Theorem iooshift 45764

Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooshift.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooshift.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooshift.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iooshift	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iooshift

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2	1	rexbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
3	2	elrab 3646	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
6		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7		nfre1 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
8	6, 7	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
9	5, 8	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
11		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12		iooshift.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		iooshift.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
17		iooshift.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17, 13	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
21		ioossre 13323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
24	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
25	23, 24	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
26	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31		ioogtlb 45737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
33	26, 23, 24, 32	ltadd1dd 11748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
34		iooltub 45752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
35	27, 29, 30, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
36	23, 28, 24, 35	ltadd1dd 11748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) < (𝐵 + 𝑇))
37	16, 20, 25, 33, 36	eliood 45740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
38	37	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
39	11, 38	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
40	39	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
42	9, 10, 41	rexlimd 3243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
43	4, 42	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
44	3, 43	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
45		elioore 13291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	12	rexrd 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
50	17	rexrd 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53	46, 52	resubcld 11565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ ℝ)
54	12	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
55	13	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
56	54, 55	pncand 11493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
57	56	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
59	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
60	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
61	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
62		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
63		ioogtlb 45737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
65	59, 46, 52, 64	ltsub1dd 11749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) < (𝑥 − 𝑇))
66	58, 65	eqbrtrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 < (𝑥 − 𝑇))
67	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
68		iooltub 45752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
69	60, 61, 62, 68	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
70	46, 67, 52, 69	ltsub1dd 11749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
71	17	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
72	71, 55	pncand 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
73	72	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
74	70, 73	breqtrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < 𝐵)
75	49, 51, 53, 66, 74	eliood 45740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵))
76	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
77	47, 76	npcand 11496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
78	77	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
79		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
80	79	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
81	75, 78, 80	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
82	47, 81, 3	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
83	44, 82	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
84	83	eqrdv 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
85	84	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {crab 3399   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   + caddc 11029  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   − cmin 11364  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  46132  fourierdlem48  46394  fourierdlem49  46395  fourierdlem89  46435  fourierdlem91  46437  fourierdlem92  46438