Theorem ge0nemnf 13158

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0nemnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem ge0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0gtmnf 13157	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
2		ngtmnft 13151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
4	3	necon2abid 2977	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))
5	1, 4	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  0cc0 11112  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258

This theorem is referenced by:  xlesubadd  13248  xadddi2  13282  xrge0neqmnf  13435  xrge0subm  21301  isxmet2d  24188  xmetrtri  24216  imasdsf1olem  24234  xblpnfps  24256  xblpnf  24257  xblss2ps  24262  xblss2  24263  nmoix  24601  nmoleub  24603  blcvx  24669  xrge0gsumle  24704  xrge0tsms  24705  metdstri  24722  metdscnlem  24726  nmoleub2lem  24996  xrge0addass  32694  xrge0tsmsd  32715