Theorem iskgen2 23435

Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iskgen2	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Proof of Theorem iskgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgentop 23429	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)
2		kgenidm 23434	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
3		eqimss 4005	. . . 4 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽 → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽)
7		kgenss 23430	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
9	6, 8	eqssd 3964	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) = 𝐽)
10		kgenf 23428	. . . . . 6 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
11		ffn 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑘Gen Fn Top
13		fnfvelrn 7052	. . . . 5 ⊢ ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
14	12, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16	9, 15	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
17	5, 16	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ran crn 5639   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  Topctop 22780  𝑘Genckgen 23420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cmp 23274  df-kgen 23421

This theorem is referenced by:  iskgen3  23436  llycmpkgen2  23437  1stckgen  23441  txkgen  23539  qtopkgen  23597