Theorem hashbccl 16732

Description: The binomial set is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbccl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)

Proof of Theorem hashbccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2	1	hashbcval 16731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁})
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Fin)
4		pwfi 8986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6		ssrab2 4016	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴
7		ssfi 8981	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} ∈ Fin)
9	2, 8	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  {crab 3221  Vcvv 3434   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4536  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295   ∈ cmpo 7297  Fincfn 8753  ℕ₀cn0 12261  ♯chash 14072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1o 8317  df-en 8754  df-fin 8757

This theorem is referenced by: (None)