Theorem hashbccl 17210

Description: The binomial set is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbccl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑏)

Proof of Theorem hashbccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2	1	hashbcval 17209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁})
3		pwfi 9338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
4	3	birani 509	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5		ssrab2 4008	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴
6		ssfi 9216	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
8	2, 7	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  Fincfn 9001  ℕ₀cn0 12633  ♯chash 14501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005

This theorem is used by: (None)