Theorem 1cvratlt 39431

Description: An atom less than or equal to an element covered by 1 is less than the element. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvratlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratlt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvratlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
1cvratlt.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvratlt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvratlt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Proof of Theorem 1cvratlt

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
4		1cvratlt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvratlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
6		1cvratlt.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7		1cvratlt.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		1cvratlt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	1cvratex 39430	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
11		simp1l1 1266	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp1l2 1267	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp1l3 1268	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simp1rr 1239	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
16		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 < 𝑋)
17		1cvratlt.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	4, 17, 5, 8	atlelt 39395	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 < 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 18	syl132anc 1388	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 < 𝑋)
20	19	rexlimdv3a 3165	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋 → 𝑃 < 𝑋))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  ltcplt 18378  1.cp1 18494   ⋖ ccvr 39218  Atomscatm 39219  HLchlt 39306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307

This theorem is referenced by:  cdlemb  39751  lhplt  39957