Theorem cnextfres1 24262

Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextf.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextf.2	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
cnextf.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
cnextf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
cnextf.6	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
cnextfres1	⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfres1

Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextf.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
2		cnextf.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
3		cnextf.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		cnextf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
5		cnextf.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		cnextf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
7		cnextf.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
8		cnextf.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cnextf 24260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶⟶𝐵)
10	9	ffnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
11		fnssres 6665	. . 3 ⊢ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
12	10, 6, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
13	5	ffnd 6713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
14		fvres 6907	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
15	14	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
16	6	sselda 3940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐶)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cnextfvval 24259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
18	16, 17	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
19	5	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
20		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
21	1	restuni 23356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
22	3, 6, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
24	20, 23	eleqtrd 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
25		cnextfres1.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
26		fvex 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∈ V
27	7, 26	eqeltrrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
28	27, 6	ssexd 5300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
29		resttop 23354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
30	3, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
31		haustop 23525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
32	4, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
33	22	feq2d 6696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵))
34	5, 33	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
35		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
36	35, 2	cnnei 23476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
37	30, 32, 34, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
38	25, 37	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
39	38	r19.21bi 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
40	24, 39	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
41	40	r19.21bi 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
42		snssi 4756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ⊆ 𝐴)
43	1	neitr 23374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ {𝑦} ⊆ 𝐴) → ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
44	3, 6, 42, 43	syl2an3an 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
45	44	rexeqdv 3327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
46	45	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
47	41, 46	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
48	47	ralrimiva 3160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
49	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Haus)
50	2	toptopon 23111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
51	50	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
52	49, 31, 51	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
53	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
54	16, 53	eleqtrrd 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
55	1	toptopon 23111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
56	3, 55	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
58	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
59		trnei 24086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
60	57, 58, 16, 59	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
61	54, 60	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
62	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
63		flfnei 24185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)))
64	52, 61, 62, 63	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)))
65	19, 48, 64	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
66		eleq1w 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
67	66	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
68		sneq 4604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
69	68	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
70	69	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
71	70	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
72	71	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
73	72	neeq1d 3020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
74	67, 73	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
75	74, 8	chvarvv 2022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
76	16, 75	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
77	2	hausflf2 24192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
78	49, 61, 62, 76, 77	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
79		en1eqsn 9245	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹‘𝑦)})
80	65, 78, 79	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹‘𝑦)})
81	80	unieqd 4890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ∪ {(𝐹‘𝑦)})
82		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
83	82	unisn 4896	. . . 4 ⊢ ∪ {(𝐹‘𝑦)} = (𝐹‘𝑦)
84	81, 83	eqtrdi 2817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐹‘𝑦))
85	15, 18, 84	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
86	12, 13, 85	eqfnfvd 7035	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114   ↾ cres 5668   “ cima 5669   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1_oc1o 8455   ≈ cen 8949   ↾_t crest 17498  Topctop 23087  TopOnctopon 23104  clsccl 23212  neicnei 23291   Cn ccn 23418  Hauscha 23502  Regcreg 23503  Filcfil 24039   fLimf cflf 24129  CnExtccnext 24253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-1o 8462  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-fin 8956  df-fi 9381  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-cnext 24254

This theorem is used by:  rrhre  34442