Theorem lplnllnneN 39990

Description: Two lattice lines defined by atoms defining a lattice plane are not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnri1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnri1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnri1.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplnri1.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lplnllnneN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem lplnllnneN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		lplnri1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		lplnri1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lplnri1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5		lplnri1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lplnriaN 39984	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
7		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
8		simpl21 1253	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9		simpl23 1255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3	hlatlej1 39809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
13	11, 12	breqtrd 5100	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆)))
15	14	necon3bd 2944	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆)))
16	6, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  lecple 17216  joincjn 18266  Atomscatm 39697  HLchlt 39784  LPlanesclpl 39926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 39610  df-ol 39612  df-oml 39613  df-covers 39700  df-ats 39701  df-atl 39732  df-cvlat 39756  df-hlat 39785  df-llines 39932  df-lplanes 39933

This theorem is referenced by:  cdleme16aN  40693