Theorem ovn0val 46521

Description: The Lebesgue outer measure (for the zero dimensional space of reals) of every subset is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovn0val.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))

Assertion

Ref	Expression
ovn0val	⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovn0val

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8990	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
3		ovn0val.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
5	2, 3, 4	ovnval2 46516	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )))
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
7		iftrue 4490	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m ∅) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
10	5, 9	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4484  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Xcixp 8847  Fincfn 8895  infcinf 9368  ℝcr 11043  0cc0 11044  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184  ℕcn 12162  [,)cico 13284  ∏cprod 15845  volcvol 25340  Σ^{^}csumge0 46333  voln*covoln 46507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-mulcl 11106  ax-i2m1 11112  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-seq 13943  df-prod 15846  df-ovoln 46508

This theorem is referenced by:  ovnssle  46532  ovn02  46539  ovnsubadd  46543  ovnhoi  46574  ovnlecvr2  46581  von0val  46642