Theorem trlord 38583

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane 𝑊) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlord.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlord.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlord.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlord.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlord.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlord.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlord	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑓)

Proof of Theorem trlord

Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlord.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		trlord.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simpl1l 1223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 37378	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simprlr 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
7		trlord.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		trlord.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		trlord.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 7, 8, 9	trlcl 38178	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
11	5, 6, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝑅‘𝑓) ∈ 𝐵)
12		simpl2l 1225	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simpl3l 1227	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)
15		simprll 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
16	1, 2, 4, 11, 12, 13, 14, 15	lattrd 18164	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋)) → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)
17	16	exp44 438	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑓 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌))))
18	17	ralrimdv 3105	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)))
19		simp11l 1283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
20	19	hllatd 37378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
21		simp2r 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝐴)
22		trlord.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
23	1, 22	atbase 37303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ 𝐵)
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝐵)
25		simp12l 1285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		simp11r 1284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐻)
27	1, 7	lhpbase 38012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐵)
29		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ≤ 𝑋)
30		simp12r 1286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑊)
31	1, 2, 20, 24, 25, 28, 29, 30	lattrd 18164	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ≤ 𝑊)
32	31, 29	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → (𝑢 ≤ 𝑊 ∧ 𝑢 ≤ 𝑋))
33	32	3expia 1120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑢 ≤ 𝑋 → (𝑢 ≤ 𝑊 ∧ 𝑢 ≤ 𝑋)))
34		simp11 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35		simp2r 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → 𝑢 ∈ 𝐴)
36		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊)
37	2, 22, 7, 8, 9	cdlemf 38577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ≤ 𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑔) = 𝑢)
39		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌))
40		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑅‘𝑓) = (𝑅‘𝑔))
41	40	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 ↔ (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋))
42	40	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌 ↔ (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌))
43	41, 42	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ↔ ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌)))
44	43	rspccv 3558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → (𝑔 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌)))
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝑔 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌)))
46		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 ↔ 𝑢 ≤ 𝑋))
47		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → ((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌 ↔ 𝑢 ≤ 𝑌))
48	46, 47	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌) ↔ (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
49	48	biimpcd 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅‘𝑔) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑔) ≤ 𝑌) → ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
50	45, 49	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝑔 ∈ 𝑇 → ((𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))))
51	50	rexlimdv 3212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 (𝑅‘𝑔) = 𝑢 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
52	38, 51	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≤ 𝑊) → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))
53	52	3expia 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑢 ≤ 𝑊 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
54	53	impd 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → ((𝑢 ≤ 𝑊 ∧ 𝑢 ≤ 𝑋) → 𝑢 ≤ 𝑌))
55	33, 54	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))
56	55	exp32 421	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌))))
57	56	ralrimdv 3105	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
58		simp1l 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
59		simp2l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60		simp3l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
61	1, 2, 22	hlatle 37412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ 𝑋 → 𝑢 ≤ 𝑌)))
63	57, 62	sylibrd 258	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌))
64	18, 63	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋 → (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  diaord  39061  dihord2pre  39239