Theorem infsdomnn 9304

Description: An infinite set strictly dominates a natural number. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5330. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9194	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ Fin)
3		reldom 8990	. . . 4 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5710	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ V)
5		nnsdomg 9302	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
6	4, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
7		simpl 488	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
8		sdomdomtrfi 9227	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1398	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   class class class wbr 5105  ωcom 7884   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  Fincfn 8984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-om 7885  df-1o 8487  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988

This theorem is used by:  infn0ALT  9306