Theorem kgen2cn 23716

Description: A continuous function is also continuous with the domain and codomain replaced by their compact generator topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgen2cn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))

Proof of Theorem kgen2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 23397	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 23075	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		kgentopon 23695	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		kgenss 23700	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cnss1 23433	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
10	5, 7, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
11		kgenf 23698	. . . . . 6 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
12		ffn 6705	. . . . . 6 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑘Gen Fn Top
14		fnfvelrn 7075	. . . . 5 ⊢ ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
15	13, 1, 14	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16		cntop2 23398	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
17		kgencn3 23715	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
18	15, 16, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
19	10, 18	sseqtrd 3973	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
20		id 23	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21	19, 20	sseldd 3938	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Topctop 23050  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381  𝑘Genckgen 23690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9367  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cn 23384  df-cmp 23544  df-kgen 23691

This theorem is referenced by: (None)