MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres1 23419
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐶 = 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐵 = 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 cnextf.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 cnextf.6 . . . . 5 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 23417 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
109ffnd 6669 . . 3 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
11 fnssres 6624 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶𝐴𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6669 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6861 . . . 4 (𝑦𝐴 → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
1514adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
166sselda 3944 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐶)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 23416 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
1816, 17syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
195ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
211restuni 22513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 (𝐽t 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ V)
2827, 6ssexd 5281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
29 resttop 22511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 22682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
345, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
3635, 2cnnei 22633 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3825, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
3938r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 (𝐽t 𝐴)) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4024, 39syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4140r19.21bi 3234 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
42 snssi 4768 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → {𝑦} ⊆ 𝐴)
431neitr 22531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶 ∧ {𝑦} ⊆ 𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1422 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
4544rexeqdv 3314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4741, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4847ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
494adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 22266 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
537adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
5416, 53eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
551toptopon 22266 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
563, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
586adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝐶)
59 trnei 23243 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑦𝐶) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6154, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐹:𝐴𝐵)
63 flfnei 23342 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6519, 48, 64mpbir2and 711 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
66 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
6766anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑦𝐶)))
68 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
6968fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
7069oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
7170oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
7271fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
7372neeq1d 3003 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
7467, 73imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
7574, 8chvarvv 2002 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
7616, 75syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
772hausflf2 23349 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
79 en1eqsn 9218 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8065, 78, 79syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8180unieqd 4879 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
82 fvex 6855 . . . . 5 (𝐹𝑦) ∈ V
8382unisn 4887 . . . 4 {(𝐹𝑦)} = (𝐹𝑦)
8481, 83eqtrdi 2792 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐹𝑦))
8515, 18, 843eqtrd 2780 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
8612, 13, 85eqfnfvd 6985 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  cres 5635  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1oc1o 8405  cen 8880  t crest 17302  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  clsccl 22369  neicnei 22448   Cn ccn 22575  Hauscha 22659  Regcreg 22660  Filcfil 23196   fLimf cflf 23286  CnExtccnext 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9347  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cnext 23411
This theorem is referenced by:  rrhre  32602
  Copyright terms: Public domain W3C validator