Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooshift 43750
Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iooshift.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iooshift.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iooshift.3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooshift (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iooshift
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
21rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
32elrab 3645 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑧𝜑
6 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7 nfre1 3268 . . . . . . . . 9 𝑧𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
86, 7nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
95, 8nfan 1902 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
11 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12 iooshift.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 iooshift.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1514rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
17 iooshift.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1817, 13readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
1918rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
21 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
2322sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
2413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
2523, 24readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
2612adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2928rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
3227, 29, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
3326, 23, 24, 32ltadd1dd 11766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
34 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
3527, 29, 30, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
3623, 28, 24, 35ltadd1dd 11766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) < (𝐵 + 𝑇))
3716, 20, 25, 33, 36eliood 43726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
38373adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
3911, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
40393exp 1119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
429, 10, 41rexlimd 3249 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
434, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
443, 43sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
45 elioore 13294 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4645adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
4812rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5017rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5213adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
5346, 52resubcld 11583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
5412recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5513recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5654, 55pncand 11513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
5756eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5914adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
6015adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
6119adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
62 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
63 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
6559, 46, 52, 64ltsub1dd 11767 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) < (𝑥𝑇))
6658, 65eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 < (𝑥𝑇))
6718adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
68 iooltub 43738 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
6960, 61, 62, 68syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
7046, 67, 52, 69ltsub1dd 11767 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) < ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
7117recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7271, 55pncand 11513 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7372adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7470, 73breqtrd 5131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) < 𝐵)
7549, 51, 53, 66, 74eliood 43726 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵))
7655adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
7747, 76npcand 11516 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
7877eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
79 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
8079rspceeqv 3595 . . . . . 6 (((𝑥𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
8175, 78, 80syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
8247, 81, 3sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
8344, 82impbida 799 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
8483eqrdv 2734 . 2 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
8584eqcomd 2742 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cmin 11385  (,)cioo 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-ioo 13268
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  44123  fourierdlem48  44385  fourierdlem49  44386  fourierdlem89  44426  fourierdlem91  44428  fourierdlem92  44429
  Copyright terms: Public domain W3C validator