MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin34 10430
Description: Every III-finite set is IV-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin34 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem fin34
StepHypRef Expression
1 isfin3 10336 . . 3 (𝐴 ∈ FinIII ↔ 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
2 isfin4-2 10354 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → (𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴))
32ibi 267 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴)
4 reldom 8991 . . . . . . . 8 Rel ≼
54brrelex2i 5742 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
6 canth2g 9171 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8 domsdomtr 9152 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴) → ω ≺ 𝒫 𝐴)
97, 8mpdan 687 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ω ≺ 𝒫 𝐴)
10 sdomdom 9020 . . . . 5 (ω ≺ 𝒫 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
119, 10syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
123, 11nsyl 140 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝐴)
131, 12sylbi 217 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼ 𝐴)
14 isfin4-2 10354 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
1513, 14mpbird 257 1 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cdom 8983  csdm 8984  FinIVcfin4 10320  FinIIIcfin3 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin4 10327  df-fin3 10328
This theorem is referenced by:  finngch  10695  fin2so  37614
  Copyright terms: Public domain W3C validator