MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin34 9800
Description: Every III-finite set is IV-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin34 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem fin34
StepHypRef Expression
1 isfin3 9706 . . 3 (𝐴 ∈ FinIII ↔ 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
2 isfin4-2 9724 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → (𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴))
32ibi 268 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴)
4 reldom 8503 . . . . . . . 8 Rel ≼
54brrelex2i 5602 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
6 canth2g 8659 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8 domsdomtr 8640 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴) → ω ≺ 𝒫 𝐴)
97, 8mpdan 683 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ω ≺ 𝒫 𝐴)
10 sdomdom 8525 . . . . 5 (ω ≺ 𝒫 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
119, 10syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
123, 11nsyl 142 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝐴)
131, 12sylbi 218 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼ 𝐴)
14 isfin4-2 9724 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
1513, 14mpbird 258 1 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2105  Vcvv 3492  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  ωcom 7569  cdom 8495  csdm 8496  FinIVcfin4 9690  FinIIIcfin3 9691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fin4 9697  df-fin3 9698
This theorem is referenced by:  finngch  10065  fin2so  34760
  Copyright terms: Public domain W3C validator