Theorem chlej12i 31617

Description: Add join to both sides of a Hilbert lattice ordering. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
chlub.1	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
chlej12.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chlej12i	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷))

Proof of Theorem chlej12i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chjcl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		chlub.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
4	1, 2, 3	chlej1i 31615	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
5		chlej12.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
6	3, 5, 2	chlej2i 31616	. 2 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐷 → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷))
7	4, 6	sylan9ss 3944	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7385   C_ℋ cch 31071   ∨_ℋ chj 31075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-hilex 31141  ax-hfvadd 31142  ax-hv0cl 31145  ax-hfvmul 31147  ax-hvmul0 31152  ax-hfi 31221  ax-his2 31225  ax-his3 31226

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-sh 31349  df-ch 31363  df-oc 31394  df-chj 31452

This theorem is referenced by:  ledii  31678