Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnllnneN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnllnneN 36797
Description: Two lattice lines defined by atoms defining a lattice plane are not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnri1.j = (join‘𝐾)
lplnri1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnri1.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplnri1.y 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lplnllnneN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑄 𝑆) ≠ (𝑅 𝑆))

Proof of Theorem lplnllnneN
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 lplnri1.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 lplnri1.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lplnri1.p . . 3 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5 lplnri1.y . . 3 𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑆)
61, 2, 3, 4, 5lplnriaN 36791 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 𝑆))
7 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) ∧ (𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
8 simpl21 1248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) ∧ (𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆)) → 𝑄𝐴)
9 simpl23 1250 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) ∧ (𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆)) → 𝑆𝐴)
101, 2, 3hlatlej1 36616 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑆𝐴) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 𝑆))
117, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) ∧ (𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 𝑆))
12 simpr 488 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) ∧ (𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆)) → (𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆))
1311, 12breqtrd 5078 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) ∧ (𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 𝑆))
1413ex 416 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → ((𝑄 𝑆) = (𝑅 𝑆) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 𝑆)))
1514necon3bd 3028 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 𝑆) → (𝑄 𝑆) ≠ (𝑅 𝑆)))
166, 15mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑄 𝑆) ≠ (𝑅 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  lecple 16572  joincjn 17554  Atomscatm 36504  HLchlt 36591  LPlanesclpl 36733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740
This theorem is referenced by:  cdleme16aN  37500
  Copyright terms: Public domain W3C validator