Theorem djudoml 10191

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexg 7749	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
2		ssun1 4127	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
3		ssdomg 9010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mpisyl 22	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
5		undjudom 10174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domtr 9017	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ≼ cdom 8954   ⊔ cdju 9907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-dju 9910

This theorem is used by:  djuinf  10195  infdju1  10196  infdjuabs  10211  isfin4p1  10321  isfin5-2  10397  gchdomtri  10642  gchdju1  10669  pwxpndom  10679  gchdjuidm  10681  gchpwdom  10683  gchhar  10692