Theorem pwfi 9303

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) Avoid ax-pow 5327. (Revised by BTernaryTau, 7-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4571	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = 𝒫 ∅)
2	1	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
3		pweq 4571	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
4	3	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin))
5		pweq 4571	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
6	5	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
7		pweq 4571	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
8	7	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin))
9		pw0 4773	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10		snfi 9064	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧}))
13	12	pwfilem 9302	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
15	2, 4, 6, 8, 11, 14	findcard2 9173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
16		pwfir 9301	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
17	15, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1o 8469  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970

This theorem is used by:  xpfi  9304  mapfi  9330  r1fin  9773  hfpw  9919  dfac12k  10219  pwsdompw  10274  ackbij1lem5  10294  ackbij1lem9  10298  ackbij1lem10  10299  ackbij1lem14  10303  ackbij1b  10309  isfin1-2  10456  isfin1-3  10457  domtriomlem  10513  dominf  10516  dominfac  10651  gchhar  10757  omina  10769  gchina  10777  hashpw  14574  hashbclem  14590  qshash  15987  ackbijnn  15990  incexclem  15998  incexc  15999  incexc2  16000  hashbccl  17174  lagsubg2  19402  lagsubg  19403  orbsta2  19521  sylow1lem3  19807  sylow1lem5  19809  sylow2alem2  19825  sylow2a  19826  sylow2blem2  19828  sylow2blem3  19829  sylow3lem3  19836  sylow3lem4  19837  sylow3lem6  19839  pgpfac1lem5  20288  discmp  23709  cmpfi  23719  dis1stc  23811  1stckgenlem  23865  ptcmpfi  24125  fiufl  24228  musum  27511  madefi  28292  qerclwwlknfi  30657  hasheuni  34710  coinfliplem  35104  ballotth  35163  fineqvpow  35766  erdszelem2  35936  sticksstones22  43198  fisdomnn  43275  kelac2lem  44050  pwinfig  44546