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Theorem inf3lem2 9669
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9675 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑣 = ∅ → (𝐹𝑣) = (𝐹‘∅))
21neeq1d 3000 . . . 4 (𝑣 = ∅ → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘∅) ≠ 𝑥))
32imbi2d 340 . . 3 (𝑣 = ∅ → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)))
4 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
54neeq1d 3000 . . . 4 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥)))
7 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
87neeq1d 3000 . . . 4 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
10 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1110neeq1d 3000 . . . 4 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥)))
13 inf3lem.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
14 inf3lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
15 inf3lem.3 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
16 inf3lem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 9665 . . . . . . 7 (𝐹‘∅) = ∅
1817eqeq1i 2742 . . . . . 6 ((𝐹‘∅) = 𝑥 ↔ ∅ = 𝑥)
19 eqcom 2744 . . . . . 6 (∅ = 𝑥𝑥 = ∅)
2018, 19sylbb 219 . . . . 5 ((𝐹‘∅) = 𝑥𝑥 = ∅)
2120necon3i 2973 . . . 4 (𝑥 ≠ ∅ → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
2221adantr 480 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
23 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2413, 14, 23, 16inf3lemd 9667 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊆ 𝑥)
25 df-pss 3971 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
26 pssnel 4471 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
2725, 26sylbir 235 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
28 ssel 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥𝑣 𝑥))
29 eluni 4910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥))
3028, 29imbitrdi 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥 → ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥)))
31 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥 → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓𝑥))
3231biimparc 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢))
3313, 14, 23, 16inf3lemc 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑢) = (𝐺‘(𝐹𝑢)))
3433eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢))))
35 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑣𝑓𝑣𝑥))
36 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑓 ∈ V
37 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹𝑢) ∈ V
3813, 14, 36, 37inf3lema 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) ↔ (𝑓𝑥 ∧ (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢)))
3938simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢))
4039sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4135, 40biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4234, 41biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4332, 42syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ ω → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4544exp5c 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑣𝑥 → (𝑓𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4645com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑓𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4746impd 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4847exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ω → (∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4930, 48sylan9r 508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
5049pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
51 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
5251necon3bd 2954 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5350, 52syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
5453impd 410 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5554exlimdv 1933 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5627, 55syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5724, 56sylani 604 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5857exp4b 430 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → (𝑢 ∈ ω → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))))
5958pm2.43a 54 . . . . 5 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6059adantld 490 . . . 4 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6160a2d 29 . . 3 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
623, 6, 9, 12, 22, 61finds 7918 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
6362com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  wpss 3952  c0 4333   cuni 4907  cmpt 5225  cres 5687  suc csuc 6386  cfv 6561  ωcom 7887  reccrdg 8449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450
This theorem is referenced by:  inf3lem3  9670
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