Theorem islln2a 40833

Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln2a.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln2a	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem islln2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2		islln2a.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islln2a.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjidm 40685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
5	4	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
6	1, 5	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
7		islln2a.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8	3, 7	llnneat 40830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
9	8	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
10	9	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴))
11	10	con2d 135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁))
12	11	3impia 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
14	6, 13	eqneltrd 2884	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
15	14	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
16	15	necon2ad 2974	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 → 𝑃 ≠ 𝑄))
17	2, 3, 7	llni2 40828	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
18	17	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
19	16, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  joincjn 18526  Atomscatm 40579  HLchlt 40666  LLinesclln 40807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-proset 18509  df-poset 18528  df-plt 18543  df-lub 18559  df-glb 18560  df-join 18561  df-meet 18562  df-p0 18638  df-lat 18647  df-clat 18714  df-oposet 40492  df-ol 40494  df-oml 40495  df-covers 40582  df-ats 40583  df-atl 40614  df-cvlat 40638  df-hlat 40667  df-llines 40814

This theorem is used by:  cdleme16d  41597