Theorem trlord 40551

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane 𝑊) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlord.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlord.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlord.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlord.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlord.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlord.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlord	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑓)

Proof of Theorem trlord

Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlord.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		trlord.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simpl1l 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39345	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
7		trlord.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		trlord.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		trlord.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 7, 8, 9	trlcl 40146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
11	5, 6, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
12		simpl2l 1227	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simpl3l 1229	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)
15		simprll 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
16	1, 2, 4, 11, 12, 13, 14, 15	lattrd 18370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)
17	16	exp44 437	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑓 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌))))
18	17	ralrimdv 3127	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)))
19		simp11l 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
20	19	hllatd 39345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
21		simp2r 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝐴)
22		trlord.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
23	1, 22	atbase 39270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ 𝐵)
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝐵)
25		simp12l 1287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		simp11r 1286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐻)
27	1, 7	lhpbase 39980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐵)
29		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ≤ 𝑋)
30		simp12r 1288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑊)
31	1, 2, 20, 24, 25, 28, 29, 30	lattrd 18370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ≤ 𝑊)
32	31, 29	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → (𝑢 ≤ 𝑊 ∧ 𝑢 ≤ 𝑋))
33	32	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑢 ≤ 𝑋 → (𝑢 ≤ 𝑊 ∧ 𝑢 ≤ 𝑋)))
34		simp11 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35		simp2r 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → 𝑢 ∈ 𝐴)
36		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊)
37	2, 22, 7, 8, 9	cdlemf 40545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ≤ 𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
39		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌))
40		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑅‘𝑓) = (𝑅‘𝑔))
41	40	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 ↔ (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋))
42	40	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌 ↔ (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌))
43	41, 42	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ↔ ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌)))
44	43	rspccv 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → (𝑔 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌)))
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝑔 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌)))
46		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 ↔ 𝑢 ≤ 𝑋))
47		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌 ↔ 𝑢 ≤ 𝑌))
48	46, 47	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌) ↔ (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
49	48	biimpcd 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌) → ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
50	45, 49	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝑔 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))))
51	50	rexlimdv 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
52	38, 51	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))
53	52	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑢 ≤ 𝑊 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
54	53	impd 410	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → ((𝑢 ≤ 𝑊 ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ≤ 𝑌))
55	33, 54	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))
56	55	exp32 420	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))))
57	56	ralrimdv 3127	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
58		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
59		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
61	1, 2, 22	hlatle 39380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
63	57, 62	sylibrd 259	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌))
64	18, 63	impbid 212	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  lecple 17186  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083  trLctrl 40140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-riotaBAD 38934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-undef 8213  df-map 8762  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141

This theorem is referenced by:  diaord  41029  dihord2pre  41207