MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latjlej2 18386
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej2i 30585 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjlej2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑍 ∨ 𝑋) ≀ (𝑍 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem latjlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlej.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latlej.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
41, 2, 3latjlej1 18385 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
51, 3latjcom 18379 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑋))
653adant3r2 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑋))
71, 3latjcom 18379 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ π‘Œ))
873adant3r1 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ π‘Œ))
96, 8breq12d 5151 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍) ↔ (𝑍 ∨ 𝑋) ≀ (𝑍 ∨ π‘Œ)))
104, 9sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑍 ∨ 𝑋) ≀ (𝑍 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  lecple 17183  joincjn 18243  Latclat 18363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-poset 18245  df-lub 18278  df-glb 18279  df-join 18280  df-meet 18281  df-lat 18364
This theorem is referenced by:  latjlej12  18387  cvrat3  38102  2llnjaN  38226  2lplnja  38279  dalawlem3  38533  dalawlem6  38536  dalawlem11  38541  lhpj1  38682  cdleme1  38887  cdleme9  38913  cdleme11g  38925  cdleme28a  39030  cdleme30a  39038  cdleme32c  39103  cdlemi1  39478  cdlemk11  39509  cdlemk11u  39531  cdlemk51  39613  cdlemm10N  39778  cdlemn10  39866
  Copyright terms: Public domain W3C validator