Theorem islln2a 39500

Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln2a.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln2a	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem islln2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2		islln2a.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islln2a.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjidm 39351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
5	4	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
6	1, 5	sylan9eqr 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
7		islln2a.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8	3, 7	llnneat 39497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
9	8	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
10	9	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴))
11	10	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁))
12	11	3impia 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
14	6, 13	eqneltrd 2859	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
16	15	necon2ad 2953	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 → 𝑃 ≠ 𝑄))
17	2, 3, 7	llni2 39495	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
18	17	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
19	16, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LLinesclln 39474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481

This theorem is referenced by:  cdleme16d  40264