Theorem inf3lemc 9666

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9675 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemc	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 8477	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)))
2		inf3lem.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6907	. 2 ⊢ (𝐹‘suc 𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴)
4	2	fveq1i 6907	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)
5	4	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  suc csuc 6386  ‘cfv 6561  ωcom 7887  reccrdg 8449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450

This theorem is referenced by:  inf3lemd  9667  inf3lem1  9668  inf3lem2  9669  inf3lem3  9670