Theorem kgentop 23462

Description: A compactly generated space is a topology. (Note: henceforth we will use the idiom "𝐽 ∈ ran 𝑘Gen " to denote "𝐽 is compactly generated", since as we will show a space is compactly generated iff it is in the range of the compact generator.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentop	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem kgentop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenf 23461	. . 3 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
2		frn 6677	. . 3 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → ran 𝑘Gen ⊆ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑘Gen ⊆ Top
4	3	sseli 3939	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ran crn 5632  ⟶wf 6495  Topctop 22813  𝑘Genckgen 23453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9338  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cmp 23307  df-kgen 23454

This theorem is referenced by:  kgenidm  23467  iskgen2  23468  kgencn3  23478  txkgen  23572  qtopkgen  23630