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Theorem cnextfvval 23439
Description: The value of the continuous extension of a given function 𝐹 at a point 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextf.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextf.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
cnextf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextf.6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
cnextf.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
cnextfvval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnextf.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
43adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
65adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
7 cnextf.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
87adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
9 cnextf.1 . . . 4 𝐢 = βˆͺ 𝐽
10 cnextf.2 . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐾
119, 10cnextfun 23438 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
13 cnextf.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
1413eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ 𝑋 ∈ 𝐢))
1514biimpar 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
16 fvex 6859 . . . . . . 7 ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ V
1716uniex 7682 . . . . . 6 βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ V
1817snid 4626 . . . . 5 βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)}
19 sneq 4600 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
2019fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
2120oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))
2221oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴)))
2322fveq1d 6848 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2423breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
2524imbi2d 341 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)))
263adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
289toptopon 22289 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
307adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
31 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3213eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ π‘₯ ∈ 𝐢))
3332biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
34 trnei 23266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
3534biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
375adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
3910hausflf2 23372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
4140expcom 415 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
4225, 41vtoclga 3536 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
4342impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
44 en1b 8973 . . . . . 6 (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)})
4543, 44sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)})
4618, 45eleqtrrid 2841 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
47 nfiu1 4992 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
4847nfel2 2922 . . . . . . 7 β„²π‘₯βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
49 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
5048, 49nfbi 1907 . . . . . 6 β„²π‘₯(βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
51 opeq1 4834 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ = βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩)
5251eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
53 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
5423eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
5553, 54anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
5652, 55bibi12d 346 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))) ↔ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))))
57 opeliunxp 5703 . . . . . 6 (⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
5850, 56, 57vtoclg1f 3526 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
5958adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6015, 46, 59mpbir2and 712 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
61 df-br 5110 . . . 4 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
62 haustop 22705 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
633, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
6463adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Top)
659, 10cnextfval 23436 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
6766eleq2d 2820 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6861, 67bitrid 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6960, 68mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
70 funbrfv 6897 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
7112, 69, 70sylc 65 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   β‰ˆ cen 8886   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  clsccl 22392  neicnei 22471  Hauscha 22682  Filcfil 23219   fLimf cflf 23309  CnExtccnext 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-rest 17312  df-fbas 20816  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-haus 22689  df-fil 23220  df-flim 23313  df-flf 23314  df-cnext 23434
This theorem is referenced by:  cnextcn  23441  cnextfres1  23442
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