Theorem lplnllnneN 40527

Description: Two lattice lines defined by atoms defining a lattice plane are not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnri1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnri1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnri1.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplnri1.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lplnllnneN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem lplnllnneN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		lplnri1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		lplnri1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lplnri1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5		lplnri1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lplnriaN 40521	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
7		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
8		simpl21 1270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9		simpl23 1272	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3	hlatlej1 40346	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
13	11, 12	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
14	13	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆)))
15	14	necon3bd 2969	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆)))
16	6, 15	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  lecple 17382  joincjn 18432  Atomscatm 40234  HLchlt 40321  LPlanesclpl 40463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18415  df-poset 18434  df-plt 18449  df-lub 18465  df-glb 18466  df-join 18467  df-meet 18468  df-p0 18544  df-lat 18553  df-clat 18620  df-oposet 40147  df-ol 40149  df-oml 40150  df-covers 40237  df-ats 40238  df-atl 40269  df-cvlat 40293  df-hlat 40322  df-llines 40469  df-lplanes 40470

This theorem is used by:  cdleme16aN  41230