Theorem iccintsng 43751

Description: Intersection of two adiacent closed intervals is a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iccintsng	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})

Proof of Theorem iccintsng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		iccleub 13319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
6		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
8		iccgelb 13320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
10		eliccxr 13352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	11, 2	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
13		xrletri3 13073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
15	5, 9, 14	mpbir2and 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 = 𝐵)
16	15	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 = 𝐵))
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 = 𝐵))
18		simpll1 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		simpll2 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
22		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
23		ubicc2 13382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	22, 24	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26	18, 19, 20, 21, 25	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27		simpll3 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
28		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐶)
29		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
30		lbicc2 13381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
32	29, 31	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
33	19, 27, 28, 21, 32	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
34	26, 33	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)))
35	34	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))))
36	17, 35	impbid 211	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
37		elin 3926	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)))
38		velsn 4602	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
39	36, 37, 38	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
40	39	eqrdv 2734	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3909  {csn 4586   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℝ^*cxr 11188   ≤ cle 11190  [,]cicc 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-icc 13271

This theorem is referenced by:  iblspltprt  44204