Theorem kgen2cn 23885

Description: A continuous function is also continuous with the domain and codomain replaced by their compact generator topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgen2cn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))

Proof of Theorem kgen2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 23565	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 23243	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		kgentopon 23864	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		kgenss 23869	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cnss1 23601	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
10	5, 7, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
11		kgenf 23867	. . . . . 6 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
12		ffn 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑘Gen Fn Top
14		fnfvelrn 7083	. . . . 5 ⊢ ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
15	13, 1, 14	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16		cntop2 23566	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
17		kgencn3 23884	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
19	10, 18	sseqtrd 3945	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
20		id 23	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21	19, 20	sseldd 3910	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ∪ cuni 4866  ran crn 5651   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Topctop 23218  TopOnctopon 23235   Cn ccn 23549  𝑘Genckgen 23859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8481  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-fin 8982  df-fi 9408  df-rest 17600  df-topgen 17621  df-top 23219  df-topon 23236  df-bases 23271  df-cn 23552  df-cmp 23712  df-kgen 23860

This theorem is used by: (None)