Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccintsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccintsng 44971
Description: Intersection of two adiacent closed intervals is a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iccintsng (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})

Proof of Theorem iccintsng
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 iccleub 13411 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥𝐵)
6 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
8 iccgelb 13412 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵𝑥)
92, 6, 7, 8syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵𝑥)
10 eliccxr 13444 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
113, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1211, 2jca 510 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
13 xrletri3 13165 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥𝐵𝐵𝑥)))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥𝐵𝐵𝑥)))
155, 9, 14mpbir2and 711 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 = 𝐵)
1615ex 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 = 𝐵))
1716adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 = 𝐵))
18 simpll1 1209 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19 simpll2 1210 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
21 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
22 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
23 ubicc2 13474 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2618, 19, 20, 21, 25syl31anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27 simpll3 1211 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
28 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝐶)
29 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
30 lbicc2 13473 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
3130adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
3229, 31eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
3319, 27, 28, 21, 32syl31anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
3426, 33jca 510 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)))
3534ex 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))))
3617, 35impbid 211 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
37 elin 3955 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)))
38 velsn 4640 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
3936, 37, 383bitr4g 313 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
4039eqrdv 2723 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3938  {csn 4624   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  *cxr 11277  cle 11279  [,]cicc 13359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-icc 13363
This theorem is referenced by:  iblspltprt  45424
  Copyright terms: Public domain W3C validator