Theorem 1idpr 11067

Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1idpr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Proof of Theorem 1idpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3069	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
2		elprnq 11029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
3		breq1 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
4		df-1p 11020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1P = {𝑔 ∣ 𝑔 <Q 1Q}
5	4	eqabri 2883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 1P ↔ 𝑔 <Q 1Q)
6		ltmnq 11010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q)))
7		mulidnq 11001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q 1Q) = 𝑓)
8	7	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q) ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
9	6, 8	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
10	5, 9	bitr2id 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
11	3, 10	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
12	2, 11	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
13	12	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P)))
14	13	pm5.32rd 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
15	14	exbidv 1919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
16		19.42v 1951	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
17	15, 16	bitr3di 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
18	1, 17	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
19	18	rexbidva 3175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
20		1pr 11053	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
21		df-mp 11022	. . . . 5 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑧 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑧 𝑤 = (𝑢 ·Q 𝑣)})
22		mulclnq 10985	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑢 ·Q 𝑣) ∈ Q)
23	21, 22	genpelv 11038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
24	20, 23	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
25		prnmax 11033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓)
26		ltrelnq 10964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
27	26	brel 5754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
28		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑓 ∈ V
29		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q‘𝑓) ∈ V
31		mulcomnq 10991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
32		mulassnq 10997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑧) ·Q 𝑤) = (𝑦 ·Q (𝑧 ·Q 𝑤))
33	28, 29, 30, 31, 32	caov12 7661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)))
34		recidnq 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)) = 1Q)
35	34	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
36	33, 35	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
37		mulidnq 11001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
38	36, 37	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = 𝑥)
39	38	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
40		ovex 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) ∈ V
41		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑓 ·Q 𝑔) = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
42	41	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)))))
43	40, 42	spcev 3606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
44	27, 39, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
46	45	ancld 550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
47	46	reximia 3079	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
48	25, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
50		prcdnq 11031	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝐴))
51	50	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
52	51	rexlimdva 3153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
53	49, 52	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
54	19, 24, 53	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
55	54	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Qcnq 10890  1_Qc1q 10891   ·_Q cmq 10894  *_Qcrq 10895   <_Q cltq 10896  Pcnp 10897  1_Pc1p 10898   ·_P cmp 10900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955  df-ltnq 10956  df-np 11019  df-1p 11020  df-mp 11022

This theorem is referenced by:  m1m1sr  11131  1idsr  11136