MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djudoml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djudoml 10178
Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djudoml ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem djudoml
StepHypRef Expression
1 unexg 7735 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 ssun1 4172 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
3 ssdomg 8995 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
41, 2, 3mpisyl 21 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
5 undjudom 10161 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
6 domtr 9002 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
74, 5, 6syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  Vcvv 3474  cun 3946  wss 3948   class class class wbr 5148  cdom 8936  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-dju 9895
This theorem is referenced by:  djuinf  10182  infdju1  10183  infdjuabs  10200  isfin4p1  10309  isfin5-2  10385  gchdomtri  10623  gchdju1  10650  pwxpndom  10660  gchdjuidm  10662  gchpwdom  10664  gchhar  10673
  Copyright terms: Public domain W3C validator