Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnribN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnribN 38916
Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l = (le‘𝐾)
islpln2a.j = (join‘𝐾)
islpln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islpln2a.y 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lplnribN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑅 (𝑄 𝑆))

Proof of Theorem lplnribN
StepHypRef Expression
1 islpln2a.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2 islpln2a.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
3 islpln2a.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33noncolr1N 38815 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑆𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
54simprd 495 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄))
653expia 1118 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
7 islpln2a.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8 islpln2a.y . . . 4 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
91, 2, 3, 7, 8islpln2ah 38914 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑌𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
102, 3hlatjcom 38732 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑆𝐴) → (𝑄 𝑆) = (𝑆 𝑄))
11103adant3r2 1180 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑆) = (𝑆 𝑄))
1211breq2d 5151 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑄 𝑆) ↔ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
1312notbid 318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (¬ 𝑅 (𝑄 𝑆) ↔ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
146, 9, 133imtr4d 294 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑌𝑃 → ¬ 𝑅 (𝑄 𝑆)))
15143impia 1114 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑅 (𝑄 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  lecple 17205  joincjn 18268  Atomscatm 38627  HLchlt 38714  LPlanesclpl 38857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864
This theorem is referenced by:  lplnri3N  38920
  Copyright terms: Public domain W3C validator