MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin34 10391
Description: Every III-finite set is IV-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin34 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem fin34
StepHypRef Expression
1 isfin3 10297 . . 3 (𝐴 ∈ FinIII ↔ 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
2 isfin4-2 10315 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → (𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴))
32ibi 267 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴)
4 reldom 8951 . . . . . . . 8 Rel ≼
54brrelex2i 5733 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
6 canth2g 9137 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8 domsdomtr 9118 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴) → ω ≺ 𝒫 𝐴)
97, 8mpdan 684 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ω ≺ 𝒫 𝐴)
10 sdomdom 8982 . . . . 5 (ω ≺ 𝒫 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
119, 10syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
123, 11nsyl 140 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝐴)
131, 12sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼ 𝐴)
14 isfin4-2 10315 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
1513, 14mpbird 257 1 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2105  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  ωcom 7859  cdom 8943  csdm 8944  FinIVcfin4 10281  FinIIIcfin3 10282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin4 10288  df-fin3 10289
This theorem is referenced by:  finngch  10656  fin2so  36939
  Copyright terms: Public domain W3C validator