Theorem kgentop 23800

Description: A compactly generated space is a topology. (Note: henceforth we will use the idiom "𝐽 ∈ ran 𝑘Gen " to denote "𝐽 is compactly generated", since as we will show a space is compactly generated iff it is in the range of the compact generator.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentop	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem kgentop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenf 23799	. . 3 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
2		frn 6713	. . 3 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → ran 𝑘Gen ⊆ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑘Gen ⊆ Top
4	3	sseli 3927	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5656  ⟶wf 6531  Topctop 23150  𝑘Genckgen 23791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-en 8960  df-fin 8963  df-fi 9388  df-rest 17532  df-topgen 17553  df-top 23151  df-topon 23168  df-bases 23203  df-cmp 23644  df-kgen 23792

This theorem is used by:  kgenidm  23805  iskgen2  23806  kgencn3  23816  txkgen  23910  qtopkgen  23968