Theorem pwfi 9314

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) Avoid ax-pow 5326. (Revised by BTernaryTau, 7-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4570	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = 𝒫 ∅)
2	1	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
3		pweq 4570	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
4	3	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin))
5		pweq 4570	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
6	5	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
7		pweq 4570	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
8	7	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin))
9		pw0 4829	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
10		snfi 9075	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑐 ∪ {𝑧}))
13	12	pwfilem 9313	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
15	2, 4, 6, 8, 11, 14	findcard2 9184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
16		pwfir 9312	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
17	15, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  Fincfn 8977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-om 7879  df-1o 8480  df-en 8978  df-dom 8979  df-fin 8981

This theorem is used by:  xpfi  9315  mapfi  9341  r1fin  9784  hfpw  9930  dfac12k  10230  pwsdompw  10285  ackbij1lem5  10305  ackbij1lem9  10309  ackbij1lem10  10310  ackbij1lem14  10314  ackbij1b  10320  isfin1-2  10467  isfin1-3  10468  domtriomlem  10524  dominf  10527  dominfac  10662  gchhar  10768  omina  10780  gchina  10788  hashpw  14585  hashbclem  14601  qshash  16000  ackbijnn  16003  incexclem  16011  incexc  16012  incexc2  16013  hashbccl  17187  lagsubg2  19415  lagsubg  19416  orbsta2  19534  sylow1lem3  19820  sylow1lem5  19822  sylow2alem2  19838  sylow2a  19839  sylow2blem2  19841  sylow2blem3  19842  sylow3lem3  19849  sylow3lem4  19850  sylow3lem6  19852  pgpfac1lem5  20301  discmp  23722  cmpfi  23732  dis1stc  23824  1stckgenlem  23878  ptcmpfi  24138  fiufl  24241  musum  27524  madefi  28305  qerclwwlknfi  30670  hasheuni  34764  coinfliplem  35158  ballotth  35217  fineqvpow  35840  erdszelem2  36044  sticksstones22  43312  fisdomnn  43389  kelac2lem  44160  pwinfig  44656