Theorem latjlej2 18411

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej2i 31563 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjlej2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑍 ∨ 𝑋) ≤ (𝑍 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem latjlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latjlej1 18410	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
5	1, 3	latjcom 18404	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑋))
6	5	3adant3r2 1190	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑋))
7	1, 3	latjcom 18404	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
8	7	3adant3r1 1189	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
9	6, 8	breq12d 5085	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ↔ (𝑍 ∨ 𝑋) ≤ (𝑍 ∨ 𝑌)))
10	4, 9	sylibd 240	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑍 ∨ 𝑋) ≤ (𝑍 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  Latclat 18388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18389

This theorem is referenced by:  latjlej12  18412  cvrat3  39934  2llnjaN  40058  2lplnja  40111  dalawlem3  40365  dalawlem6  40368  dalawlem11  40373  lhpj1  40514  cdleme1  40719  cdleme9  40745  cdleme11g  40757  cdleme28a  40862  cdleme30a  40870  cdleme32c  40935  cdlemi1  41310  cdlemk11  41341  cdlemk11u  41363  cdlemk51  41445  cdlemm10N  41610  cdlemn10  41698