Theorem lplnribN 37544

Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islpln2a.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lplnribN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem lplnribN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln2a.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		islpln2a.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islpln2a.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3noncolr1N 37443	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
5	4	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄))
6	5	3expia 1119	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
7		islpln2a.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8		islpln2a.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
9	1, 2, 3, 7, 8	islpln2ah 37542	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
10	2, 3	hlatjcom 37361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑄))
11	10	3adant3r2 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑄))
12	11	breq2d 5090	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆) ↔ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
13	12	notbid 317	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
14	6, 9, 13	3imtr4d 293	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑌 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆)))
15	14	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  lecple 16950  joincjn 18010  Atomscatm 37256  HLchlt 37343  LPlanesclpl 37485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-lat 18131  df-clat 18198  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492

This theorem is referenced by:  lplnri3N  37548