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Theorem cnextfvval 23569
Description: The value of the continuous extension of a given function 𝐹 at a point 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextf.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextf.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
cnextf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextf.6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
cnextf.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
cnextfvval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnextf.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
43adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
65adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
7 cnextf.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
87adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
9 cnextf.1 . . . 4 𝐢 = βˆͺ 𝐽
10 cnextf.2 . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐾
119, 10cnextfun 23568 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
13 cnextf.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
1413eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ 𝑋 ∈ 𝐢))
1514biimpar 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
16 fvex 6905 . . . . . . 7 ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ V
1716uniex 7731 . . . . . 6 βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ V
1817snid 4665 . . . . 5 βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)}
19 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
2019fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
2120oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))
2221oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴)))
2322fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2423breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
2524imbi2d 341 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)))
263adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
289toptopon 22419 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
307adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
31 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3213eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ π‘₯ ∈ 𝐢))
3332biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
34 trnei 23396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
3534biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
375adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
3910hausflf2 23502 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
4140expcom 415 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
4225, 41vtoclga 3566 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
4342impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
44 en1b 9023 . . . . . 6 (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)})
4543, 44sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)})
4618, 45eleqtrrid 2841 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
47 nfiu1 5032 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
4847nfel2 2922 . . . . . . 7 β„²π‘₯βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
49 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
5048, 49nfbi 1907 . . . . . 6 β„²π‘₯(βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
51 opeq1 4874 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ = βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩)
5251eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
53 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
5423eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
5553, 54anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
5652, 55bibi12d 346 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))) ↔ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))))
57 opeliunxp 5744 . . . . . 6 (⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
5850, 56, 57vtoclg1f 3556 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
5958adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6015, 46, 59mpbir2and 712 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
61 df-br 5150 . . . 4 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
62 haustop 22835 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
633, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
6463adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Top)
659, 10cnextfval 23566 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
6766eleq2d 2820 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6861, 67bitrid 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6960, 68mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
70 funbrfv 6943 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
7112, 69, 70sylc 65 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   β‰ˆ cen 8936   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  clsccl 22522  neicnei 22601  Hauscha 22812  Filcfil 23349   fLimf cflf 23439  CnExtccnext 23563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-rest 17368  df-fbas 20941  df-top 22396  df-topon 22413  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-haus 22819  df-fil 23350  df-flim 23443  df-flf 23444  df-cnext 23564
This theorem is referenced by:  cnextcn  23571  cnextfres1  23572
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