MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reclem4pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclem4pr 11090
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem4pr (𝐴P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem4pr
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reclempr.1 . . . . . . 7 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
21reclem2pr 11088 . . . . . 6 (𝐴P𝐵P)
3 df-mp 11024 . . . . . . 7 ·P = (𝑦P, 𝑤P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓𝑦𝑔𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
4 mulclnq 10987 . . . . . . 7 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
53, 4genpelv 11040 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
62, 5mpdan 687 . . . . 5 (𝐴P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
71eqabri 2885 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
8 ltrelnq 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15 <Q ⊆ (Q × Q)
98brel 5750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥Q𝑦Q))
109simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 <Q 𝑦𝑦Q)
11 elprnq 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧Q)
12 ltmnq 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
1413biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦Q) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦)))
16 recclnq 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦Q → (*Q𝑦) ∈ Q)
17 prub 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ (*Q𝑦) ∈ Q) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴𝑧 <Q (*Q𝑦)))
1816, 17sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦Q) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴𝑧 <Q (*Q𝑦)))
19 ltmnq 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦Q → (𝑧 <Q (*Q𝑦) ↔ (𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))))
20 mulcomnq 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
22 recidnq 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (𝑦 ·Q (*Q𝑦)) = 1Q)
2321, 22breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦Q → ((𝑦 ·Q 𝑧) <Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
2419, 23bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦Q → (𝑧 <Q (*Q𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦Q) → (𝑧 <Q (*Q𝑦) ↔ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
2618, 25sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦Q) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q))
2715, 26anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q)))
28 ltsonq 11009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
2928, 8sotri 6147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ·Q 𝑥) <Q (𝑧 ·Q 𝑦) ∧ (𝑧 ·Q 𝑦) <Q 1Q) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)
3027, 29syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
3130exp4b 430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑦Q → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
3210, 31syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))))
3332pm2.43d 53 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q)))
3433impd 410 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
3534exlimdv 1933 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑧𝐴) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
367, 35biimtrid 242 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑥𝐵 → (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
37 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → (𝑤 <Q 1Q ↔ (𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q))
3837biimprcd 250 . . . . . . . 8 ((𝑧 ·Q 𝑥) <Q 1Q → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
3936, 38syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑥𝐵 → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
4039expimpd 453 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝑧𝐴𝑥𝐵) → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q)))
4140rexlimdvv 3212 . . . . 5 (𝐴P → (∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) → 𝑤 <Q 1Q))
426, 41sylbid 240 . . . 4 (𝐴P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 <Q 1Q))
43 df-1p 11022 . . . . 5 1P = {𝑤𝑤 <Q 1Q}
4443eqabri 2885 . . . 4 (𝑤 ∈ 1P𝑤 <Q 1Q)
4542, 44imbitrrdi 252 . . 3 (𝐴P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) → 𝑤 ∈ 1P))
4645ssrdv 3989 . 2 (𝐴P → (𝐴 ·P 𝐵) ⊆ 1P)
471reclem3pr 11089 . 2 (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
4846, 47eqssd 4001 1 (𝐴P → (𝐴 ·P 𝐵) = 1P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Qcnq 10892  1Qc1q 10893   ·Q cmq 10896  *Qcrq 10897   <Q cltq 10898  Pcnp 10899  1Pc1p 10900   ·P cmp 10902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-1p 11022  df-mp 11024
This theorem is referenced by:  recexpr  11091
  Copyright terms: Public domain W3C validator