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Theorem inf3lem2 9626
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9632 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑣 = ∅ → (𝐹𝑣) = (𝐹‘∅))
21neeq1d 2998 . . . 4 (𝑣 = ∅ → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘∅) ≠ 𝑥))
32imbi2d 339 . . 3 (𝑣 = ∅ → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)))
4 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
54neeq1d 2998 . . . 4 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
65imbi2d 339 . . 3 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥)))
7 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
87neeq1d 2998 . . . 4 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
98imbi2d 339 . . 3 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
10 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1110neeq1d 2998 . . . 4 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
1211imbi2d 339 . . 3 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥)))
13 inf3lem.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
14 inf3lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
15 inf3lem.3 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
16 inf3lem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 9622 . . . . . . 7 (𝐹‘∅) = ∅
1817eqeq1i 2735 . . . . . 6 ((𝐹‘∅) = 𝑥 ↔ ∅ = 𝑥)
19 eqcom 2737 . . . . . 6 (∅ = 𝑥𝑥 = ∅)
2018, 19sylbb 218 . . . . 5 ((𝐹‘∅) = 𝑥𝑥 = ∅)
2120necon3i 2971 . . . 4 (𝑥 ≠ ∅ → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
2221adantr 479 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
23 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2413, 14, 23, 16inf3lemd 9624 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊆ 𝑥)
25 df-pss 3966 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
26 pssnel 4469 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
2725, 26sylbir 234 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
28 ssel 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥𝑣 𝑥))
29 eluni 4910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥))
3028, 29imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥 → ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥)))
31 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥 → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓𝑥))
3231biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢))
3313, 14, 23, 16inf3lemc 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑢) = (𝐺‘(𝐹𝑢)))
3433eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢))))
35 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑣𝑓𝑣𝑥))
36 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑓 ∈ V
37 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹𝑢) ∈ V
3813, 14, 36, 37inf3lema 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) ↔ (𝑓𝑥 ∧ (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢)))
3938simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢))
4039sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4135, 40biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4234, 41syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4332, 42syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ ω → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4544exp5c 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑣𝑥 → (𝑓𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4645com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑓𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4746impd 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4847exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ω → (∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4930, 48sylan9r 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
5049pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
51 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
5251necon3bd 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5350, 52syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
5453impd 409 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5554exlimdv 1934 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5627, 55syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5724, 56sylani 602 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5857exp4b 429 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → (𝑢 ∈ ω → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))))
5958pm2.43a 54 . . . . 5 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6059adantld 489 . . . 4 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6160a2d 29 . . 3 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
623, 6, 9, 12, 22, 61finds 7891 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
6362com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472  cin 3946  wss 3947  wpss 3948  c0 4321   cuni 4907  cmpt 5230  cres 5677  suc csuc 6365  cfv 6542  ωcom 7857  reccrdg 8411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412
This theorem is referenced by:  inf3lem3  9627
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