MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem2 9084
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9090 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6666 . . . . 5 (𝑣 = ∅ → (𝐹𝑣) = (𝐹‘∅))
21neeq1d 3079 . . . 4 (𝑣 = ∅ → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘∅) ≠ 𝑥))
32imbi2d 342 . . 3 (𝑣 = ∅ → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)))
4 fveq2 6666 . . . . 5 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
54neeq1d 3079 . . . 4 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
65imbi2d 342 . . 3 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥)))
7 fveq2 6666 . . . . 5 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
87neeq1d 3079 . . . 4 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
98imbi2d 342 . . 3 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
10 fveq2 6666 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1110neeq1d 3079 . . . 4 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
1211imbi2d 342 . . 3 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥)))
13 inf3lem.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
14 inf3lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
15 inf3lem.3 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
16 inf3lem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 9080 . . . . . . 7 (𝐹‘∅) = ∅
1817eqeq1i 2830 . . . . . 6 ((𝐹‘∅) = 𝑥 ↔ ∅ = 𝑥)
19 eqcom 2832 . . . . . 6 (∅ = 𝑥𝑥 = ∅)
2018, 19sylbb 220 . . . . 5 ((𝐹‘∅) = 𝑥𝑥 = ∅)
2120necon3i 3052 . . . 4 (𝑥 ≠ ∅ → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
2221adantr 481 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
23 vex 3502 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2413, 14, 23, 16inf3lemd 9082 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊆ 𝑥)
25 df-pss 3957 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
26 pssnel 4422 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
2725, 26sylbir 236 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
28 ssel 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥𝑣 𝑥))
29 eluni 4839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥))
3028, 29syl6ib 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥 → ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥)))
31 eleq2 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥 → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓𝑥))
3231biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢))
3313, 14, 23, 16inf3lemc 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑢) = (𝐺‘(𝐹𝑢)))
3433eleq2d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢))))
35 elin 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑣𝑓𝑣𝑥))
36 vex 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑓 ∈ V
37 fvex 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹𝑢) ∈ V
3813, 14, 36, 37inf3lema 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) ↔ (𝑓𝑥 ∧ (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢)))
3938simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢))
4039sseld 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4135, 40syl5bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4234, 41syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4332, 42syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ ω → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4544exp5c 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑣𝑥 → (𝑓𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4645com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑓𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4746impd 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4847exlimdv 1927 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ω → (∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4930, 48sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
5049pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
51 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
5251necon3bd 3034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5350, 52syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
5453impd 411 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5554exlimdv 1927 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5627, 55syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5724, 56sylani 603 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5857exp4b 431 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → (𝑢 ∈ ω → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))))
5958pm2.43a 54 . . . . 5 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6059adantld 491 . . . 4 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6160a2d 29 . . 3 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
623, 6, 9, 12, 22, 61finds 7599 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
6362com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3020  {crab 3146  Vcvv 3499  cin 3938  wss 3939  wpss 3940  c0 4294   cuni 4836  cmpt 5142  cres 5555  suc csuc 6190  cfv 6351  ωcom 7571  reccrdg 8039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040
This theorem is referenced by:  inf3lem3  9085
  Copyright terms: Public domain W3C validator