Theorem dvh1dim 41489

Description: There exists a nonzero vector. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh1dim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvh1dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvh1dim	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh1dim

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4		dvh1dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	dvh1dimat 41488	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
6		dvh1dim.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7	1, 2, 4	dvhlmod 41157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
10	6, 3, 8, 9	lsateln0 39042	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑝 𝑧 ≠ 0 )
11		dvh3dim.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12	11, 3, 8, 9	lsatssv 39045	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑝 ⊆ 𝑉)
13	12	sseld 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑧 ∈ 𝑝 → 𝑧 ∈ 𝑉))
14	13	anim1d 611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑧 ≠ 0 ) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
15	14	reximdv2 3142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑝 𝑧 ≠ 0 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ 0 ))
16	10, 15	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ 0 )
17	5, 16	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  LModclmod 20793  LSAtomsclsa 39021  HLchlt 39397  LHypclh 40031  DVecHcdvh 41125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39000

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39023  df-oposet 39223  df-ol 39225  df-oml 39226  df-covers 39313  df-ats 39314  df-atl 39345  df-cvlat 39369  df-hlat 39398  df-llines 39545  df-lplanes 39546  df-lvols 39547  df-lines 39548  df-psubsp 39550  df-pmap 39551  df-padd 39843  df-lhyp 40035  df-laut 40036  df-ldil 40151  df-ltrn 40152  df-trl 40206  df-tendo 40802  df-edring 40804  df-disoa 41076  df-dvech 41126  df-dib 41186  df-dic 41220  df-dih 41276

This theorem is referenced by:  dvh2dim  41492  hdmap14lem14  41928  hgmapval0  41939  hgmapval1  41940  hgmapadd  41941  hgmapmul  41942  hgmaprnlem5N  41947  hgmap11  41949