Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnribN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnribN 36674
 Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l = (le‘𝐾)
islpln2a.j = (join‘𝐾)
islpln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islpln2a.y 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lplnribN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑅 (𝑄 𝑆))

Proof of Theorem lplnribN
StepHypRef Expression
1 islpln2a.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2 islpln2a.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
3 islpln2a.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33noncolr1N 36573 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑆𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
54simprd 498 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄))
653expia 1115 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
7 islpln2a.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8 islpln2a.y . . . 4 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
91, 2, 3, 7, 8islpln2ah 36672 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑌𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
102, 3hlatjcom 36491 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑆𝐴) → (𝑄 𝑆) = (𝑆 𝑄))
11103adant3r2 1177 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑆) = (𝑆 𝑄))
1211breq2d 5069 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑄 𝑆) ↔ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
1312notbid 320 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (¬ 𝑅 (𝑄 𝑆) ↔ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑄)))
146, 9, 133imtr4d 296 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑌𝑃 → ¬ 𝑅 (𝑄 𝑆)))
15143impia 1111 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑅 (𝑄 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36386  HLchlt 36473  LPlanesclpl 36615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-llines 36621  df-lplanes 36622 This theorem is referenced by:  lplnri3N  36678
 Copyright terms: Public domain W3C validator