Theorem inf3lemb 9526

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9536 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemb	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
2	1	fveq1i 6832	. 2 ⊢ (𝐹‘∅) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅)
3		0ex 5249	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		fr0g 8364	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
6	2, 5	eqtri 2756	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5176   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  ωcom 7805  reccrdg 8337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338

This theorem is referenced by:  inf3lemd  9528  inf3lem1  9529  inf3lem2  9530