Theorem infsdomnn 9341

Description: An infinite set strictly dominates a natural number. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5371. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9207	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ Fin)
3		reldom 8982	. . . 4 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5740	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ V)
5		nnsdomg 9338	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
6	4, 5	sylan 578	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
7		simpl 481	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
8		sdomdomtrfi 9240	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1368	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   class class class wbr 5155  ωcom 7878   ≼ cdom 8974   ≺ csdm 8975  Fincfn 8976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pr 5435  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-om 7879  df-1o 8498  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980

This theorem is referenced by:  infn0ALT  9344