Theorem elfzuz3 13543

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13540	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  elfzel2  13544  elfzle2  13550  peano2fzr  13559  fzsplit2  13571  fzsplit  13572  fznn0sub  13578  fzopth  13583  fzss1  13585  fzss2  13586  fzp1elp1  13599  predfz  13675  fzosplit  13714  fzoend  13778  fzofzp1b  13786  uzindi  14005  seqcl2  14043  seqfveq2  14047  monoord  14055  sermono  14057  seqsplit  14058  seqf1olem2  14065  seqid2  14071  seqhomo  14072  seqz  14073  bcval5  14341  seqcoll  14487  seqcoll2  14488  swrdval2  14669  pfxres  14702  pfxf  14703  spllen  14777  splfv2a  14779  repswpfx  14808  fsum0diag2  15804  climcndslem2  15871  prodfn0  15915  lcmflefac  16672  pcbc  16925  vdwlem2  17007  vdwlem5  17010  vdwlem6  17011  vdwlem8  17013  prmgaplem1  17074  psgnunilem5  19480  efgsres  19724  efgredleme  19729  efgcpbllemb  19741  imasdsf1olem  24317  volsup  25514  dvn2bss  25889  dvtaylp  26335  wilth  27038  ftalem1  27040  ppisval2  27072  dvdsppwf1o  27153  logfaclbnd  27190  bposlem6  27257  wlkres  29655  fzsplit3  32775  wrdres  32915  pfxf1  32922  swrdrn2  32935  swrdrn3  32936  swrdf1  32937  swrdrndisj  32938  splfv3  32939  pfxchn  32994  cycpmco2f1  33140  cycpmco2rn  33141  cycpmco2lem7  33148  ballotlemsima  34553  ballotlemfrc  34564  ballotlemfrceq  34566  fzssfzo  34576  signstres  34612  fsum2dsub  34644  revpfxsfxrev  35143  swrdrevpfx  35144  pfxwlk  35151  erdszelem7  35224  erdszelem8  35225  poimirlem1  37650  poimirlem2  37651  poimirlem3  37652  poimirlem4  37653  poimirlem7  37656  poimirlem12  37661  poimirlem15  37664  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem23  37672  poimirlem24  37673  poimirlem25  37674  poimirlem29  37678  poimirlem31  37680  mettrifi  37786  fzsplitnd  42000  aks6d1c2lem4  42145  bcc0  44339  iunincfi  45098  monoordxrv  45488  fmulcl  45590  fmul01lt1lem2  45594  dvnprodlem2  45956  stoweidlem11  46020  stoweidlem17  46026  fourierdlem15  46131  ssfz12  47323  smonoord  47365