Theorem lplnllnneN 40804

Description: Two lattice lines defined by atoms defining a lattice plane are not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnri1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplnri1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnri1.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplnri1.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lplnllnneN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem lplnllnneN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		lplnri1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		lplnri1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lplnri1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5		lplnri1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lplnriaN 40798	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
7		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
8		simpl21 1270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9		simpl23 1272	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3	hlatlej1 40623	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
13	11, 12	breqtrd 5134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
14	13	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑄 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆)))
15	14	necon3bd 2973	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆)))
16	6, 15	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑆) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  lecple 17461  joincjn 18511  Atomscatm 40511  HLchlt 40598  LPlanesclpl 40740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-lat 18632  df-clat 18699  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-llines 40746  df-lplanes 40747

This theorem is used by:  cdleme16aN  41507