Theorem hsmexlem7 10411

Description: Lemma for hsmex 10420. Properties of the recurrent sequence of ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hsmexlem7.h	⊢ 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem7	⊢ (𝐻‘∅) = (har‘𝒫 𝑋)

Distinct variable group:   𝑧,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑧)

Proof of Theorem hsmexlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsmexlem7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)
2	1	fveq1i 6882	. 2 ⊢ (𝐻‘∅) = ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)‘∅)
3		fvex 6894	. . 3 ⊢ (har‘𝒫 𝑋) ∈ V
4		fr0g 8419	. . 3 ⊢ ((har‘𝒫 𝑋) ∈ V → ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = (har‘𝒫 𝑋))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (har‘𝒫 (𝑋 × 𝑧))), (har‘𝒫 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = (har‘𝒫 𝑋)
6	2, 5	eqtri 2786	1 ⊢ (𝐻‘∅) = (har‘𝒫 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  ωcom 7858  reccrdg 8392  harchar 9514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393

This theorem is used by:  hsmexlem9  10413  hsmexlem4  10417