Theorem djudoml 9871

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexg 7577	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
2		ssun1 4102	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
3		ssdomg 8741	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mpisyl 21	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
5		undjudom 9854	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domtr 8748	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ≼ cdom 8689   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-dju 9590

This theorem is referenced by:  djuinf  9875  infdju1  9876  infdjuabs  9893  isfin4p1  10002  isfin5-2  10078  gchdomtri  10316  gchdju1  10343  pwxpndom  10353  gchdjuidm  10355  gchpwdom  10357  gchhar  10366