Theorem islln2a 40153

Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln2a.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln2a	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem islln2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2		islln2a.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islln2a.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjidm 40005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
5	4	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
6	1, 5	sylan9eqr 2822	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
7		islln2a.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8	3, 7	llnneat 40150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
9	8	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
10	9	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴))
11	10	con2d 135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁))
12	11	3impia 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
14	6, 13	eqneltrd 2885	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
15	14	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
16	15	necon2ad 2975	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 → 𝑃 ≠ 𝑄))
17	2, 3, 7	llni2 40148	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
18	17	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
19	16, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  joincjn 18357  Atomscatm 39899  HLchlt 39986  LLinesclln 40127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134

This theorem is referenced by:  cdleme16d  40917