Theorem djudoml 10138

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexg 7722	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
2		ssun1 4130	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
3		ssdomg 8977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mpisyl 21	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
5		undjudom 10121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
6		domtr 8984	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
7	4, 5, 6	syl2anc 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099   ≼ cdom 8921   ⊔ cdju 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-dju 9856

This theorem is referenced by:  djuinf  10142  infdju1  10143  infdjuabs  10158  isfin4p1  10269  isfin5-2  10345  gchdomtri  10584  gchdju1  10611  pwxpndom  10621  gchdjuidm  10623  gchpwdom  10625  gchhar  10634