MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgen2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgen2cn 23567
Description: A continuous function is also continuous with the domain and codomain replaced by their compact generator topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgen2cn (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))

Proof of Theorem kgen2cn
StepHypRef Expression
1 cntop1 23248 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2 toptopon2 22924 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
31, 2sylib 218 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4 kgentopon 23546 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
6 kgenss 23551 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8 eqid 2737 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
98cnss1 23284 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
105, 7, 9syl2anc 584 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
11 kgenf 23549 . . . . . 6 𝑘Gen:Top⟶Top
12 ffn 6736 . . . . . 6 (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 𝑘Gen Fn Top
14 fnfvelrn 7100 . . . . 5 ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
1513, 1, 14sylancr 587 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16 cntop2 23249 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
17 kgencn3 23566 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
1815, 16, 17syl2anc 584 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
1910, 18sseqtrd 4020 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
20 id 22 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2119, 20sseldd 3984 1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   cuni 4907  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  𝑘Genckgen 23541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cmp 23395  df-kgen 23542
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator