MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lemb 9560
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9570 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lemb (𝐹‘∅) = ∅
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemb
StepHypRef Expression
1 inf3lem.2 . . 3 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
21fveq1i 6843 . 2 (𝐹‘∅) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅)
3 0ex 5264 . . 3 ∅ ∈ V
4 fr0g 8381 . . 3 (∅ ∈ V → ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
53, 4ax-mp 5 . 2 ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
62, 5eqtri 2764 1 (𝐹‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  cmpt 5188  cres 5635  cfv 6496  ωcom 7801  reccrdg 8354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355
This theorem is referenced by:  inf3lemd  9562  inf3lem1  9563  inf3lem2  9564
  Copyright terms: Public domain W3C validator