Theorem infsdomnn 9245

Description: An infinite set strictly dominates a natural number. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5322. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9136	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ Fin)
3		reldom 8933	. . . 4 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5703	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ V)
5		nnsdomg 9243	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
6	4, 5	sylan 589	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
7		simpl 486	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
8		sdomdomtrfi 9169	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1390	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ωcom 7846   ≼ cdom 8925   ≺ csdm 8926  Fincfn 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-1o 8437  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931

This theorem is referenced by:  infn0ALT  9247