Theorem inf3lemc 9520

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9529 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemc	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 8375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)))
2		inf3lem.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6840	. 2 ⊢ (𝐹‘suc 𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴)
4	2	fveq1i 6840	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)
5	4	fveq2i 6842	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3443   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4280   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5633  suc csuc 6317  ‘cfv 6493  ωcom 7794  reccrdg 8347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348

This theorem is referenced by:  inf3lemd  9521  inf3lem1  9522  inf3lem2  9523  inf3lem3  9524