Theorem iskgen2 23879

Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iskgen2	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Proof of Theorem iskgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgentop 23873	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)
2		kgenidm 23878	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
3		eqimss 3970	. . . 4 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽 → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
5	1, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
7		kgenss 23874	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
9	6, 8	eqssd 3929	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
10		kgenf 23872	. . . . . 6 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
11		ffn 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑘Gen Fn Top
13		fnfvelrn 7088	. . . . 5 ⊢ ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
14	12, 13	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16	9, 15	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
17	5, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  ran crn 5655   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  Topctop 23223  𝑘Genckgen 23864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9413  df-rest 17605  df-topgen 17626  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-cmp 23717  df-kgen 23865

This theorem is used by:  iskgen3  23880  llycmpkgen2  23881  1stckgen  23885  txkgen  23983  qtopkgen  24041