MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reclem4pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclem4pr 11047
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 ๐ต = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)}
Assertion
Ref Expression
reclem4pr (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = 1P)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฆ)

Proof of Theorem reclem4pr
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reclempr.1 . . . . . . 7 ๐ต = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)}
21reclem2pr 11045 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ ๐ต โˆˆ P)
3 df-mp 10981 . . . . . . 7 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ค โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐‘ฆ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘ค ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)})
4 mulclnq 10944 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โˆˆ Q)
53, 4genpelv 10997 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
62, 5mpdan 685 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ)))
71eqabri 2877 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
8 ltrelnq 10923 . . . . . . . . . . . . . . 15 <Q โŠ† (Q ร— Q)
98brel 5741 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q))
109simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Q)
11 elprnq 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Q)
12 ltmnq 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1413biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
16 recclnq 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ Q)
17 prub 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
1816, 17sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ)))
19 ltmnq 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ))))
20 mulcomnq 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
22 recidnq 10962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) = 1Q)
2321, 22breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) <Q (๐‘ฆ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2419, 23bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ง <Q (*Qโ€˜๐‘ฆ) โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2618, 25sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q))
2715, 26anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q)))
28 ltsonq 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
2928, 8sotri 6128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) <Q 1Q) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q)
3027, 29syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
3130exp4b 431 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))))
3210, 31syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))))
3332pm2.43d 53 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†’ (ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q)))
3433impd 411 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
3534exlimdv 1936 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ยฌ (*Qโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
367, 35biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
37 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ค <Q 1Q โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q))
3837biimprcd 249 . . . . . . . 8 ((๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q 1Q โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
3936, 38syl6 35 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4039expimpd 454 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ P โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q)))
4140rexlimdvv 3210 . . . . 5 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
426, 41sylbid 239 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†’ ๐‘ค <Q 1Q))
43 df-1p 10979 . . . . 5 1P = {๐‘ค โˆฃ ๐‘ค <Q 1Q}
4443eqabri 2877 . . . 4 (๐‘ค โˆˆ 1P โ†” ๐‘ค <Q 1Q)
4542, 44imbitrrdi 251 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐ด ยทP ๐ต) โ†’ ๐‘ค โˆˆ 1P))
4645ssrdv 3988 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โŠ† 1P)
471reclem3pr 11046 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ 1P โŠ† (๐ด ยทP ๐ต))
4846, 47eqssd 3999 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = 1P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Qcnq 10849  1Qc1q 10850   ยทQ cmq 10853  *Qcrq 10854   <Q cltq 10855  Pcnp 10856  1Pc1p 10857   ยทP cmp 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-1p 10979  df-mp 10981
This theorem is referenced by:  recexpr  11048
  Copyright terms: Public domain W3C validator