MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem5pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrlem5pr 10970
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem5pr ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โŠ† (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))

Proof of Theorem distrlem5pr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclpr 10963 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
213adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
3 mulclpr 10963 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
4 df-plp 10926 . . . . 5 +P = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ฅ โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฆ ๐‘“ = (๐‘” +Q โ„Ž)})
5 addclnq 10888 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
64, 5genpelv 10943 . . . 4 (((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P โˆง (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
72, 3, 63imp3i2an 1346 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
8 df-mp 10927 . . . . . . . 8 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
9 mulclnq 10890 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ Q)
108, 9genpelv 10943 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
11103adant2 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1211anbi2d 630 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
13 df-mp 10927 . . . . . . . . 9 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘“ = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
1413, 9genpelv 10943 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
15143adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
16 distrlem4pr 10969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
17 oveq12 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1817eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†” ๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
19 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2018, 19syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
2120imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2216, 21syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2322exp4b 432 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2423com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2524exp4b 432 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))))
2625com23 86 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))))
2726rexlimivv 3197 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
2827rexlimdvv 3205 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2928com3r 87 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3015, 29sylbid 239 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3130impd 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
3212, 31sylbid 239 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
3332rexlimdvv 3205 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
347, 33sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
3534ssrdv 3955 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โŠ† (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   โŠ† wss 3915  (class class class)co 7362   +Q cplq 10798   ยทQ cmq 10799  Pcnp 10802   +P cpp 10804   ยทP cmp 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-plp 10926  df-mp 10927
This theorem is referenced by:  distrpr  10971
  Copyright terms: Public domain W3C validator