MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1idpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1idpr 10440
Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1idpr (𝐴P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Proof of Theorem 1idpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 3136 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
2 elprnq 10402 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑓𝐴) → 𝑓Q)
3 breq1 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
4 df-1p 10393 . . . . . . . . . . . . 13 1P = {𝑔𝑔 <Q 1Q}
54abeq2i 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ 1P𝑔 <Q 1Q)
6 ltmnq 10383 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q)))
7 mulidnq 10374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓Q → (𝑓 ·Q 1Q) = 𝑓)
87breq2d 5054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q) ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
96, 8bitrd 282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
105, 9syl5rbb 287 . . . . . . . . . . 11 (𝑓Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓𝑔 ∈ 1P))
113, 10sylan9bbr 514 . . . . . . . . . 10 ((𝑓Q𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓𝑔 ∈ 1P))
122, 11sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝑓𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓𝑔 ∈ 1P))
1312ex 416 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑓𝐴) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓𝑔 ∈ 1P)))
1413pm5.32rd 581 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑓𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 1P𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
1514exbidv 1922 . . . . . 6 ((𝐴P𝑓𝐴) → (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
16 19.42v 1954 . . . . . 6 (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
1715, 16bitr3di 289 . . . . 5 ((𝐴P𝑓𝐴) → (∃𝑔(𝑔 ∈ 1P𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
181, 17syl5bb 286 . . . 4 ((𝐴P𝑓𝐴) → (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
1918rexbidva 3282 . . 3 (𝐴P → (∃𝑓𝐴𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑓𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
20 1pr 10426 . . . 4 1PP
21 df-mp 10395 . . . . 5 ·P = (𝑦P, 𝑧P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑢𝑦𝑣𝑧 𝑤 = (𝑢 ·Q 𝑣)})
22 mulclnq 10358 . . . . 5 ((𝑢Q𝑣Q) → (𝑢 ·Q 𝑣) ∈ Q)
2321, 22genpelv 10411 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1PP) → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
2420, 23mpan2 690 . . 3 (𝐴P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
25 prnmax 10406 . . . . . 6 ((𝐴P𝑥𝐴) → ∃𝑓𝐴 𝑥 <Q 𝑓)
26 ltrelnq 10337 . . . . . . . . . . 11 <Q ⊆ (Q × Q)
2726brel 5594 . . . . . . . . . 10 (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥Q𝑓Q))
28 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
29 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
30 fvex 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Q𝑓) ∈ V
31 mulcomnq 10364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
32 mulassnq 10370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ·Q 𝑧) ·Q 𝑤) = (𝑦 ·Q (𝑧 ·Q 𝑤))
3328, 29, 30, 31, 32caov12 7361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑓))) = (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q𝑓)))
34 recidnq 10376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓Q → (𝑓 ·Q (*Q𝑓)) = 1Q)
3534oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓Q → (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
3633, 35syl5eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓Q → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
37 mulidnq 10374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
3836, 37sylan9eqr 2879 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥Q𝑓Q) → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑓))) = 𝑥)
3938eqcomd 2828 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q𝑓Q) → 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑓))))
40 ovex 7173 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ·Q (*Q𝑓)) ∈ V
41 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q𝑓)) → (𝑓 ·Q 𝑔) = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑓))))
4241eqeq2d 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q𝑓)) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑓)))))
4340, 42spcev 3582 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑓))) → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
4427, 39, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑓𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
4645ancld 554 . . . . . . 7 (𝑓𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
4746reximia 3230 . . . . . 6 (∃𝑓𝐴 𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑓𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
4825, 47syl 17 . . . . 5 ((𝐴P𝑥𝐴) → ∃𝑓𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
4948ex 416 . . . 4 (𝐴P → (𝑥𝐴 → ∃𝑓𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
50 prcdnq 10404 . . . . . 6 ((𝐴P𝑓𝐴) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥𝐴))
5150adantrd 495 . . . . 5 ((𝐴P𝑓𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥𝐴))
5251rexlimdva 3270 . . . 4 (𝐴P → (∃𝑓𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥𝐴))
5349, 52impbid 215 . . 3 (𝐴P → (𝑥𝐴 ↔ ∃𝑓𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
5419, 24, 533bitr4d 314 . 2 (𝐴P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ 𝑥𝐴))
5554eqrdv 2820 1 (𝐴P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  wrex 3131   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Qcnq 10263  1Qc1q 10264   ·Q cmq 10267  *Qcrq 10268   <Q cltq 10269  Pcnp 10270  1Pc1p 10271   ·P cmp 10273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-mpq 10320  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-mq 10326  df-1nq 10327  df-rq 10328  df-ltnq 10329  df-np 10392  df-1p 10393  df-mp 10395
This theorem is referenced by:  m1m1sr  10504  1idsr  10509
  Copyright terms: Public domain W3C validator