Theorem reclem4pr 11003

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem4pr

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
2	1	reclem2pr 11001	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
3		df-mp 10937	. . . . . . 7 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑦 ∃𝑔 ∈ 𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
4		mulclnq 10900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
5	3, 4	genpelv 10953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
6	2, 5	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
7	1	eqabri 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
8		ltrelnq 10879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 5703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
10	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑦 ∈ Q)
11		elprnq 10944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
12		ltmnq 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
14	13	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
16		recclnq 10919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*Q‘𝑦) ∈ Q)
17		prub 10947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (*Q‘𝑦) ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
18	16, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q (*Q‘𝑦)))
19		ltmnq 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))))
20		mulcomnq 10906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
22		recidnq 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q (*Q‘𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
26	18, 25	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
27	15, 26	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q)))
28		ltsonq 10922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <Q Or Q
29	28, 8	sotri 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)
30	27, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
31	30	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
32	10, 31	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
33	32	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)))
34	33	impd 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
35	34	exlimdv 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
36	7, 35	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
37		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → (𝑤 <Q 1Q ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
38	37	biimprcd 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
39	36, 38	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
40	39	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
41	40	rexlimdvv 3193	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
42	6, 41	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 <Q 1Q))
43		df-1p 10935	. . . . 5 ⊢ 1P = {𝑤 ∣ 𝑤 <Q 1Q}
44	43	eqabri 2871	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 1P ↔ 𝑤 <Q 1Q)
45	42, 44	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 ∈ 1P))
46	45	ssrdv 3952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) ⊆ 1P)
47	1	reclem3pr 11002	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
48	46, 47	eqssd 3964	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Qcnq 10805  1_Qc1q 10806   ·_Q cmq 10809  *_Qcrq 10810   <_Q cltq 10811  Pcnp 10812  1_Pc1p 10813   ·_P cmp 10815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-mpq 10862  df-ltpq 10863  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-mq 10868  df-1nq 10869  df-rq 10870  df-ltnq 10871  df-np 10934  df-1p 10935  df-mp 10937

This theorem is referenced by:  recexpr  11004