Theorem kgentop 23495

Description: A compactly generated space is a topology. (Note: henceforth we will use the idiom "𝐽 ∈ ran 𝑘Gen " to denote "𝐽 is compactly generated", since as we will show a space is compactly generated iff it is in the range of the compact generator.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentop	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem kgentop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenf 23494	. . 3 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
2		frn 6722	. . 3 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → ran 𝑘Gen ⊆ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑘Gen ⊆ Top
4	3	sseli 3959	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  ran crn 5666  ⟶wf 6536  Topctop 22846  𝑘Genckgen 23486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-en 8967  df-fin 8970  df-fi 9432  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-cmp 23340  df-kgen 23487

This theorem is referenced by:  kgenidm  23500  iskgen2  23501  kgencn3  23511  txkgen  23605  qtopkgen  23663