MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgentop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgentop 23028
Description: A compactly generated space is a topology. (Note: henceforth we will use the idiom "𝐽 ∈ ran 𝑘Gen " to denote "𝐽 is compactly generated", since as we will show a space is compactly generated iff it is in the range of the compact generator.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentop (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem kgentop
StepHypRef Expression
1 kgenf 23027 . . 3 𝑘Gen:Top⟶Top
2 frn 6721 . . 3 (𝑘Gen:Top⟶Top → ran 𝑘Gen ⊆ Top)
31, 2ax-mp 5 . 2 ran 𝑘Gen ⊆ Top
43sseli 3977 1 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wss 3947  ran crn 5676  wf 6536  Topctop 22377  𝑘Genckgen 23019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cmp 22873  df-kgen 23020
This theorem is referenced by:  kgenidm  23033  iskgen2  23034  kgencn3  23044  txkgen  23138  qtopkgen  23196
  Copyright terms: Public domain W3C validator