Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2a 38994
Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln2a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islln2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islln2a.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 β‰  𝑄))

Proof of Theorem islln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 7431 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2 islln2a.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 islln2a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3hlatjidm 38845 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
543adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
61, 5sylan9eqr 2789 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
7 islln2a.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
83, 7llnneat 38991 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
98adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
109ex 411 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∈ 𝑁 β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐴))
1110con2d 134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝑁))
12113impia 1114 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
1312adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
146, 13eqneltrd 2848 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
1514ex 411 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 = 𝑄 β†’ Β¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
1615necon2ad 2951 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 β†’ 𝑃 β‰  𝑄))
172, 3, 7llni2 38989 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
1817ex 411 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
1916, 18impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 β‰  𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  joincjn 18308  Atomscatm 38739  HLchlt 38826  LLinesclln 38968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975
This theorem is referenced by:  cdleme16d  39758
  Copyright terms: Public domain W3C validator