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Theorem trlord 39951
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane π‘Š) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
trlord.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlord.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlord.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlord.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlord.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlord (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑓   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑓)

Proof of Theorem trlord
Dummy variables 𝑔 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 trlord.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38745 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl1 1188 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simprlr 777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
7 trlord.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 trlord.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 trlord.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
101, 7, 8, 9trlcl 39546 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
115, 6, 10syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
12 simpl2l 1223 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simpl3l 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 simprr 770 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
15 simprll 776 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
161, 2, 4, 11, 12, 13, 14, 15lattrd 18409 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)
1716exp44 437 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ))))
1817ralrimdv 3146 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)))
19 simp11l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 38745 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21 simp2r 1197 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
22 trlord.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
231, 22atbase 38670 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
2421, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
25 simp12l 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
26 simp11r 1282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
271, 7lhpbase 39380 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
29 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ≀ 𝑋)
30 simp12r 1284 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
311, 2, 20, 24, 25, 28, 29, 30lattrd 18409 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š)
3231, 29jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ∧ 𝑒 ≀ 𝑋))
33323expia 1118 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ∧ 𝑒 ≀ 𝑋)))
34 simp11 1200 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
35 simp2r 1197 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
36 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š)
372, 22, 7, 8, 9cdlemf 39945 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒)
3834, 35, 36, 37syl12anc 834 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒)
39 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ))
40 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 β†’ (π‘…β€˜π‘“) = (π‘…β€˜π‘”))
4140breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ↔ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋))
4240breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ ↔ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ))
4341, 42imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 β†’ (((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ↔ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ)))
4443rspccv 3603 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ)))
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ)))
46 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ↔ 𝑒 ≀ 𝑋))
47 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ ↔ 𝑒 ≀ π‘Œ))
4846, 47imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
4948biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ) β†’ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
5045, 49syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))))
5150rexlimdv 3147 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
5238, 51mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))
53523expia 1118 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 ≀ π‘Š β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
5453impd 410 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ≀ π‘Š ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))
5533, 54syld 47 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))
5655exp32 420 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))))
5756ralrimdv 3146 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
58 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
59 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
611, 2, 22hlatle 38780 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
6357, 62sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
6418, 63impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LHypclh 39366  LTrncltrn 39483  trLctrl 39540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541
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