Theorem iskgen2 23442

Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iskgen2	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Proof of Theorem iskgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgentop 23436	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)
2		kgenidm 23441	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
3		eqimss 4008	. . . 4 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽 → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
7		kgenss 23437	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
9	6, 8	eqssd 3967	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
10		kgenf 23435	. . . . . 6 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
11		ffn 6691	. . . . . 6 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑘Gen Fn Top
13		fnfvelrn 7055	. . . . 5 ⊢ ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
14	12, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16	9, 15	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
17	5, 16	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  Topctop 22787  𝑘Genckgen 23427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9369  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-kgen 23428

This theorem is referenced by:  iskgen3  23443  llycmpkgen2  23444  1stckgen  23448  txkgen  23546  qtopkgen  23604