MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwfi 9129
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) Avoid ax-pow 5325. (Revised by BTernaryTau, 7-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
pwfi (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4579 . . . 4 (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = 𝒫 ∅)
21eleq1d 2823 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
3 pweq 4579 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
43eleq1d 2823 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin))
5 pweq 4579 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
65eleq1d 2823 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
7 pweq 4579 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
87eleq1d 2823 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin))
9 pw0 4777 . . . 4 𝒫 ∅ = {∅}
10 snfi 8995 . . . 4 {∅} ∈ Fin
119, 10eqeltri 2834 . . 3 𝒫 ∅ ∈ Fin
12 eqid 2737 . . . . 5 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧}))
1312pwfilem 9128 . . . 4 (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
1413a1i 11 . . 3 (𝑦 ∈ Fin → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
152, 4, 6, 8, 11, 14findcard2 9115 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
16 pwfir 9127 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
1715, 16impbii 208 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  cmpt 5193  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  xpfi  9268  mapfi  9299  r1fin  9716  dfac12k  10090  pwsdompw  10147  ackbij1lem5  10167  ackbij1lem9  10171  ackbij1lem10  10172  ackbij1lem14  10176  ackbij1b  10182  isfin1-2  10328  isfin1-3  10329  domtriomlem  10385  dominf  10388  dominfac  10516  gchhar  10622  omina  10634  gchina  10642  hashpw  14343  hashbclem  14356  qshash  15719  ackbijnn  15720  incexclem  15728  incexc  15729  incexc2  15730  hashbccl  16882  lagsubg2  18998  lagsubg  18999  orbsta2  19101  sylow1lem3  19389  sylow1lem5  19391  sylow2alem2  19407  sylow2a  19408  sylow2blem2  19410  sylow2blem3  19411  sylow3lem3  19418  sylow3lem4  19419  sylow3lem6  19421  pgpfac1lem5  19865  discmp  22765  cmpfi  22775  dis1stc  22866  1stckgenlem  22920  ptcmpfi  23180  fiufl  23283  musum  26556  qerclwwlknfi  29059  hasheuni  32724  coinfliplem  33118  ballotth  33177  fineqvpow  33737  erdszelem2  33826  sticksstones22  40605  kelac2lem  41420  pwinfig  41907
  Copyright terms: Public domain W3C validator