Theorem iooshift 44954

Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooshift.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooshift.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooshift.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iooshift	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iooshift

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2	1	rexbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
3	2	elrab 3684	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
6		nfv 1909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7		nfre1 3280	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
8	6, 7	nfan 1894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
9	5, 8	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
11		simp3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12		iooshift.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		iooshift.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
16	15	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
17		iooshift.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17, 13	readdcld 11283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
21		ioossre 13427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
24	13	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
25	23, 24	readdcld 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
26	12	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	17	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31		ioogtlb 44927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
33	26, 23, 24, 32	ltadd1dd 11865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
34		iooltub 44942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
35	27, 29, 30, 34	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
36	23, 28, 24, 35	ltadd1dd 11865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) < (𝐵 + 𝑇))
37	16, 20, 25, 33, 36	eliood 44930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
38	37	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
39	11, 38	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
40	39	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
41	40	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
42	9, 10, 41	rexlimd 3261	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
43	4, 42	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
44	3, 43	sylan2b 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
45		elioore 13396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	recnd 11282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	12	rexrd 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	48	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
50	17	rexrd 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	13	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53	46, 52	resubcld 11682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ ℝ)
54	12	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
55	13	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
56	54, 55	pncand 11612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
57	56	eqcomd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
58	57	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
59	14	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
60	15	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
61	19	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
62		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
63		ioogtlb 44927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
65	59, 46, 52, 64	ltsub1dd 11866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) < (𝑥 − 𝑇))
66	58, 65	eqbrtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 < (𝑥 − 𝑇))
67	18	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
68		iooltub 44942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
69	60, 61, 62, 68	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
70	46, 67, 52, 69	ltsub1dd 11866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
71	17	recnd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
72	71, 55	pncand 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
73	72	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
74	70, 73	breqtrd 5178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < 𝐵)
75	49, 51, 53, 66, 74	eliood 44930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵))
76	55	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
77	47, 76	npcand 11615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
78	77	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
79		oveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
80	79	rspceeqv 3633	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
81	75, 78, 80	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
82	47, 81, 3	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
83	44, 82	impbida 799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
84	83	eqrdv 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
85	84	eqcomd 2734	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  {crab 3430   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  ℝcr 11147   + caddc 11151  ℝ^*cxr 11287   < clt 11288   − cmin 11484  (,)cioo 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-ioo 13370

This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  45327  fourierdlem48  45589  fourierdlem49  45590  fourierdlem89  45630  fourierdlem91  45632  fourierdlem92  45633