Theorem reclem4pr 11041

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem4pr

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
2	1	reclem2pr 11039	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-mp 10975	. . . . . . 7 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑦 ∃𝑔 ∈ 𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
4		mulclnq 10938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelv 10991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
6	2, 5	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
7	1	eqabri 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
8		ltrelnq 10917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 5725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		elprnq 10982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
12		ltmnq 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
14	13	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
16		recclnq 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*Q‘𝑦) ∈ Q)
17		prub 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (*Q‘𝑦) ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
18	16, 17	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
19		ltmnq 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))))
20		mulcomnq 10944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
22		recidnq 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
25	24	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
26	18, 25	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
27	15, 26	anim12d 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q)))
28		ltsonq 10960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <Q Or Q
29	28, 8	sotri 6126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)
30	27, 29	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
31	30	exp4b 435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
32	10, 31	syl5 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
33	32	pm2.43d 54	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)))
34	33	impd 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
35	34	exlimdv 1962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
36	7, 35	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
37		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → (𝑤 <Q 1Q ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
38	37	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
39	36, 38	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
40	39	expimpd 458	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
41	40	rexlimdvv 3220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
42	6, 41	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 <Q 1Q))
43		df-1p 10973	. . . . 5 ⊢ 1P = {𝑤 ∣ 𝑤 <Q 1Q}
44	43	eqabri 2904	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 1P ↔ 𝑤 <Q 1Q)
45	42, 44	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 ∈ 1P))
46	45	ssrdv 3942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) ⊆ 1P)
47	1	reclem3pr 11040	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
48	46, 47	eqssd 3953	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  {cab 2740  ∃wrex 3088   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Qcnq 10843  1_Qc1q 10844   ·_Q cmq 10847  *_Qcrq 10848   <_Q cltq 10849  Pcnp 10850  1_Pc1p 10851   ·_P cmp 10853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-1p 10973  df-mp 10975

This theorem is used by:  recexpr  11042