Theorem chlej12i 31554

Description: Add join to both sides of a Hilbert lattice ordering. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
chlub.1	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
chlej12.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chlej12i	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷))

Proof of Theorem chlej12i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chjcl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		chlub.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
4	1, 2, 3	chlej1i 31552	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
5		chlej12.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
6	3, 5, 2	chlej2i 31553	. 2 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐷 → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷))
7	4, 6	sylan9ss 3948	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7360   C_ℋ cch 31008   ∨_ℋ chj 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-hilex 31078  ax-hfvadd 31079  ax-hv0cl 31082  ax-hfvmul 31084  ax-hvmul0 31089  ax-hfi 31158  ax-his2 31162  ax-his3 31163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sh 31286  df-ch 31300  df-oc 31331  df-chj 31389

This theorem is referenced by:  ledii  31615