MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmexlem8 10422
Description: Lemma for hsmex 10430. Properties of the recurrent sequence of ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hsmexlem7.h 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
hsmexlem8 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜suc π‘Ž) = (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)

Proof of Theorem hsmexlem8
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . 2 (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž))) ∈ V
2 hsmexlem7.h . . 3 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
3 xpeq2 5697 . . . . 5 (𝑏 = 𝑧 β†’ (𝑋 Γ— 𝑏) = (𝑋 Γ— 𝑧))
43pweqd 4619 . . . 4 (𝑏 = 𝑧 β†’ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑏) = 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑧))
54fveq2d 6895 . . 3 (𝑏 = 𝑧 β†’ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑏)) = (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧)))
6 xpeq2 5697 . . . . 5 (𝑏 = (π»β€˜π‘Ž) β†’ (𝑋 Γ— 𝑏) = (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž)))
76pweqd 4619 . . . 4 (𝑏 = (π»β€˜π‘Ž) β†’ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑏) = 𝒫 (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž)))
87fveq2d 6895 . . 3 (𝑏 = (π»β€˜π‘Ž) β†’ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑏)) = (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž))))
92, 5, 8frsucmpt2 8443 . 2 ((π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž))) ∈ V) β†’ (π»β€˜suc π‘Ž) = (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž))))
101, 9mpan2 688 1 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜suc π‘Ž) = (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— (π»β€˜π‘Ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  π’« cpw 4602   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  suc csuc 6366  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7858  reccrdg 8412  harchar 9554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413
This theorem is referenced by:  hsmexlem9  10423  hsmexlem4  10427
  Copyright terms: Public domain W3C validator