Theorem ge0nemnf 13093

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0nemnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem ge0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0gtmnf 13092	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
2		ngtmnft 13086	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
4	3	necon2abid 2967	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  0cc0 11028  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  xlesubadd  13183  xadddi2  13217  xrge0neqmnf  13373  xrge0subm  21368  isxmet2d  24231  xmetrtri  24259  imasdsf1olem  24277  xblpnfps  24299  xblpnf  24300  xblss2ps  24305  xblss2  24306  nmoix  24633  nmoleub  24635  blcvx  24702  xrge0gsumle  24738  xrge0tsms  24739  metdstri  24756  metdscnlem  24760  nmoleub2lem  25030  xrge0addass  32983  xrge0tsmsd  33028