Theorem 1cvratlt 39931

Description: An atom less than or equal to an element covered by 1 is less than the element. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvratlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratlt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvratlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
1cvratlt.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvratlt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvratlt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Proof of Theorem 1cvratlt

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
4		1cvratlt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvratlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
6		1cvratlt.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7		1cvratlt.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		1cvratlt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	1cvratex 39930	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
11		simp1l1 1268	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp1l2 1269	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp1l3 1270	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simp1rr 1241	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
16		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 < 𝑋)
17		1cvratlt.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	4, 17, 5, 8	atlelt 39895	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 < 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 18	syl132anc 1391	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 < 𝑋)
20	19	rexlimdv3a 3143	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋 → 𝑃 < 𝑋))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  lecple 17216  ltcplt 18263  1.cp1 18377   ⋖ ccvr 39719  Atomscatm 39720  HLchlt 39807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808

This theorem is referenced by:  cdlemb  40251  lhplt  40457