Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwfi 8818
 Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi
Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8531 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
2 pweq 4538 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
32eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4 pweq 4538 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
54eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6 pweq 4538 . . . . . . . 8 (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7 df-suc 6186 . . . . . . . . 9 suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
87pweqi 4540 . . . . . . . 8 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
96, 8syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
109eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11 pw0 4729 . . . . . . . 8 𝒫 ∅ = {∅}
12 df1o2 8114 . . . . . . . 8 1o = {∅}
1311, 12eqtr4i 2850 . . . . . . 7 𝒫 ∅ = 1o
14 1onn 8263 . . . . . . . 8 1o ∈ ω
15 ssid 3975 . . . . . . . 8 1o ⊆ 1o
16 ssnnfi 8736 . . . . . . . 8 ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . . . 7 1o ∈ Fin
1813, 17eqeltri 2912 . . . . . 6 𝒫 ∅ ∈ Fin
19 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
2019pwfilem 8817 . . . . . . 7 (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
223, 5, 10, 18, 21finds1 7608 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23 pwen 8689 . . . . 5 (𝐴𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24 enfii 8734 . . . . 5 ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
2522, 23, 24syl2an 598 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
2625rexlimiva 3273 . . 3 (∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
271, 26sylbi 220 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28 pwexr 7483 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
29 canth2g 8670 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
30 sdomdom 8535 . . . 4 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
3128, 29, 303syl 18 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
32 domfi 8738 . . 3 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3331, 32mpdan 686 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
3427, 33impbii 212 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  𝒫 cpw 4522  {csn 4550   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  suc csuc 6182  ωcom 7576  1oc1o 8093   ≈ cen 8504   ≼ cdom 8505   ≺ csdm 8506  Fincfn 8507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511 This theorem is referenced by:  mapfi  8819  r1fin  9201  dfac12k  9573  pwsdompw  9626  ackbij1lem5  9646  ackbij1lem9  9650  ackbij1lem10  9651  ackbij1lem14  9655  ackbij1b  9661  isfin1-2  9807  isfin1-3  9808  domtriomlem  9864  dominf  9867  dominfac  9995  gchhar  10101  omina  10113  gchina  10121  hashpw  13804  hashbclem  13817  qshash  15184  ackbijnn  15185  incexclem  15193  incexc  15194  incexc2  15195  hashbccl  16339  lagsubg2  18343  lagsubg  18344  orbsta2  18446  sylow1lem3  18727  sylow1lem5  18729  sylow2alem2  18745  sylow2a  18746  sylow2blem2  18748  sylow2blem3  18749  sylow3lem3  18756  sylow3lem4  18757  sylow3lem6  18759  pgpfac1lem5  19203  discmp  22012  cmpfi  22022  dis1stc  22113  1stckgenlem  22167  ptcmpfi  22427  fiufl  22530  musum  25785  qerclwwlknfi  27867  hasheuni  31429  coinfliplem  31821  ballotth  31880  erdszelem2  32524  kelac2lem  39952  pwinfig  40204
 Copyright terms: Public domain W3C validator