Theorem islln2a 39626

Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln2a.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln2a	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem islln2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2		islln2a.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islln2a.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjidm 39478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
5	4	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
6	1, 5	sylan9eqr 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
7		islln2a.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8	3, 7	llnneat 39623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
9	8	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴)
10	9	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐴))
11	10	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁))
12	11	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑄 ∈ 𝑁)
14	6, 13	eqneltrd 2853	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
16	15	necon2ad 2945	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 → 𝑃 ≠ 𝑄))
17	2, 3, 7	llni2 39621	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
18	17	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁))
19	16, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  joincjn 18227  Atomscatm 39372  HLchlt 39459  LLinesclln 39600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-lat 18348  df-clat 18415  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607

This theorem is referenced by:  cdleme16d  40390