Theorem lplnllnneN 38731

Description: Two lattice lines defined by atoms defining a lattice plane are not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnri1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnri1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnri1.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplnri1.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lplnllnneN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem lplnllnneN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		lplnri1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		lplnri1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lplnri1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5		lplnri1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lplnriaN 38725	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
7		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
8		simpl21 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9		simpl23 1252	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3	hlatlej1 38549	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
13	11, 12	breqtrd 5175	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆)))
15	14	necon3bd 2953	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆)))
16	6, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LPlanesclpl 38667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674

This theorem is referenced by:  cdleme16aN  39434