Theorem 1idpr 10440

Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1idpr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Proof of Theorem 1idpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3112	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
2		elprnq 10402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
3		breq1 5033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
4		df-1p 10393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1P = {𝑔 ∣ 𝑔 <Q 1Q}
5	4	abeq2i 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 1P ↔ 𝑔 <Q 1Q)
6		ltmnq 10383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q)))
7		mulidnq 10374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q 1Q) = 𝑓)
8	7	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q (𝑓 ·Q 1Q) ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
9	6, 8	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑔 <Q 1Q ↔ (𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓))
10	5, 9	syl5rbb 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Q → ((𝑓 ·Q 𝑔) <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
11	3, 10	sylan9bbr 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
12	2, 11	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P))
13	12	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 ∈ 1P)))
14	13	pm5.32rd 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
15	14	exbidv 1922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
16		19.42v 1954	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑥 <Q 𝑓 ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
17	15, 16	bitr3di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔(𝑔 ∈ 1P ∧ 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
18	1, 17	syl5bb 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
19	18	rexbidva 3255	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
20		1pr 10426	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
21		df-mp 10395	. . . . 5 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑧 ∈ P ↦ {𝑤 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑧 𝑤 = (𝑢 ·Q 𝑣)})
22		mulclnq 10358	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑢 ·Q 𝑣) ∈ Q)
23	21, 22	genpelv 10411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
24	20, 23	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 1P 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
25		prnmax 10406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓)
26		ltrelnq 10337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
27	26	brel 5581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
28		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑓 ∈ V
29		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		fvex 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q‘𝑓) ∈ V
31		mulcomnq 10364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
32		mulassnq 10370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑧) ·Q 𝑤) = (𝑦 ·Q (𝑧 ·Q 𝑤))
33	28, 29, 30, 31, 32	caov12 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)))
34		recidnq 10376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓)) = 1Q)
35	34	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑥 ·Q (𝑓 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
36	33, 35	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ Q → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = (𝑥 ·Q 1Q))
37		mulidnq 10374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
38	36, 37	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) = 𝑥)
39	38	eqcomd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) → 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
40		ovex 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) ∈ V
41		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑓 ·Q 𝑔) = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))))
42	41	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)) → (𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔) ↔ 𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓)))))
43	40, 42	spcev 3555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑓))) → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
44	27, 39, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
46	45	ancld 554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
47	46	reximia 3205	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑓 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
48	25, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)))
49	48	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
50		prcdnq 10404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝐴))
51	50	adantrd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → ((𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
52	51	rexlimdva 3243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
53	49, 52	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 (𝑥 <Q 𝑓 ∧ ∃𝑔 𝑥 = (𝑓 ·Q 𝑔))))
54	19, 24, 53	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑥 ∈ (𝐴 ·P 1P) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
55	54	eqrdv 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Qcnq 10263  1_Qc1q 10264   ·_Q cmq 10267  *_Qcrq 10268   <_Q cltq 10269  Pcnp 10270  1_Pc1p 10271   ·_P cmp 10273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-mpq 10320  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-mq 10326  df-1nq 10327  df-rq 10328  df-ltnq 10329  df-np 10392  df-1p 10393  df-mp 10395

This theorem is referenced by:  m1m1sr  10504  1idsr  10509