MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1idpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1idpr 10972
Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1idpr (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP 1P) = ๐ด)

Proof of Theorem 1idpr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 3075 . . . . 5 (โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
2 elprnq 10934 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
3 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
4 df-1p 10925 . . . . . . . . . . . . 13 1P = {๐‘” โˆฃ ๐‘” <Q 1Q}
54eqabi 2882 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” โˆˆ 1P โ†” ๐‘” <Q 1Q)
6 ltmnq 10915 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q)))
7 mulidnq 10906 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ 1Q) = ๐‘“)
87breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q) โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
96, 8bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
105, 9bitr2id 284 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P))
113, 10sylan9bbr 512 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P))
122, 11sylan 581 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P))
1312ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P)))
1413pm5.32rd 579 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
1514exbidv 1925 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘”(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
16 19.42v 1958 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘”(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
1715, 16bitr3di 286 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘”(๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
181, 17bitrid 283 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
1918rexbidva 3174 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
20 1pr 10958 . . . 4 1P โˆˆ P
21 df-mp 10927 . . . . 5 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ง โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ค โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘ฆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ)})
22 mulclnq 10890 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ Q โˆง ๐‘ฃ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ) โˆˆ Q)
2321, 22genpelv 10943 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP 1P) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
2420, 23mpan2 690 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP 1P) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
25 prnmax 10938 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ <Q ๐‘“)
26 ltrelnq 10869 . . . . . . . . . . 11 <Q โŠ† (Q ร— Q)
2726brel 5702 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q))
28 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘“ โˆˆ V
29 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ฅ โˆˆ V
30 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ V
31 mulcomnq 10896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
32 mulassnq 10902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค))
3328, 29, 30, 31, 32caov12 7587 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))
34 recidnq 10908 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) = 1Q)
3534oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
3633, 35eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
37 mulidnq 10906 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
3836, 37sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = ๐‘ฅ)
3938eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
40 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ V
41 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
4241eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))))
4340, 42spcev 3568 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))
4427, 39, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
4645ancld 552 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
4746reximia 3085 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
4825, 47syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
4948ex 414 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
50 prcdnq 10936 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5150adantrd 493 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5251rexlimdva 3153 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5349, 52impbid 211 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
5419, 24, 533bitr4d 311 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP 1P) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5554eqrdv 2735 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP 1P) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Qcnq 10795  1Qc1q 10796   ยทQ cmq 10799  *Qcrq 10800   <Q cltq 10801  Pcnp 10802  1Pc1p 10803   ยทP cmp 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-1p 10925  df-mp 10927
This theorem is referenced by:  m1m1sr  11036  1idsr  11041
  Copyright terms: Public domain W3C validator