Theorem ovn0val 42826

Description: The Lebesgue outer measure (for the zero dimensional space of reals) of every subset is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovn0val.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))

Assertion

Ref	Expression
ovn0val	⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovn0val

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 8740	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
3		ovn0val.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
5	2, 3, 4	ovnval2 42821	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )))
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
7		iftrue 4472	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
10	5, 9	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ifcif 4466  ∪ ciun 4911   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547   ∘ ccom 5553  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  Xcixp 8455  Fincfn 8503  infcinf 8899  ℝcr 10530  0cc0 10531  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669  ℕcn 11632  [,)cico 12734  ∏cprod 15253  volcvol 24058  Σ^{^}csumge0 42638  voln*covoln 42812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-mulcl 10593  ax-i2m1 10599  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-seq 13364  df-prod 15254  df-ovoln 42813

This theorem is referenced by:  ovnssle  42837  ovn02  42844  ovnsubadd  42848  ovnhoi  42879  ovnlecvr2  42886  von0val  42947