Theorem symgga 19476

Description: The symmetric group induces a group action on its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgga.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑋)
symgga.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgga.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
symgga	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem symgga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgga.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑋)
2	1	symggrp 19469	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		symgga.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	idghm 19300	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
5		symgga.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥))
6		fvresi 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑓) = 𝑓)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑓) = 𝑓)
8	7	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑓)‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
9	8	mpoeq3ia 7489	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((( I ↾ 𝐵)‘𝑓)‘𝑥)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥))
10	5, 9	eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((( I ↾ 𝐵)‘𝑓)‘𝑥))
11	3, 1, 10	lactghmga 19474	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
12	2, 4, 11	3syl 19	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   I cid 5556   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17268  Grpcgrp 18999   GrpHom cghm 19282   GrpAct cga 19358  SymGrpcsymg 19438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-tset 17328  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-efmnd 18927  df-grp 19002  df-ghm 19283  df-ga 19359  df-symg 19439

This theorem is referenced by: (None)