Theorem lplnribN 40608

Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islpln2a.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lplnribN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem lplnribN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln2a.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		islpln2a.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islpln2a.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3noncolr1N 40507	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
5	4	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄))
6	5	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
7		islpln2a.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8		islpln2a.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
9	1, 2, 3, 7, 8	islpln2ah 40606	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
10	2, 3	hlatjcom 40425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑄))
11	10	3adant3r2 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑄))
12	11	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆) ↔ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
13	12	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
14	6, 9, 13	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑌 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆)))
15	14	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  LPlanesclpl 40549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556

This theorem is used by:  lplnri3N  40612