MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem5pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrlem5pr 11036
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem5pr ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โІ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))

Proof of Theorem distrlem5pr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclpr 11029 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
213adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
3 mulclpr 11029 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
4 df-plp 10992 . . . . 5 +P = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ฅ โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฆ ๐‘“ = (๐‘” +Q โ„Ž)})
5 addclnq 10954 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
64, 5genpelv 11009 . . . 4 (((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P โˆง (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
72, 3, 63imp3i2an 1343 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
8 df-mp 10993 . . . . . . . 8 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
9 mulclnq 10956 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ Q)
108, 9genpelv 11009 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
11103adant2 1129 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1211anbi2d 628 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
13 df-mp 10993 . . . . . . . . 9 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘“ = (๐‘” ยทQ โ„Ž)})
1413, 9genpelv 11009 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
15143adant3 1130 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
16 distrlem4pr 11035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
17 oveq12 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1817eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†” ๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
19 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2018, 19biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
2120imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2216, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
2322exp4b 430 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2423com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2524exp4b 430 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))))
2625com23 86 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))))
2726rexlimivv 3194 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
2827rexlimdvv 3205 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2928com3r 87 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3015, 29sylbid 239 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3130impd 410 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
3212, 31sylbid 239 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
3332rexlimdvv 3205 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ (๐ด ยทP ๐ถ)๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
347, 33sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
3534ssrdv 3984 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ)) โІ (๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065   โІ wss 3944  (class class class)co 7414   +Q cplq 10864   ยทQ cmq 10865  Pcnp 10868   +P cpp 10870   ยทP cmp 10871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-ni 10881  df-pli 10882  df-mi 10883  df-lti 10884  df-plpq 10917  df-mpq 10918  df-ltpq 10919  df-enq 10920  df-nq 10921  df-erq 10922  df-plq 10923  df-mq 10924  df-1nq 10925  df-rq 10926  df-ltnq 10927  df-np 10990  df-plp 10992  df-mp 10993
This theorem is referenced by:  distrpr  11037
  Copyright terms: Public domain W3C validator