Theorem inf3lemc 8881

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8890 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemc	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 7874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)))
2		inf3lem.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6497	. 2 ⊢ (𝐹‘suc 𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴)
4	2	fveq1i 6497	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)
5	4	fveq2i 6499	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {crab 3086  Vcvv 3409   ∩ cin 3822   ⊆ wss 3823  ∅c0 4172   ↦ cmpt 5004   ↾ cres 5405  suc csuc 6028  ‘cfv 6185  ωcom 7394  reccrdg 7847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848

This theorem is referenced by:  inf3lemd  8882  inf3lem1  8883  inf3lem2  8884  inf3lem3  8885