MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0nemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0nemnf 12253
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0nemnf ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem ge0nemnf
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 12252 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
2 ngtmnft 12246 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
32adantr 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
43necon2abid 3013 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
51, 4mpbid 224 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971   class class class wbr 4843  0cc0 10224  -∞cmnf 10361  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-addrcl 10285  ax-rnegex 10295  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369
This theorem is referenced by:  xlesubadd  12342  xadddi2  12376  xrge0neqmnf  12526  xrge0subm  20109  isxmet2d  22460  xmetrtri  22488  imasdsf1olem  22506  xblpnfps  22528  xblpnf  22529  xblss2ps  22534  xblss2  22535  nmoix  22861  nmoleub  22863  blcvx  22929  xrge0gsumle  22964  xrge0tsms  22965  metdstri  22982  metdscnlem  22986  nmoleub2lem  23241  xrge0addass  30206  xrge0tsmsd  30301
  Copyright terms: Public domain W3C validator