Theorem iooshift 46279

Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooshift.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooshift.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooshift.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iooshift	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iooshift

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2	1	rexbidv 3192	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
3	2	elrab 3653	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
6		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7		nfre1 3293	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
8	6, 7	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
9	5, 8	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
11		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12		iooshift.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		iooshift.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
17		iooshift.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17, 13	readdcld 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
21		ioossre 13452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
24	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
25	23, 24	readdcld 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
26	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31		ioogtlb 46252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
33	26, 23, 24, 32	ltadd1dd 11843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
34		iooltub 46267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
35	27, 29, 30, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
36	23, 28, 24, 35	ltadd1dd 11843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) < (𝐵 + 𝑇))
37	16, 20, 25, 33, 36	eliood 46255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
38	37	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
39	11, 38	eqeltrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
40	39	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
41	40	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
42	9, 10, 41	rexlimd 3275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
43	4, 42	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
44	3, 43	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
45		elioore 13420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	12	rexrd 11277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
50	17	rexrd 11277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53	46, 52	resubcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ ℝ)
54	12	recnd 11255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
55	13	recnd 11255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
56	54, 55	pncand 11588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
57	56	eqcomd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
59	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
60	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
61	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
62		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
63		ioogtlb 46252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
65	59, 46, 52, 64	ltsub1dd 11844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) < (𝑥 − 𝑇))
66	58, 65	eqbrtrd 5138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 < (𝑥 − 𝑇))
67	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
68		iooltub 46267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
69	60, 61, 62, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
70	46, 67, 52, 69	ltsub1dd 11844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
71	17	recnd 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
72	71, 55	pncand 11588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
73	72	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
74	70, 73	breqtrd 5142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < 𝐵)
75	49, 51, 53, 66, 74	eliood 46255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵))
76	55	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
77	47, 76	npcand 11591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
78	77	eqcomd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
79		oveq1 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
80	79	rspceeqv 3607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
81	75, 78, 80	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
82	47, 81, 3	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
83	44, 82	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
84	83	eqrdv 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
85	84	eqcomd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  {crab 3419   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117   + caddc 11121  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   − cmin 11459  (,)cioo 13390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-ioo 13394

This theorem is used by:  cncfshiftioo  46647  fourierdlem48  46909  fourierdlem49  46910  fourierdlem89  46950  fourierdlem91  46952  fourierdlem92  46953