Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem2 9078
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9084 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑣 = ∅ → (𝐹𝑣) = (𝐹‘∅))
21neeq1d 3046 . . . 4 (𝑣 = ∅ → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘∅) ≠ 𝑥))
32imbi2d 344 . . 3 (𝑣 = ∅ → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)))
4 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
54neeq1d 3046 . . . 4 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
65imbi2d 344 . . 3 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥)))
7 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
87neeq1d 3046 . . . 4 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
98imbi2d 344 . . 3 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
10 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1110neeq1d 3046 . . . 4 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
1211imbi2d 344 . . 3 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥)))
13 inf3lem.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
14 inf3lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
15 inf3lem.3 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
16 inf3lem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 9074 . . . . . . 7 (𝐹‘∅) = ∅
1817eqeq1i 2803 . . . . . 6 ((𝐹‘∅) = 𝑥 ↔ ∅ = 𝑥)
19 eqcom 2805 . . . . . 6 (∅ = 𝑥𝑥 = ∅)
2018, 19sylbb 222 . . . . 5 ((𝐹‘∅) = 𝑥𝑥 = ∅)
2120necon3i 3019 . . . 4 (𝑥 ≠ ∅ → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
2221adantr 484 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
23 vex 3444 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2413, 14, 23, 16inf3lemd 9076 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊆ 𝑥)
25 df-pss 3900 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
26 pssnel 4378 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
2725, 26sylbir 238 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
28 ssel 3908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥𝑣 𝑥))
29 eluni 4803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥))
3028, 29syl6ib 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥 → ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥)))
31 eleq2 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥 → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓𝑥))
3231biimparc 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢))
3313, 14, 23, 16inf3lemc 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑢) = (𝐺‘(𝐹𝑢)))
3433eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢))))
35 elin 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑣𝑓𝑣𝑥))
36 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑓 ∈ V
37 fvex 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹𝑢) ∈ V
3813, 14, 36, 37inf3lema 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) ↔ (𝑓𝑥 ∧ (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢)))
3938simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢))
4039sseld 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4135, 40syl5bir 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4234, 41syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4332, 42syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ ω → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4544exp5c 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑣𝑥 → (𝑓𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4645com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑓𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4746impd 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4847exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ω → (∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4930, 48sylan9r 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
5049pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
51 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
5251necon3bd 3001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5350, 52syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
5453impd 414 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5554exlimdv 1934 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5627, 55syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5724, 56sylani 606 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5857exp4b 434 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → (𝑢 ∈ ω → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))))
5958pm2.43a 54 . . . . 5 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6059adantld 494 . . . 4 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6160a2d 29 . . 3 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
623, 6, 9, 12, 22, 61finds 7591 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
6362com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  ∅c0 4243  ∪ cuni 4800   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521  suc csuc 6161  ‘cfv 6324  ωcom 7562  reccrdg 8030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031 This theorem is referenced by:  inf3lem3  9079
 Copyright terms: Public domain W3C validator