Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnribN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnribN 38935
Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
islpln2a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islpln2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
islpln2a.y π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lplnribN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem lplnribN
StepHypRef Expression
1 islpln2a.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 islpln2a.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 islpln2a.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33noncolr1N 38834 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑄)))
54simprd 495 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑄))
653expia 1118 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑄)))
7 islpln2a.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
8 islpln2a.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
91, 2, 3, 7, 8islpln2ah 38933 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))))
102, 3hlatjcom 38751 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑄))
11103adant3r2 1180 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑄))
1211breq2d 5153 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑆) ↔ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑄)))
1312notbid 318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑆) ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑄)))
146, 9, 133imtr4d 294 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑆)))
15143impia 1114 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LPlanesclpl 38876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883
This theorem is referenced by:  lplnri3N  38939
  Copyright terms: Public domain W3C validator