Theorem iskgen2 23491

Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iskgen2	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Proof of Theorem iskgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgentop 23485	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)
2		kgenidm 23490	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
3		eqimss 4022	. . . 4 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽 → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
7		kgenss 23486	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
9	6, 8	eqssd 3981	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
10		kgenf 23484	. . . . . 6 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
11		ffn 6711	. . . . . 6 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑘Gen Fn Top
13		fnfvelrn 7075	. . . . 5 ⊢ ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
14	12, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16	9, 15	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
17	5, 16	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ran crn 5660   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  Topctop 22836  𝑘Genckgen 23476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cmp 23330  df-kgen 23477

This theorem is referenced by:  iskgen3  23492  llycmpkgen2  23493  1stckgen  23497  txkgen  23595  qtopkgen  23653