Theorem inf3lemc 9535

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9544 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemc	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 8368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)))
2		inf3lem.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6835	. 2 ⊢ (𝐹‘suc 𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘suc 𝐴)
4	2	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴)
5	4	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (𝐺‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐺‘((rec(𝐺, ∅) ↾ ω)‘𝐴))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5179   ↾ cres 5626  suc csuc 6319  ‘cfv 6492  ωcom 7808  reccrdg 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341

This theorem is referenced by:  inf3lemd  9536  inf3lem1  9537  inf3lem2  9538  inf3lem3  9539