MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1idpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1idpr 11021
Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1idpr (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP 1P) = ๐ด)

Proof of Theorem 1idpr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 3063 . . . . 5 (โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
2 elprnq 10983 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
3 breq1 5142 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
4 df-1p 10974 . . . . . . . . . . . . 13 1P = {๐‘” โˆฃ ๐‘” <Q 1Q}
54eqabri 2869 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” โˆˆ 1P โ†” ๐‘” <Q 1Q)
6 ltmnq 10964 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q)))
7 mulidnq 10955 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ 1Q) = ๐‘“)
87breq2d 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q) โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
96, 8bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
105, 9bitr2id 284 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P))
113, 10sylan9bbr 510 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P))
122, 11sylan 579 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P))
1312ex 412 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ 1P)))
1413pm5.32rd 577 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
1514exbidv 1916 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘”(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” โˆƒ๐‘”(๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
16 19.42v 1949 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘”(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
1715, 16bitr3di 286 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘”(๐‘” โˆˆ 1P โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
181, 17bitrid 283 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
1918rexbidva 3168 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
20 1pr 11007 . . . 4 1P โˆˆ P
21 df-mp 10976 . . . . 5 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ง โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ค โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘ฆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ)})
22 mulclnq 10939 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ Q โˆง ๐‘ฃ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ) โˆˆ Q)
2321, 22genpelv 10992 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP 1P) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
2420, 23mpan2 688 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP 1P) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘” โˆˆ 1P ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
25 prnmax 10987 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ <Q ๐‘“)
26 ltrelnq 10918 . . . . . . . . . . 11 <Q โІ (Q ร— Q)
2726brel 5732 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q))
28 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘“ โˆˆ V
29 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ฅ โˆˆ V
30 fvex 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ V
31 mulcomnq 10945 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
32 mulassnq 10951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค))
3328, 29, 30, 31, 32caov12 7629 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))
34 recidnq 10957 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) = 1Q)
3534oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
3633, 35eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
37 mulidnq 10955 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
3836, 37sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = ๐‘ฅ)
3938eqcomd 2730 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
40 ovex 7435 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ V
41 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
4241eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))))
4340, 42spcev 3588 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))
4427, 39, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
4645ancld 550 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
4746reximia 3073 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
4825, 47syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
4948ex 412 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
50 prcdnq 10985 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5150adantrd 491 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5251rexlimdva 3147 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5349, 52impbid 211 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
5419, 24, 533bitr4d 311 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด ยทP 1P) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
5554eqrdv 2722 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐ด ยทP 1P) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Qcnq 10844  1Qc1q 10845   ยทQ cmq 10848  *Qcrq 10849   <Q cltq 10850  Pcnp 10851  1Pc1p 10852   ยทP cmp 10854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-ni 10864  df-pli 10865  df-mi 10866  df-lti 10867  df-plpq 10900  df-mpq 10901  df-ltpq 10902  df-enq 10903  df-nq 10904  df-erq 10905  df-plq 10906  df-mq 10907  df-1nq 10908  df-rq 10909  df-ltnq 10910  df-np 10973  df-1p 10974  df-mp 10976
This theorem is referenced by:  m1m1sr  11085  1idsr  11090
  Copyright terms: Public domain W3C validator