MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0nemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0nemnf 13093
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0nemnf ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem ge0nemnf
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 13092 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
2 ngtmnft 13086 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
32adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
43necon2abid 2987 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
51, 4mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5106  0cc0 11052  -∞cmnf 11188  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-addrcl 11113  ax-rnegex 11123  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  xlesubadd  13183  xadddi2  13217  xrge0neqmnf  13370  xrge0subm  20841  isxmet2d  23683  xmetrtri  23711  imasdsf1olem  23729  xblpnfps  23751  xblpnf  23752  xblss2ps  23757  xblss2  23758  nmoix  24096  nmoleub  24098  blcvx  24164  xrge0gsumle  24199  xrge0tsms  24200  metdstri  24217  metdscnlem  24221  nmoleub2lem  24480  xrge0addass  31884  xrge0tsmsd  31902
  Copyright terms: Public domain W3C validator