Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooshift 42243
 Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iooshift.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iooshift.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iooshift.3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooshift (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iooshift
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2802 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
21rexbidv 3256 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
32elrab 3629 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑧𝜑
6 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7 nfre1 3265 . . . . . . . . 9 𝑧𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
86, 7nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
95, 8nfan 1900 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
11 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12 iooshift.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 iooshift.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 10674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1514rexrd 10695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
1615adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
17 iooshift.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1817, 13readdcld 10674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
1918rexrd 10695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
2019adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
21 ioossre 12803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
2322sselda 3916 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
2413adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
2523, 24readdcld 10674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
2612adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726rexrd 10695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2928rexrd 10695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31 ioogtlb 42216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
3227, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
3326, 23, 24, 32ltadd1dd 11255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
34 iooltub 42231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
3527, 29, 30, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
3623, 28, 24, 35ltadd1dd 11255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) < (𝐵 + 𝑇))
3716, 20, 25, 33, 36eliood 42219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
38373adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
3911, 38eqeltrd 2890 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
40393exp 1116 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
4140adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
429, 10, 41rexlimd 3276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
434, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
443, 43sylan2b 596 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
45 elioore 12773 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4645adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746recnd 10673 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
4812rexrd 10695 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4948adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5017rexrd 10695 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5213adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
5346, 52resubcld 11072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
5412recnd 10673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5513recnd 10673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5654, 55pncand 11002 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
5756eqcomd 2804 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5857adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5914adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
6015adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
6119adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
62 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
63 ioogtlb 42216 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
6559, 46, 52, 64ltsub1dd 11256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) < (𝑥𝑇))
6658, 65eqbrtrd 5055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 < (𝑥𝑇))
6718adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
68 iooltub 42231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
6960, 61, 62, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
7046, 67, 52, 69ltsub1dd 11256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) < ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
7117recnd 10673 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7271, 55pncand 11002 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7372adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7470, 73breqtrd 5059 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) < 𝐵)
7549, 51, 53, 66, 74eliood 42219 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵))
7655adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
7747, 76npcand 11005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
7877eqcomd 2804 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
79 oveq1 7149 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
8079rspceeqv 3586 . . . . . 6 (((𝑥𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
8175, 78, 80syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
8247, 81, 3sylanbrc 586 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
8344, 82impbida 800 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
8483eqrdv 2796 . 2 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
8584eqcomd 2804 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3882   class class class wbr 5033  (class class class)co 7142  ℂcc 10539  ℝcr 10540   + caddc 10544  ℝ*cxr 10678   < clt 10679   − cmin 10874  (,)cioo 12743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5441  df-so 5442  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-ioo 12747 This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  42618  fourierdlem48  42880  fourierdlem49  42881  fourierdlem89  42921  fourierdlem91  42923  fourierdlem92  42924
 Copyright terms: Public domain W3C validator