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Theorem cnextfvval 23576
Description: The value of the continuous extension of a given function 𝐹 at a point 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextf.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextf.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
cnextf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextf.6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
cnextf.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
cnextfvval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnextf.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
43adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
65adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
7 cnextf.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
87adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
9 cnextf.1 . . . 4 𝐢 = βˆͺ 𝐽
10 cnextf.2 . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐾
119, 10cnextfun 23575 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 837 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
13 cnextf.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
1413eleq2d 2819 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ 𝑋 ∈ 𝐢))
1514biimpar 478 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
16 fvex 6904 . . . . . . 7 ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ V
1716uniex 7733 . . . . . 6 βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ V
1817snid 4664 . . . . 5 βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)}
19 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
2019fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
2120oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))
2221oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴)))
2322fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2423breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
2524imbi2d 340 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)))
263adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
271adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
289toptopon 22426 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
307adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
3213eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ π‘₯ ∈ 𝐢))
3332biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
34 trnei 23403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
3534biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
375adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
3910hausflf2 23509 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
4140expcom 414 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
4225, 41vtoclga 3565 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o))
4342impcom 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
44 en1b 9025 . . . . . 6 (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)})
4543, 44sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)})
4618, 45eleqtrrid 2840 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
47 nfiu1 5031 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
4847nfel2 2921 . . . . . . 7 β„²π‘₯βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
49 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
5048, 49nfbi 1906 . . . . . 6 β„²π‘₯(βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
51 opeq1 4873 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ = βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩)
5251eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
53 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)))
5423eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
5553, 54anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
5652, 55bibi12d 345 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))) ↔ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))))
57 opeliunxp 5743 . . . . . 6 (⟨π‘₯, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
5850, 56, 57vtoclg1f 3555 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
5958adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6015, 46, 59mpbir2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
61 df-br 5149 . . . 4 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
62 haustop 22842 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
633, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
6463adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐾 ∈ Top)
659, 10cnextfval 23573 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
6766eleq2d 2819 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6861, 67bitrid 282 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ βŸ¨π‘‹, βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
6960, 68mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
70 funbrfv 6942 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
7112, 69, 70sylc 65 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   β‰ˆ cen 8938   β†Ύt crest 17368  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  clsccl 22529  neicnei 22608  Hauscha 22819  Filcfil 23356   fLimf cflf 23446  CnExtccnext 23570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-rest 17370  df-fbas 20947  df-top 22403  df-topon 22420  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-haus 22826  df-fil 23357  df-flim 23450  df-flf 23451  df-cnext 23571
This theorem is referenced by:  cnextcn  23578  cnextfres1  23579
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