MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres1 23442
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextf.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextf.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
cnextf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextf.6 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
cnextf.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
cnextcn.8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐢 = βˆͺ 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐡 = βˆͺ 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
6 cnextf.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
7 cnextf.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 23440 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ):𝐢⟢𝐡)
109ffnd 6673 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢)
11 fnssres 6628 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) Fn 𝐢 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
1210, 6, 11syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
135ffnd 6673 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
14 fvres 6865 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
1514adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
166sselda 3948 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 23439 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
1816, 17syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
195ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
211restuni 22536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
223, 6, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2420, 23eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
25 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
26 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∈ V
277, 26eqeltrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
2827, 6ssexd 5285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
29 resttop 22534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
303, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
31 haustop 22705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
3322feq2d 6658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡))
345, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
3635, 2cnnei 22656 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
3825, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
3938r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4024, 39syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4140r19.21bi 3233 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
42 snssi 4772 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
431neitr 22554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ {𝑦} βŠ† 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
443, 6, 42, 43syl2an3an 1423 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦}) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
4544rexeqdv 3313 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4645adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜{𝑦})(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀))
4741, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
4847ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)
494adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
502toptopon 22289 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5249, 31, 513syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
537adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝐢)
5416, 53eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
551toptopon 22289 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
563, 55sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
5756adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
586adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
59 trnei 23266 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6057, 58, 16, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
6154, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
625adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
63 flfnei 23365 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6452, 61, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜{(πΉβ€˜π‘¦)})βˆƒπ‘£ ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)(𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑀)))
6519, 48, 64mpbir2and 712 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
66 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↔ 𝑦 ∈ 𝐢))
6766anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢)))
68 sneq 4600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
6968fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}))
7069oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))
7170oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴)))
7271fveq1d 6848 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
7372neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ… ↔ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…))
7467, 73imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)))
7574, 8chvarvv 2003 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
7616, 75syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
772hausflf2 23372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
7849, 61, 62, 76, 77syl31anc 1374 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o)
79 en1eqsn 9224 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) ∧ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰ˆ 1o) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8065, 78, 79syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = {(πΉβ€˜π‘¦)})
8180unieqd 4883 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)})
82 fvex 6859 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
8382unisn 4891 . . . 4 βˆͺ {(πΉβ€˜π‘¦)} = (πΉβ€˜π‘¦)
8481, 83eqtrdi 2789 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑦}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = (πΉβ€˜π‘¦))
8515, 18, 843eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
8612, 13, 85eqfnfvd 6989 1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   β‰ˆ cen 8886   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  clsccl 22392  neicnei 22471   Cn ccn 22598  Hauscha 22682  Regcreg 22683  Filcfil 23219   fLimf cflf 23309  CnExtccnext 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-cnext 23434
This theorem is referenced by:  rrhre  32666
  Copyright terms: Public domain W3C validator