Theorem 1cvratlt 38648

Description: An atom less than or equal to an element covered by 1 is less than the element. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvratlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratlt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
1cvratlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
1cvratlt.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvratlt.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvratlt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Proof of Theorem 1cvratlt

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
4		1cvratlt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvratlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
6		1cvratlt.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7		1cvratlt.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		1cvratlt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	1cvratex 38647	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋)
11		simp1l1 1266	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp1l2 1267	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simp1l3 1268	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simp1rr 1239	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
16		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑞 < 𝑋)
17		1cvratlt.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18	4, 17, 5, 8	atlelt 38612	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 < 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 18	syl132anc 1388	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 < 𝑋) → 𝑃 < 𝑋)
20	19	rexlimdv3a 3159	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 < 𝑋 → 𝑃 < 𝑋))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋)) → 𝑃 < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  ltcplt 18265  1.cp1 18381   ⋖ ccvr 38435  Atomscatm 38436  HLchlt 38523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524

This theorem is referenced by:  cdlemb  38968  lhplt  39174