Theorem reclem4pr 11064

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem4pr

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
2	1	reclem2pr 11062	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-mp 10998	. . . . . . 7 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑦 ∃𝑔 ∈ 𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
4		mulclnq 10961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelv 11014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
6	2, 5	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
7	1	eqabri 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
8		ltrelnq 10940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 5719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		elprnq 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
12		ltmnq 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
14	13	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
16		recclnq 10980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*Q‘𝑦) ∈ Q)
17		prub 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (*Q‘𝑦) ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
18	16, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
19		ltmnq 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))))
20		mulcomnq 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
22		recidnq 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
26	18, 25	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
27	15, 26	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q)))
28		ltsonq 10983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <Q Or Q
29	28, 8	sotri 6116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)
30	27, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
31	30	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
32	10, 31	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
33	32	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)))
34	33	impd 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
35	34	exlimdv 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
36	7, 35	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
37		breq1 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → (𝑤 <Q 1Q ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
38	37	biimprcd 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
39	36, 38	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
40	39	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
41	40	rexlimdvv 3197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
42	6, 41	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 <Q 1Q))
43		df-1p 10996	. . . . 5 ⊢ 1P = {𝑤 ∣ 𝑤 <Q 1Q}
44	43	eqabri 2878	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 1P ↔ 𝑤 <Q 1Q)
45	42, 44	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 ∈ 1P))
46	45	ssrdv 3964	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) ⊆ 1P)
47	1	reclem3pr 11063	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
48	46, 47	eqssd 3976	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Qcnq 10866  1_Qc1q 10867   ·_Q cmq 10870  *_Qcrq 10871   <_Q cltq 10872  Pcnp 10873  1_Pc1p 10874   ·_P cmp 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ni 10886  df-pli 10887  df-mi 10888  df-lti 10889  df-plpq 10922  df-mpq 10923  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-erq 10927  df-plq 10928  df-mq 10929  df-1nq 10930  df-rq 10931  df-ltnq 10932  df-np 10995  df-1p 10996  df-mp 10998

This theorem is referenced by:  recexpr  11065