Theorem pwfi 9222

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) Avoid ax-pow 5302. (Revised by BTernaryTau, 7-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4556	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = 𝒫 ∅)
2	1	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
3		pweq 4556	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
4	3	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin))
5		pweq 4556	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
6	5	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
7		pweq 4556	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
8	7	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin))
9		pw0 4756	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10		snfi 8983	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧}))
13	12	pwfilem 9221	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
15	2, 4, 6, 8, 11, 14	findcard2 9092	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
16		pwfir 9220	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
17	15, 16	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890

This theorem is referenced by:  xpfi  9223  mapfi  9251  r1fin  9688  dfac12k  10061  pwsdompw  10116  ackbij1lem5  10136  ackbij1lem9  10140  ackbij1lem10  10141  ackbij1lem14  10145  ackbij1b  10151  isfin1-2  10298  isfin1-3  10299  domtriomlem  10355  dominf  10358  dominfac  10487  gchhar  10593  omina  10605  gchina  10613  hashpw  14389  hashbclem  14405  qshash  15781  ackbijnn  15784  incexclem  15792  incexc  15793  incexc2  15794  hashbccl  16965  lagsubg2  19160  lagsubg  19161  orbsta2  19280  sylow1lem3  19566  sylow1lem5  19568  sylow2alem2  19584  sylow2a  19585  sylow2blem2  19587  sylow2blem3  19588  sylow3lem3  19595  sylow3lem4  19596  sylow3lem6  19598  pgpfac1lem5  20047  discmp  23373  cmpfi  23383  dis1stc  23474  1stckgenlem  23528  ptcmpfi  23788  fiufl  23891  musum  27168  madefi  27919  qerclwwlknfi  30158  hasheuni  34245  coinfliplem  34639  ballotth  34698  fineqvpow  35275  erdszelem2  35390  sticksstones22  42621  fisdomnn  42697  kelac2lem  43510  pwinfig  44006