Theorem cnextfres1 23981

Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextf.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextf.2	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
cnextf.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
cnextf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
cnextf.6	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
cnextfres1	⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfres1

Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextf.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
2		cnextf.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
3		cnextf.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		cnextf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
5		cnextf.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		cnextf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
7		cnextf.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
8		cnextf.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cnextf 23979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶⟶𝐵)
10	9	ffnd 6652	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
11		fnssres 6604	. . 3 ⊢ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
12	10, 6, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
13	5	ffnd 6652	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
14		fvres 6841	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
16	6	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐶)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cnextfvval 23978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
18	16, 17	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
19	5	ffvelcdmda 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
21	1	restuni 23075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
22	3, 6, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
24	20, 23	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
25		cnextfres1.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
26		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∈ V
27	7, 26	eqeltrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
28	27, 6	ssexd 5262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
29		resttop 23073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
30	3, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
31		haustop 23244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
32	4, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
33	22	feq2d 6635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵))
34	5, 33	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
36	35, 2	cnnei 23195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
37	30, 32, 34, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
38	25, 37	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
39	38	r19.21bi 3224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
40	24, 39	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
41	40	r19.21bi 3224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
42		snssi 4760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ⊆ 𝐴)
43	1	neitr 23093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ {𝑦} ⊆ 𝐴) → ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
44	3, 6, 42, 43	syl2an3an 1424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
45	44	rexeqdv 3293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽 ↾t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
47	41, 46	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
48	47	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
49	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Haus)
50	2	toptopon 22830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
51	50	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
52	49, 31, 51	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
53	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
54	16, 53	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
55	1	toptopon 22830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
56	3, 55	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
58	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
59		trnei 23805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
60	57, 58, 16, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
61	54, 60	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
62	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
63		flfnei 23904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)))
64	52, 61, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹‘𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹 “ 𝑣) ⊆ 𝑤)))
65	19, 48, 64	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
66		eleq1w 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
67	66	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
68		sneq 4586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
69	68	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
70	69	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
71	70	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
72	71	fveq1d 6824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
73	72	neeq1d 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
74	67, 73	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
75	74, 8	chvarvv 1990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
76	16, 75	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
77	2	hausflf2 23911	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
78	49, 61, 62, 76, 77	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
79		en1eqsn 9159	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹‘𝑦)})
80	65, 78, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹‘𝑦)})
81	80	unieqd 4872	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ∪ {(𝐹‘𝑦)})
82		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
83	82	unisn 4878	. . . 4 ⊢ ∪ {(𝐹‘𝑦)} = (𝐹‘𝑦)
84	81, 83	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∪ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐹‘𝑦))
85	15, 18, 84	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
86	12, 13, 85	eqfnfvd 6967	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  ∪ cuni 4859   class class class wbr 5091   ↾ cres 5618   “ cima 5619   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378   ≈ cen 8866   ↾_t crest 17321  Topctop 22806  TopOnctopon 22823  clsccl 22931  neicnei 23010   Cn ccn 23137  Hauscha 23221  Regcreg 23222  Filcfil 23758   fLimf cflf 23848  CnExtccnext 23972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-rest 17323  df-topgen 17344  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-cnext 23973

This theorem is referenced by:  rrhre  34029