Theorem 1idpr 11038

Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1idpr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Proof of Theorem 1idpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3087	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
2		elprnq 11000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
3		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
4		df-1p 10991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1P = {𝑔 ∣ 𝑔 <Q 1Q}
5	4	eqabri 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 1P ↔ 𝑔 <Q 1Q)
6		ltmnq 10981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q)))
7		mulidnq 10972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q 1Q) = 𝑓)
8	7	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q) ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
9	6, 8	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
10	5, 9	bitr2id 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
11	3, 10	sylan9bbr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
12	2, 11	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
13	12	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P)))
14	13	pm5.32rd 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
15	14	exbidv 1954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
16		19.42v 1986	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
17	15, 16	bitr3di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
18	1, 17	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
19	18	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
20		1pr 11024	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
21		df-mp 10993	. . . . 5 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑧 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑧 𝑤 = (𝑢 ·Q 𝑣)})
22		mulclnq 10956	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑢 ·Q 𝑣) ∈ Q)
23	21, 22	genpelv 11009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
24	20, 23	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
25		prnmax 11004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓)
26		ltrelnq 10935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
27	26	brel 5720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
28		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑓 ∈ V
29		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		fvex 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q‘𝑓) ∈ V
31		mulcomnq 10962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
32		mulassnq 10968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑧) ·Q 𝑤) = (𝑦 ·Q (𝑧 ·Q 𝑤))
33	28, 29, 30, 31, 32	caov12 7642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)))
34		recidnq 10974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)) = 1Q)
35	34	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
36	33, 35	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
37		mulidnq 10972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
38	36, 37	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = 𝑥)
39	38	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
40		ovex 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) ∈ V
41		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑓 ·Q 𝑔) = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
42	41	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)))))
43	40, 42	spcev 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
44	27, 39, 43	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
46	45	ancld 560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
47	46	reximia 3097	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
48	25, 47	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
49	48	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
50		prcdnq 11002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝐴))
51	50	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
52	51	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
53	49, 52	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
54	19, 24, 53	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
55	54	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Qcnq 10861  1_Qc1q 10862   ·_Q cmq 10865  *_Qcrq 10866   <_Q cltq 10867  Pcnp 10868  1_Pc1p 10869   ·_P cmp 10871

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ni 10881  df-pli 10882  df-mi 10883  df-lti 10884  df-plpq 10917  df-mpq 10918  df-ltpq 10919  df-enq 10920  df-nq 10921  df-erq 10922  df-plq 10923  df-mq 10924  df-1nq 10925  df-rq 10926  df-ltnq 10927  df-np 10990  df-1p 10991  df-mp 10993

This theorem is used by:  m1m1sr  11102  1idsr  11107