Theorem 1cvratlt 39476

Description: An atom less than or equal to an element covered by 1 is less than the element. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvratlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratlt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvratlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
1cvratlt.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvratlt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvratlt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Proof of Theorem 1cvratlt

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
4		1cvratlt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvratlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
6		1cvratlt.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7		1cvratlt.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		1cvratlt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	1cvratex 39475	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
11		simp1l1 1267	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp1l2 1268	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp1l3 1269	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simp1rr 1240	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
16		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 < 𝑋)
17		1cvratlt.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	4, 17, 5, 8	atlelt 39440	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 < 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 18	syl132anc 1390	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 < 𝑋)
20	19	rexlimdv3a 3159	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋 → 𝑃 < 𝑋))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  1.cp1 18469   ⋖ ccvr 39263  Atomscatm 39264  HLchlt 39351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352

This theorem is referenced by:  cdlemb  39796  lhplt  40002