MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reclem4pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclem4pr 11041
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 ๐ต = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)}
Assertion
Ref Expression
reclem4pr (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = 1P)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem reclem4pr
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reclempr.1 . . . . . . 7 ๐ต = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)}
21reclem2pr 11039 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ ๐ต โˆˆ P)
3 df-mp 10975 . . . . . . 7 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ค โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐‘ฆ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)})
4 mulclnq 10938 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
53, 4genpelv 10991 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
62, 5mpdan 686 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
71eqabri 2878 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
8 ltrelnq 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15 <Q โŠ† (Q ร— Q)
98brel 5739 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q))
109simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
11 elprnq 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
12 ltmnq 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1413biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
16 recclnq 10957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ Q)
17 prub 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
1816, 17sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
19 ltmnq 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ))))
20 mulcomnq 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
22 recidnq 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) = 1Q)
2321, 22breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2419, 23bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2524adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2618, 25sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2715, 26anim12d 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q)))
28 ltsonq 10960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
2928, 8sotri 6125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q)
3027, 29syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
3130exp4b 432 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))))
3210, 31syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))))
3332pm2.43d 53 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q)))
3433impd 412 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
3534exlimdv 1937 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
367, 35biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
37 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ค <Q 1Q โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
3837biimprcd 249 . . . . . . . 8 ((๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
3936, 38syl6 35 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4039expimpd 455 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4140rexlimdvv 3211 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
426, 41sylbid 239 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
43 df-1p 10973 . . . . 5 1P = {๐‘ค โˆฃ ๐‘ค <Q 1Q}
4443eqabri 2878 . . . 4 (๐‘ค โˆˆ 1P โ†” ๐‘ค <Q 1Q)
4542, 44syl6ibr 252 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†’ ๐‘ค โˆˆ 1P))
4645ssrdv 3987 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โŠ† 1P)
471reclem3pr 11040 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ 1P โŠ† (๐ด ยทP ๐ต))
4846, 47eqssd 3998 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = 1P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Qcnq 10843  1Qc1q 10844   ยทQ cmq 10847  *Qcrq 10848   <Q cltq 10849  Pcnp 10850  1Pc1p 10851   ยทP cmp 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-1p 10973  df-mp 10975
This theorem is referenced by:  recexpr  11042
  Copyright terms: Public domain W3C validator