Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2a 35671
Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln2a.j = (join‘𝐾)
islln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln2a.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))

Proof of Theorem islln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 6929 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2 islln2a.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3 islln2a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3hlatjidm 35523 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
543adant2 1122 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
61, 5sylan9eqr 2836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
7 islln2a.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LLines‘𝐾)
83, 7llnneat 35668 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝑁) → ¬ 𝑄𝐴)
98adantlr 705 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑄𝑁) → ¬ 𝑄𝐴)
109ex 403 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑄𝑁 → ¬ 𝑄𝐴))
1110con2d 132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑄𝐴 → ¬ 𝑄𝑁))
12113impia 1106 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑄𝑁)
1312adantr 474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑄𝑁)
146, 13eqneltrd 2878 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
1514ex 403 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁))
1615necon2ad 2984 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))
172, 3, 7llni2 35666 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
1817ex 403 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁))
1916, 18impbid 204 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cfv 6135  (class class class)co 6922  joincjn 17330  Atomscatm 35417  HLchlt 35504  LLinesclln 35645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-llines 35652
This theorem is referenced by:  cdleme16d  36435
  Copyright terms: Public domain W3C validator