Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres1 22676
 Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐶 = 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐵 = 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 cnextf.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 cnextf.6 . . . . 5 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 22674 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
109ffnd 6492 . . 3 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
11 fnssres 6446 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶𝐴𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6492 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6668 . . . 4 (𝑦𝐴 → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
1514adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
166sselda 3918 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐶)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 22673 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
1816, 17syldan 594 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
195ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
20 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
211restuni 21770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 (𝐽t 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ V)
2827, 6ssexd 5195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
29 resttop 21768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 21939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
345, 33mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
35 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
3635, 2cnnei 21890 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3825, 37mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
3938r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 (𝐽t 𝐴)) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4024, 39syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4140r19.21bi 3176 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
42 snssi 4704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → {𝑦} ⊆ 𝐴)
431neitr 21788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶 ∧ {𝑦} ⊆ 𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
4544rexeqdv 3368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4645adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4741, 46mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4847ralrimiva 3152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
494adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 21525 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5150biimpi 219 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
537adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
5416, 53eleqtrrd 2896 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
551toptopon 21525 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
563, 55sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
5756adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
586adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝐶)
59 trnei 22500 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑦𝐶) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6154, 60mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
625adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐹:𝐴𝐵)
63 flfnei 22599 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6519, 48, 64mpbir2and 712 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
66 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
6766anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑦𝐶)))
68 sneq 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
6968fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
7069oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
7170oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
7271fveq1d 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
7372neeq1d 3049 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
7467, 73imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
7574, 8chvarvv 2005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
7616, 75syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
772hausflf2 22606 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
79 en1eqsn 8736 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8065, 78, 79syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8180unieqd 4817 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
82 fvex 6662 . . . . 5 (𝐹𝑦) ∈ V
8382unisn 4823 . . . 4 {(𝐹𝑦)} = (𝐹𝑦)
8481, 83eqtrdi 2852 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐹𝑦))
8515, 18, 843eqtrd 2840 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
8612, 13, 85eqfnfvd 6786 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033   ↾ cres 5525   “ cima 5526   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1oc1o 8082   ≈ cen 8493   ↾t crest 16689  Topctop 21501  TopOnctopon 21518  clsccl 21626  neicnei 21705   Cn ccn 21832  Hauscha 21916  Regcreg 21917  Filcfil 22453   fLimf cflf 22543  CnExtccnext 22667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-cnext 22668 This theorem is referenced by:  rrhre  31370
 Copyright terms: Public domain W3C validator