Theorem 1idpr 10940

Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1idpr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Proof of Theorem 1idpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3061	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
2		elprnq 10902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
3		breq1 5101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
4		df-1p 10893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1P = {𝑔 ∣ 𝑔 <Q 1Q}
5	4	eqabri 2878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 1P ↔ 𝑔 <Q 1Q)
6		ltmnq 10883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q)))
7		mulidnq 10874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q 1Q) = 𝑓)
8	7	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q) ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
9	6, 8	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
10	5, 9	bitr2id 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
11	3, 10	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
12	2, 11	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
13	12	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P)))
14	13	pm5.32rd 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
15	14	exbidv 1922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
16		19.42v 1954	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
17	15, 16	bitr3di 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
18	1, 17	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
19	18	rexbidva 3158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
20		1pr 10926	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
21		df-mp 10895	. . . . 5 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑧 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑧 𝑤 = (𝑢 ·Q 𝑣)})
22		mulclnq 10858	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑢 ·Q 𝑣) ∈ Q)
23	21, 22	genpelv 10911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
24	20, 23	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
25		prnmax 10906	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓)
26		ltrelnq 10837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
27	26	brel 5689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
28		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑓 ∈ V
29		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q‘𝑓) ∈ V
31		mulcomnq 10864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
32		mulassnq 10870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑧) ·Q 𝑤) = (𝑦 ·Q (𝑧 ·Q 𝑤))
33	28, 29, 30, 31, 32	caov12 7586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)))
34		recidnq 10876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)) = 1Q)
35	34	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
36	33, 35	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
37		mulidnq 10874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
38	36, 37	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = 𝑥)
39	38	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
40		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) ∈ V
41		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑓 ·Q 𝑔) = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
42	41	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)))))
43	40, 42	spcev 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
44	27, 39, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
46	45	ancld 550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
47	46	reximia 3071	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
48	25, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
50		prcdnq 10904	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝐴))
51	50	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
52	51	rexlimdva 3137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
53	49, 52	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
54	19, 24, 53	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
55	54	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Qcnq 10763  1_Qc1q 10764   ·_Q cmq 10767  *_Qcrq 10768   <_Q cltq 10769  Pcnp 10770  1_Pc1p 10771   ·_P cmp 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-ni 10783  df-pli 10784  df-mi 10785  df-lti 10786  df-plpq 10819  df-mpq 10820  df-ltpq 10821  df-enq 10822  df-nq 10823  df-erq 10824  df-plq 10825  df-mq 10826  df-1nq 10827  df-rq 10828  df-ltnq 10829  df-np 10892  df-1p 10893  df-mp 10895

This theorem is referenced by:  m1m1sr  11004  1idsr  11009