MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djudoml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djudoml 9599
Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djudoml ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem djudoml
StepHypRef Expression
1 unexg 7456 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 ssun1 4102 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
3 ssdomg 8542 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
41, 2, 3mpisyl 21 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
5 undjudom 9582 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
6 domtr 8549 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
74, 5, 6syl2anc 587 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112  Vcvv 3444  cun 3882  wss 3884   class class class wbr 5033  cdom 8494  cdju 9315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-dju 9318
This theorem is referenced by:  djuinf  9603  infdju1  9604  infdjuabs  9621  isfin4p1  9730  isfin5-2  9806  gchdomtri  10044  gchdju1  10071  pwxpndom  10081  gchdjuidm  10083  gchpwdom  10085  gchhar  10094
  Copyright terms: Public domain W3C validator