MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem5pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrlem5pr 11048
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem5pr ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โІ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))

Proof of Theorem distrlem5pr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclpr 11041 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
213adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
3 mulclpr 11041 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
4 df-plp 11004 . . . . 5 +P = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ฅ โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฆ ๐‘“ = (๐‘” +Q โ„Ž)})
5 addclnq 10966 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
64, 5genpelv 11021 . . . 4 (((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P โˆง (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
72, 3, 63imp3i2an 1342 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
8 df-mp 11005 . . . . . . . 8 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
9 mulclnq 10968 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ Q)
108, 9genpelv 11021 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
11103adant2 1128 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1211anbi2d 628 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
13 df-mp 11005 . . . . . . . . 9 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘“ = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
1413, 9genpelv 11021 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
15143adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
16 distrlem4pr 11047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
17 oveq12 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1817eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†” ๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
19 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2018, 19biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
2120imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2216, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2322exp4b 429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2423com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2524exp4b 429 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))))
2625com23 86 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))))
2726rexlimivv 3190 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
2827rexlimdvv 3201 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2928com3r 87 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3015, 29sylbid 239 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3130impd 409 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
3212, 31sylbid 239 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
3332rexlimdvv 3201 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
347, 33sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
3534ssrdv 3978 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โІ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   โІ wss 3940  (class class class)co 7415   +Q cplq 10876   ยทQ cmq 10877  Pcnp 10880   +P cpp 10882   ยทP cmp 10883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-ni 10893  df-pli 10894  df-mi 10895  df-lti 10896  df-plpq 10929  df-mpq 10930  df-ltpq 10931  df-enq 10932  df-nq 10933  df-erq 10934  df-plq 10935  df-mq 10936  df-1nq 10937  df-rq 10938  df-ltnq 10939  df-np 11002  df-plp 11004  df-mp 11005
This theorem is referenced by:  distrpr  11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator