MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latjlej2 18406
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej2i 31151 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjlej2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑍 ∨ 𝑋) ≀ (𝑍 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem latjlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlej.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latlej.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
41, 2, 3latjlej1 18405 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
51, 3latjcom 18399 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑋))
653adant3r2 1180 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑋))
71, 3latjcom 18399 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ π‘Œ))
873adant3r1 1179 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ π‘Œ))
96, 8breq12d 5151 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍) ↔ (𝑍 ∨ 𝑋) ≀ (𝑍 ∨ π‘Œ)))
104, 9sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑍 ∨ 𝑋) ≀ (𝑍 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  Latclat 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-poset 18265  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-lat 18384
This theorem is referenced by:  latjlej12  18407  cvrat3  38769  2llnjaN  38893  2lplnja  38946  dalawlem3  39200  dalawlem6  39203  dalawlem11  39208  lhpj1  39349  cdleme1  39554  cdleme9  39580  cdleme11g  39592  cdleme28a  39697  cdleme30a  39705  cdleme32c  39770  cdlemi1  40145  cdlemk11  40176  cdlemk11u  40198  cdlemk51  40280  cdlemm10N  40445  cdlemn10  40533
  Copyright terms: Public domain W3C validator