrdval2  14287  pfxres  14320  pfxf  14321  spllen  14395  splfv2a  14397  repswpfx  14426  fsum0diag2  15423  climcndslem2  15490  prodfn0  15534  lcmflefac  16281  pcbc  16529  vdwlem2  16611  vdwlem5  16614  vdwlem6  16615  vdwlem8  16617  prmgaplem1  16678  psgnunilem5  19017  efgsres  19259  efgredleme  19264  efgcpbllemb  19276  imasdsf1olem  23434  volsup  24625  dvn2bss  24999  dvtaylp  25434  wilth  26125  ftalem1  26127  ppisval2  26159  dvdsppwf1o  26240  logfaclbnd  26275  bposlem6  26342  wlkres  27940  fzsplit3  31017  wrdres  31113  pfxf1  31118  swrdrn2  31128  swrdrn3  31129  swrdf1  31130  swrdrndisj  31131  splfv3  31132  cycpmco2f1  31293  cycpmco2rn  31294  cycpmco2lem7  31301  ballotlemsima  32382  ballotlemfrc  32393  ballotlemfrceq  32395  fzssfzo  32418  signstres  32454  fsum2dsub  32487  revpfxsfxrev  32977  swrdrevpfx  32978  pfxwlk  32985  erdszelem7  33059  erdszelem8  33060  poimirlem1  35705  poimirlem2  35706  poimirlem3  35707  poimirlem4  35708  poimirlem7  35711  poimirlem12  35716  poimirlem15  35719  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem23  35727  poimirlem24  35728  poimirlem25  35729  poimirlem29  35733  poimirlem31  35735  mettrifi  35842  fzsplitnd  39919  bcc0  41847  iunincfi  42533  monoordxrv  42912  fmulcl  43012  fmul01lt1lem2  43016  dvnprodlem2  43378  stoweidlem11  43442  stoweidlem17  43448  fourierdlem15  43553  ssfz12  44694  smonoord  44711