Theorem reclem4pr 10986

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem4pr

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
2	1	reclem2pr 10984	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-mp 10920	. . . . . . 7 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑦 ∃𝑔 ∈ 𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
4		mulclnq 10883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelv 10936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
6	2, 5	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
7	1	eqabi 2881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
8		ltrelnq 10862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		elprnq 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
12		ltmnq 10908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
14	13	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
16		recclnq 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*Q‘𝑦) ∈ Q)
17		prub 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (*Q‘𝑦) ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
18	16, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
19		ltmnq 10908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))))
20		mulcomnq 10889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
22		recidnq 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
26	18, 25	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
27	15, 26	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q)))
28		ltsonq 10905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <Q Or Q
29	28, 8	sotri 6081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)
30	27, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
31	30	exp4b 431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
32	10, 31	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
33	32	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)))
34	33	impd 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
35	34	exlimdv 1936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
36	7, 35	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
37		breq1 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → (𝑤 <Q 1Q ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
38	37	biimprcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
39	36, 38	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
40	39	expimpd 454	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
41	40	rexlimdvv 3204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
42	6, 41	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 <Q 1Q))
43		df-1p 10918	. . . . 5 ⊢ 1P = {𝑤 ∣ 𝑤 <Q 1Q}
44	43	eqabi 2881	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 1P ↔ 𝑤 <Q 1Q)
45	42, 44	syl6ibr 251	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 ∈ 1P))
46	45	ssrdv 3950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) ⊆ 1P)
47	1	reclem3pr 10985	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
48	46, 47	eqssd 3961	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2713  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Qcnq 10788  1_Qc1q 10789   ·_Q cmq 10792  *_Qcrq 10793   <_Q cltq 10794  Pcnp 10795  1_Pc1p 10796   ·_P cmp 10798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ni 10808  df-pli 10809  df-mi 10810  df-lti 10811  df-plpq 10844  df-mpq 10845  df-ltpq 10846  df-enq 10847  df-nq 10848  df-erq 10849  df-plq 10850  df-mq 10851  df-1nq 10852  df-rq 10853  df-ltnq 10854  df-np 10917  df-1p 10918  df-mp 10920

This theorem is referenced by:  recexpr  10987