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Theorem cnextfres1 23990
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextf.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextf.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
cnextf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextf.6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
cnextf.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
cnextcn.8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐢 = βˆͺ 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐡 = βˆͺ 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
6 cnextf.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
7 cnextf.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 23988 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ):𝐢⟢𝐡)
109ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢)
11 fnssres 6673 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6911 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
1514adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
166sselda 3972 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 23987 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
1816, 17syldan 589 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
195ffvelcdmda 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
20 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
211restuni 23084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
2827, 6ssexd 5319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
29 resttop 23082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 23253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡))
345, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
35 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
3635, 2cnnei 23204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3825, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
3938r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4024, 39syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4140r19.21bi 3239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
42 snssi 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
431neitr 23102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ {𝑦} βŠ† 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
4544rexeqdv 3316 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4645adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4741, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4847ralrimiva 3136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
494adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 22837 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
537adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
5416, 53eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
551toptopon 22837 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
563, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
5756adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
586adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
59 trnei 23814 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6154, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
625adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
63 flfnei 23913 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6519, 48, 64mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
66 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ 𝑦 ∈ 𝐢))
6766anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)))
68 sneq 4634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
6968fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
7069oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
7170oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)))
7271fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
7372neeq1d 2990 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ… ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…))
7467, 73imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)))
7574, 8chvarvv 1994 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
7616, 75syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
772hausflf2 23920 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
79 en1eqsn 9297 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8065, 78, 79syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8180unieqd 4916 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)})
82 fvex 6905 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
8382unisn 4924 . . . 4 βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)} = (πΉβ€˜π‘¦)
8481, 83eqtrdi 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = (πΉβ€˜π‘¦))
8515, 18, 843eqtrd 2769 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
8612, 13, 85eqfnfvd 7038 1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1oc1o 8478   β‰ˆ cen 8959   β†Ύt crest 17401  Topctop 22813  TopOnctopon 22830  clsccl 22940  neicnei 23019   Cn ccn 23146  Hauscha 23230  Regcreg 23231  Filcfil 23767   fLimf cflf 23857  CnExtccnext 23981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-1o 8485  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-fin 8966  df-fi 9434  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-cnext 23982
This theorem is referenced by:  rrhre  33679
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