MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfvval 23321
Description: The value of the continuous extension of a given function 𝐹 at a point 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cnextfvval ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
21adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
3 cnextf.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
43adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
65adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
7 cnextf.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
87adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐴𝐶)
9 cnextf.1 . . . 4 𝐶 = 𝐽
10 cnextf.2 . . . 4 𝐵 = 𝐾
119, 10cnextfun 23320 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 837 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
13 cnextf.6 . . . . . 6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
1413eleq2d 2823 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑋𝐶))
1514biimpar 479 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
16 fvex 6842 . . . . . . 7 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
1716uniex 7660 . . . . . 6 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
1817snid 4613 . . . . 5 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)}
19 sneq 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2019fveq2d 6833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
2120oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
2221oveq2d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
2322fveq1d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2423breq1d 5106 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o))
2524imbi2d 341 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) ↔ (𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)))
263adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
289toptopon 22171 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
307adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
31 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
3213eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
3332biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
34 trnei 23148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
3534biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
375adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
3910hausflf2 23254 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
4140expcom 415 . . . . . . . 8 (𝑥𝐶 → (𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o))
4225, 41vtoclga 3525 . . . . . . 7 (𝑋𝐶 → (𝜑 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o))
4342impcom 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
44 en1b 8892 . . . . . 6 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
4543, 44sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
4618, 45eleqtrrid 2845 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
47 nfiu1 4979 . . . . . . . 8 𝑥 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
4847nfel2 2923 . . . . . . 7 𝑥𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
49 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑥(𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
5048, 49nfbi 1906 . . . . . 6 𝑥(⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
51 opeq1 4821 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ = ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩)
5251eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
53 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
5423eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ( ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
5553, 54anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
5652, 55bibi12d 346 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))) ↔ (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))))
57 opeliunxp 5689 . . . . . 6 (⟨𝑥, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
5850, 56, 57vtoclg1f 3516 . . . . 5 (𝑋𝐶 → (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
5958adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
6015, 46, 59mpbir2and 711 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
61 df-br 5097 . . . 4 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
62 haustop 22587 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
633, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
6463adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝐾 ∈ Top)
659, 10cnextfval 23318 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 837 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
6766eleq2d 2823 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
6861, 67bitrid 283 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ⟨𝑋, ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
6960, 68mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
70 funbrfv 6880 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
7112, 69, 70sylc 65 1 ((𝜑𝑋𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wss 3901  c0 4273  {csn 4577  cop 4583   cuni 4856   ciun 4945   class class class wbr 5096   × cxp 5622  Fun wfun 6477  wf 6479  cfv 6483  (class class class)co 7341  1oc1o 8364  cen 8805  t crest 17228  Topctop 22147  TopOnctopon 22164  clsccl 22274  neicnei 22353  Hauscha 22564  Filcfil 23101   fLimf cflf 23191  CnExtccnext 23315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-1o 8371  df-map 8692  df-pm 8693  df-en 8809  df-rest 17230  df-fbas 20699  df-top 22148  df-topon 22165  df-cld 22275  df-ntr 22276  df-cls 22277  df-nei 22354  df-haus 22571  df-fil 23102  df-flim 23195  df-flf 23196  df-cnext 23316
This theorem is referenced by:  cnextcn  23323  cnextfres1  23324
  Copyright terms: Public domain W3C validator