Theorem inf3lemb 9604

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9614 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemb	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑤)

Proof of Theorem inf3lemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
2	1	fveq1i 6879	. 2 ⊢ (𝐹‘∅) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅)
3		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		fr0g 8425	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
6	2, 5	eqtri 2783	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  ωcom 7862  reccrdg 8398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399

This theorem is used by:  inf3lemd  9606  inf3lem1  9607  inf3lem2  9608