Theorem iooshift 45952

Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooshift.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooshift.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooshift.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iooshift	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iooshift

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2	1	rexbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
3	2	elrab 3634	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
6		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7		nfre1 3262	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
8	6, 7	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
9	5, 8	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
11		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12		iooshift.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		iooshift.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
17		iooshift.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17, 13	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
21		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
24	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
25	23, 24	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
26	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31		ioogtlb 45925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
33	26, 23, 24, 32	ltadd1dd 11761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
34		iooltub 45940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
35	27, 29, 30, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
36	23, 28, 24, 35	ltadd1dd 11761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) < (𝐵 + 𝑇))
37	16, 20, 25, 33, 36	eliood 45928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
38	37	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
39	11, 38	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
40	39	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
42	9, 10, 41	rexlimd 3244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
43	4, 42	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
44	3, 43	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
45		elioore 13328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	46	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	12	rexrd 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
50	17	rexrd 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53	46, 52	resubcld 11578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ ℝ)
54	12	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
55	13	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
56	54, 55	pncand 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
57	56	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
59	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
60	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
61	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
62		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
63		ioogtlb 45925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
65	59, 46, 52, 64	ltsub1dd 11762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) < (𝑥 − 𝑇))
66	58, 65	eqbrtrd 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 < (𝑥 − 𝑇))
67	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
68		iooltub 45940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
69	60, 61, 62, 68	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
70	46, 67, 52, 69	ltsub1dd 11762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
71	17	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
72	71, 55	pncand 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
73	72	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
74	70, 73	breqtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) < 𝐵)
75	49, 51, 53, 66, 74	eliood 45928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵))
76	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
77	47, 76	npcand 11509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
78	77	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
79		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
80	79	rspceeqv 3587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
81	75, 78, 80	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
82	47, 81, 3	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
83	44, 82	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
84	83	eqrdv 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
85	84	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   − cmin 11377  (,)cioo 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-ioo 13302

This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  46320  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem89  46623  fourierdlem91  46625  fourierdlem92  46626