MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfvval 24073
Description: The value of the continuous extension of a given function 𝐹 at a point 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cnextfvval ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
3 cnextf.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
7 cnextf.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐴𝐶)
9 cnextf.1 . . . 4 𝐶 = 𝐽
10 cnextf.2 . . . 4 𝐵 = 𝐾
119, 10cnextfun 24072 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 839 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
13 cnextf.6 . . . . . 6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
1413eleq2d 2827 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑋𝐶))
1514biimpar 477 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
16 fvex 6919 . . . . . . 7 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
1716uniex 7761 . . . . . 6 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
1817snid 4662 . . . . 5 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)}
19 sneq 4636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2019fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
2120oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
2221oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
2322fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2423breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o))
2524imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) ↔ (𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)))
263adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
289toptopon 22923 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
2927, 28sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
307adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
3213eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
3332biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
34 trnei 23900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
3534biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
375adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
3910hausflf2 24006 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
4140expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑥𝐶 → (𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o))
4225, 41vtoclga 3577 . . . . . . 7 (𝑋𝐶 → (𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o))
4342impcom 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
44 en1b 9065 . . . . . 6 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
4543, 44sylib 218 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
4618, 45eleqtrrid 2848 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
47 nfiu1 5027 . . . . . . . 8 𝑥 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
4847nfel2 2924 . . . . . . 7 𝑥𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
49 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑥(𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
5048, 49nfbi 1903 . . . . . 6 𝑥(⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
51 opeq1 4873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ = ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩)
5251eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
53 eleq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
5423eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ( ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
5553, 54anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
5652, 55bibi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))) ↔ (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))))
57 opeliunxp 5752 . . . . . 6 (⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
5850, 56, 57vtoclg1f 3570 . . . . 5 (𝑋𝐶 → (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
5958adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
6015, 46, 59mpbir2and 713 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
61 df-br 5144 . . . 4 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
62 haustop 23339 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
633, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
6463adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐾 ∈ Top)
659, 10cnextfval 24070 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 839 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
6766eleq2d 2827 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
6861, 67bitrid 283 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
6960, 68mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
70 funbrfv 6957 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
7112, 69, 70sylc 65 1 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cop 4632   cuni 4907   ciun 4991   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1oc1o 8499  cen 8982  t crest 17465  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  clsccl 23026  neicnei 23105  Hauscha 23316  Filcfil 23853   fLimf cflf 23943  CnExtccnext 24067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-rest 17467  df-fbas 21361  df-top 22900  df-topon 22917  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-haus 23323  df-fil 23854  df-flim 23947  df-flf 23948  df-cnext 24068
This theorem is referenced by:  cnextcn  24075  cnextfres1  24076
  Copyright terms: Public domain W3C validator