Theorem hashbccl 16907

Description: The binomial set is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbccl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)

Proof of Theorem hashbccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2	1	hashbcval 16906	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁})
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Fin)
4		pwfi 9198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6		ssrab2 4028	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴
7		ssfi 9077	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
9	2, 8	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4548  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  Fincfn 8864  ℕ₀cn0 12373  ♯chash 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1o 8380  df-en 8865  df-dom 8866  df-fin 8868

This theorem is referenced by: (None)