Theorem infsdomnn 9331

Description: An infinite set strictly dominates a natural number. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5334. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9221	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ Fin)
3		reldom 9017	. . . 4 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5714	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ V)
5		nnsdomg 9329	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
6	4, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
7		simpl 488	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
8		sdomdomtrfi 9254	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1399	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ωcom 7911   ≼ cdom 9009   ≺ csdm 9010  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by:  infn0ALT  9333