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Theorem trlord 40042
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane π‘Š) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
trlord.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlord.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlord.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlord.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlord.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlord (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑓   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑓)

Proof of Theorem trlord
Dummy variables 𝑔 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 trlord.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simpl1l 1222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38836 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl1 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simprlr 779 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
7 trlord.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 trlord.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 trlord.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
101, 7, 8, 9trlcl 39637 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
115, 6, 10syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
12 simpl2l 1224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simpl3l 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 simprr 772 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
15 simprll 778 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
161, 2, 4, 11, 12, 13, 14, 15lattrd 18438 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)
1716exp44 437 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ))))
1817ralrimdv 3149 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)))
19 simp11l 1282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 38836 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21 simp2r 1198 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
22 trlord.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
231, 22atbase 38761 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
2421, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
25 simp12l 1284 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
26 simp11r 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
271, 7lhpbase 39471 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
29 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ≀ 𝑋)
30 simp12r 1285 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
311, 2, 20, 24, 25, 28, 29, 30lattrd 18438 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š)
3231, 29jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ∧ 𝑒 ≀ 𝑋))
33323expia 1119 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ∧ 𝑒 ≀ 𝑋)))
34 simp11 1201 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
35 simp2r 1198 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
36 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š)
372, 22, 7, 8, 9cdlemf 40036 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒)
3834, 35, 36, 37syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒)
39 simp2l 1197 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ))
40 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 β†’ (π‘…β€˜π‘“) = (π‘…β€˜π‘”))
4140breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ↔ (π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋))
4240breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ ↔ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ))
4341, 42imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 β†’ (((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ↔ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ)))
4443rspccv 3606 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ)))
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ)))
46 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ↔ 𝑒 ≀ 𝑋))
47 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ ↔ 𝑒 ≀ π‘Œ))
4846, 47imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
4948biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (((π‘…β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘”) ≀ π‘Œ) β†’ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
5045, 49syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))))
5150rexlimdv 3150 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 (π‘…β€˜π‘”) = 𝑒 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
5238, 51mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))
53523expia 1119 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 ≀ π‘Š β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
5453impd 410 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ≀ π‘Š ∧ 𝑒 ≀ 𝑋) β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))
5533, 54syld 47 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))
5655exp32 420 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ))))
5756ralrimdv 3149 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
58 simp1l 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
59 simp2l 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 simp3l 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
611, 2, 22hlatle 38871 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ 𝑋 β†’ 𝑒 ≀ π‘Œ)))
6357, 62sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
6418, 63impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  trLctrl 39631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632
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