Theorem pwfi 9281

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) Avoid ax-pow 5338. (Revised by BTernaryTau, 7-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4578	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = 𝒫 ∅)
2	1	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
3		pweq 4578	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
4	3	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin))
5		pweq 4578	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
6	5	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
7		pweq 4578	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
8	7	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin))
9		pw0 4780	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10		snfi 9043	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
12		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧}))
13	12	pwfilem 9280	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
15	2, 4, 6, 8, 11, 14	findcard2 9152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
16		pwfir 9279	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
17	15, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  Fincfn 8945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7865  df-1o 8455  df-en 8946  df-dom 8947  df-fin 8949

This theorem is used by:  xpfi  9282  mapfi  9308  r1fin  9748  dfac12k  10143  pwsdompw  10198  ackbij1lem5  10218  ackbij1lem9  10222  ackbij1lem10  10223  ackbij1lem14  10227  ackbij1b  10233  isfin1-2  10380  isfin1-3  10381  domtriomlem  10437  dominf  10440  dominfac  10569  gchhar  10675  omina  10687  gchina  10695  hashpw  14487  hashbclem  14503  qshash  15898  ackbijnn  15901  incexclem  15909  incexc  15910  incexc2  15911  hashbccl  17081  lagsubg2  19289  lagsubg  19290  orbsta2  19408  sylow1lem3  19694  sylow1lem5  19696  sylow2alem2  19712  sylow2a  19713  sylow2blem2  19715  sylow2blem3  19716  sylow3lem3  19723  sylow3lem4  19724  sylow3lem6  19726  pgpfac1lem5  20175  discmp  23585  cmpfi  23595  dis1stc  23687  1stckgenlem  23741  ptcmpfi  24001  fiufl  24104  musum  27386  madefi  28137  qerclwwlknfi  30467  hasheuni  34515  coinfliplem  34910  ballotth  34969  fineqvpow  35561  erdszelem2  35697  sticksstones22  42968  fisdomnn  43045  kelac2lem  43824  pwinfig  44320