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Theorem cnextfres1 23571
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextf.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextf.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
cnextf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextf.6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
cnextf.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
cnextcn.8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐢 = βˆͺ 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐡 = βˆͺ 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
6 cnextf.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
7 cnextf.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 23569 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ):𝐢⟢𝐡)
109ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢)
11 fnssres 6673 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6910 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
1514adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
166sselda 3982 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 23568 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
1816, 17syldan 591 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
195ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
211restuni 22665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
2827, 6ssexd 5324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
29 resttop 22663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 22834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡))
345, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
3635, 2cnnei 22785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3825, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
3938r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4024, 39syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4140r19.21bi 3248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
42 snssi 4811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
431neitr 22683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ {𝑦} βŠ† 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1422 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
4544rexeqdv 3326 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4741, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4847ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
494adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 22418 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
537adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
5416, 53eleqtrrd 2836 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
551toptopon 22418 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
563, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
586adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
59 trnei 23395 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6154, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
625adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
63 flfnei 23494 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6519, 48, 64mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
66 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ 𝑦 ∈ 𝐢))
6766anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)))
68 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
6968fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
7069oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
7170oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)))
7271fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
7372neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ… ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…))
7467, 73imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)))
7574, 8chvarvv 2002 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
7616, 75syldan 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
772hausflf2 23501 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
79 en1eqsn 9273 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8065, 78, 79syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8180unieqd 4922 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)})
82 fvex 6904 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
8382unisn 4930 . . . 4 βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)} = (πΉβ€˜π‘¦)
8481, 83eqtrdi 2788 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = (πΉβ€˜π‘¦))
8515, 18, 843eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
8612, 13, 85eqfnfvd 7035 1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1oc1o 8458   β‰ˆ cen 8935   β†Ύt crest 17365  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  clsccl 22521  neicnei 22600   Cn ccn 22727  Hauscha 22811  Regcreg 22812  Filcfil 23348   fLimf cflf 23438  CnExtccnext 23562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-cnext 23563
This theorem is referenced by:  rrhre  32996
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