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Theorem cnextfres1 23927
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextf.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextf.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
cnextf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextf.6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
cnextf.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
cnextcn.8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐢 = βˆͺ 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐡 = βˆͺ 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
6 cnextf.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
7 cnextf.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 23925 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ):𝐢⟢𝐡)
109ffnd 6712 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢)
11 fnssres 6667 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6904 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
1514adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
166sselda 3977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 23924 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
1816, 17syldan 590 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
195ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
211restuni 23021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
2827, 6ssexd 5317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
29 resttop 23019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 23190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡))
345, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
3635, 2cnnei 23141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3825, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
3938r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4024, 39syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4140r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
42 snssi 4806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
431neitr 23039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ {𝑦} βŠ† 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
4544rexeqdv 3320 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4741, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4847ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
494adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 22774 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
537adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
5416, 53eleqtrrd 2830 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
551toptopon 22774 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
563, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
586adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
59 trnei 23751 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6154, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
625adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
63 flfnei 23850 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6519, 48, 64mpbir2and 710 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
66 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ 𝑦 ∈ 𝐢))
6766anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)))
68 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
6968fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
7069oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
7170oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)))
7271fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
7372neeq1d 2994 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ… ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…))
7467, 73imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)))
7574, 8chvarvv 1994 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
7616, 75syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
772hausflf2 23857 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
79 en1eqsn 9276 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8065, 78, 79syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8180unieqd 4915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)})
82 fvex 6898 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
8382unisn 4923 . . . 4 βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)} = (πΉβ€˜π‘¦)
8481, 83eqtrdi 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = (πΉβ€˜π‘¦))
8515, 18, 843eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
8612, 13, 85eqfnfvd 7029 1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1oc1o 8460   β‰ˆ cen 8938   β†Ύt crest 17375  Topctop 22750  TopOnctopon 22767  clsccl 22877  neicnei 22956   Cn ccn 23083  Hauscha 23167  Regcreg 23168  Filcfil 23704   fLimf cflf 23794  CnExtccnext 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-cnext 23919
This theorem is referenced by:  rrhre  33531
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