Theorem ovn0val 47124

Description: The Lebesgue outer measure (for the zero dimensional space of reals) of every subset is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovn0val.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))

Assertion

Ref	Expression
ovn0val	⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovn0val

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9023	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
3		ovn0val.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
5	2, 3, 4	ovnval2 47119	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
7		iftrue 4486	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
10	5, 9	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4480  ∪ ciun 4949   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Xcixp 8879  Fincfn 8927  infcinf 9387  ℝcr 11072  0cc0 11073  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216  ℕcn 12210  [,)cico 13351  ∏cprod 15933  volcvol 25525  Σ^{^}csumge0 46936  voln*covoln 47110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-mulcl 11135  ax-i2m1 11141  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-seq 14015  df-prod 15934  df-ovoln 47111

This theorem is referenced by:  ovnssle  47135  ovn02  47142  ovnsubadd  47146  ovnhoi  47177  ovnlecvr2  47184  von0val  47245