Theorem symgga 19286

Description: The symmetric group induces a group action on its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgga.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑋)
symgga.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgga.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
symgga	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem symgga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgga.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑋)
2	1	symggrp 19279	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		symgga.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	idghm 19110	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
5		symgga.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥))
6		fvresi 7109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑓) = 𝑓)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑓) = 𝑓)
8	7	fveq1d 6824	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑓)‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
9	8	mpoeq3ia 7427	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((( I ↾ 𝐵)‘𝑓)‘𝑥)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥))
10	5, 9	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((( I ↾ 𝐵)‘𝑓)‘𝑥))
11	3, 1, 10	lactghmga 19284	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
12	2, 4, 11	3syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5513   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  Basecbs 17120  Grpcgrp 18812   GrpHom cghm 19091   GrpAct cga 19168  SymGrpcsymg 19248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-efmnd 18743  df-grp 18815  df-ghm 19092  df-ga 19169  df-symg 19249

This theorem is referenced by: (None)