Theorem hashbccl 17062

Description: The binomial set is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbccl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)

Proof of Theorem hashbccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2	1	hashbcval 17061	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁})
3		pwfi 9277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
4	3	birani 508	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5		ssrab2 4033	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴
6		ssfi 9156	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
8	2, 7	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Fincfn 8942  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1o 8452  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946

This theorem is referenced by: (None)