Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2a 38899
Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln2a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islln2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islln2a.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 β‰  𝑄))

Proof of Theorem islln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2 islln2a.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 islln2a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3hlatjidm 38750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
543adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
61, 5sylan9eqr 2788 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
7 islln2a.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
83, 7llnneat 38896 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
98adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
109ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∈ 𝑁 β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐴))
1110con2d 134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝑁))
12113impia 1114 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
1312adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
146, 13eqneltrd 2847 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
1514ex 412 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 = 𝑄 β†’ Β¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
1615necon2ad 2949 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 β†’ 𝑃 β‰  𝑄))
172, 3, 7llni2 38894 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
1817ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
1916, 18impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 β‰  𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  joincjn 18274  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LLinesclln 38873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880
This theorem is referenced by:  cdleme16d  39663
  Copyright terms: Public domain W3C validator