Theorem islpln2ah 39506

Description: The predicate "is a lattice plane" for join of atoms. Version of islpln2a 39505 expressed with an abbreviation hypothesis. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islpln2a.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
islpln2ah	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem islpln2ah

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln2a.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
2	1	eleq1i 2835	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
3		islpln2a.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		islpln2a.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		islpln2a.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		islpln2a.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	islpln2a 39505	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
8	2, 7	bitrid 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  lecple 17318  joincjn 18381  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LPlanesclpl 39449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456

This theorem is referenced by:  lplnriaN  39507  lplnribN  39508  lplnric  39509  lplnri1  39510