MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgentop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgentop 23367
Description: A compactly generated space is a topology. (Note: henceforth we will use the idiom "𝐽 ∈ ran 𝑘Gen " to denote "𝐽 is compactly generated", since as we will show a space is compactly generated iff it is in the range of the compact generator.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentop (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem kgentop
StepHypRef Expression
1 kgenf 23366 . . 3 𝑘Gen:Top⟶Top
2 frn 6724 . . 3 (𝑘Gen:Top⟶Top → ran 𝑘Gen ⊆ Top)
31, 2ax-mp 5 . 2 ran 𝑘Gen ⊆ Top
43sseli 3978 1 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3948  ran crn 5677  wf 6539  Topctop 22716  𝑘Genckgen 23358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-en 8946  df-fin 8949  df-fi 9412  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22717  df-topon 22734  df-bases 22770  df-cmp 23212  df-kgen 23359
This theorem is referenced by:  kgenidm  23372  iskgen2  23373  kgencn3  23383  txkgen  23477  qtopkgen  23535
  Copyright terms: Public domain W3C validator