MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres1 23541
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐶 = 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐵 = 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 cnextf.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 cnextf.6 . . . . 5 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 23539 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
109ffnd 6708 . . 3 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
11 fnssres 6663 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶𝐴𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6708 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6900 . . . 4 (𝑦𝐴 → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
1514adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
166sselda 3980 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐶)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 23538 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
1816, 17syldan 592 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
195ffvelcdmda 7074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
211restuni 22635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 (𝐽t 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ V)
2827, 6ssexd 5320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
29 resttop 22633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 22804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
345, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
3635, 2cnnei 22755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3825, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
3938r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 (𝐽t 𝐴)) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4024, 39syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4140r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
42 snssi 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → {𝑦} ⊆ 𝐴)
431neitr 22653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶 ∧ {𝑦} ⊆ 𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1423 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
4544rexeqdv 3327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4645adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4741, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4847ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
494adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 22388 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
537adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
5416, 53eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
551toptopon 22388 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
563, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
5756adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
586adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝐶)
59 trnei 23365 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑦𝐶) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6154, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
625adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐹:𝐴𝐵)
63 flfnei 23464 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6519, 48, 64mpbir2and 712 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
66 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
6766anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑦𝐶)))
68 sneq 4634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
6968fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
7069oveq1d 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
7170oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
7271fveq1d 6883 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
7372neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
7467, 73imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
7574, 8chvarvv 2003 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
7616, 75syldan 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
772hausflf2 23471 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
79 en1eqsn 9262 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8065, 78, 79syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8180unieqd 4918 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
82 fvex 6894 . . . . 5 (𝐹𝑦) ∈ V
8382unisn 4926 . . . 4 {(𝐹𝑦)} = (𝐹𝑦)
8481, 83eqtrdi 2789 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐹𝑦))
8515, 18, 843eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
8612, 13, 85eqfnfvd 7024 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3946  c0 4320  {csn 4624   cuni 4904   class class class wbr 5144  cres 5674  cima 5675   Fn wfn 6530  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  1oc1o 8446  cen 8924  t crest 17353  Topctop 22364  TopOnctopon 22381  clsccl 22491  neicnei 22570   Cn ccn 22697  Hauscha 22781  Regcreg 22782  Filcfil 23318   fLimf cflf 23408  CnExtccnext 23532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-1o 8453  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-fin 8931  df-fi 9393  df-rest 17355  df-topgen 17376  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-top 22365  df-topon 22382  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-haus 22788  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-cnext 23533
This theorem is referenced by:  rrhre  32932
  Copyright terms: Public domain W3C validator