Theorem kgentop 23435

Description: A compactly generated space is a topology. (Note: henceforth we will use the idiom "𝐽 ∈ ran 𝑘Gen " to denote "𝐽 is compactly generated", since as we will show a space is compactly generated iff it is in the range of the compact generator.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgentop	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem kgentop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenf 23434	. . 3 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top
2		frn 6702	. . 3 ⊢ (𝑘Gen:Top⟶Top → ran 𝑘Gen ⊆ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑘Gen ⊆ Top
4	3	sseli 3950	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3922  ran crn 5647  ⟶wf 6515  Topctop 22786  𝑘Genckgen 23426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8923  df-fin 8926  df-fi 9380  df-rest 17391  df-topgen 17412  df-top 22787  df-topon 22804  df-bases 22839  df-cmp 23280  df-kgen 23427

This theorem is referenced by:  kgenidm  23440  iskgen2  23441  kgencn3  23451  txkgen  23545  qtopkgen  23603