MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres1 24092
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐶 = 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐵 = 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 cnextf.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 cnextf.6 . . . . 5 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 24090 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
109ffnd 6738 . . 3 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
11 fnssres 6692 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶𝐴𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6738 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6926 . . . 4 (𝑦𝐴 → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
1514adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
166sselda 3995 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐶)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 24089 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
1816, 17syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
195ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
211restuni 23186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 (𝐽t 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ V)
2827, 6ssexd 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
29 resttop 23184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 23355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
345, 33mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
35 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
3635, 2cnnei 23306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3825, 37mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
3938r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 (𝐽t 𝐴)) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4024, 39syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4140r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
42 snssi 4813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → {𝑦} ⊆ 𝐴)
431neitr 23204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶 ∧ {𝑦} ⊆ 𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1421 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
4544rexeqdv 3325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4741, 46mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4847ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
494adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 22939 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5150biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
537adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
5416, 53eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
551toptopon 22939 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
563, 55sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
586adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝐶)
59 trnei 23916 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑦𝐶) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6154, 60mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
625adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐹:𝐴𝐵)
63 flfnei 24015 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6519, 48, 64mpbir2and 713 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
66 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
6766anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑦𝐶)))
68 sneq 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
6968fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
7069oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
7170oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
7271fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
7372neeq1d 2998 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
7467, 73imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
7574, 8chvarvv 1996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
7616, 75syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
772hausflf2 24022 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
79 en1eqsn 9306 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8065, 78, 79syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8180unieqd 4925 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
82 fvex 6920 . . . . 5 (𝐹𝑦) ∈ V
8382unisn 4931 . . . 4 {(𝐹𝑦)} = (𝐹𝑦)
8481, 83eqtrdi 2791 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐹𝑦))
8515, 18, 843eqtrd 2779 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
8612, 13, 85eqfnfvd 7054 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1oc1o 8498  cen 8981  t crest 17467  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  clsccl 23042  neicnei 23121   Cn ccn 23248  Hauscha 23332  Regcreg 23333  Filcfil 23869   fLimf cflf 23959  CnExtccnext 24083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cnext 24084
This theorem is referenced by:  rrhre  33984
  Copyright terms: Public domain W3C validator