Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh1dim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh1dim 40825
Description: There exists a nonzero vector. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh1dim.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dvh1dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvh1dim (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑧 β‰  0 )
Distinct variable groups:   𝑧, 0   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh1dim
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2726 . . 3 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
4 dvh1dim.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
51, 2, 3, 4dvh1dimat 40824 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
6 dvh1dim.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
71, 2, 4dvhlmod 40493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
87adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
9 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
106, 3, 8, 9lsateln0 38377 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑝 𝑧 β‰  0 )
11 dvh3dim.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
1211, 3, 8, 9lsatssv 38380 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑝 βŠ† 𝑉)
1312sseld 3976 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑝 β†’ 𝑧 ∈ 𝑉))
1413anim1d 610 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑧 β‰  0 ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 β‰  0 )))
1514reximdv2 3158 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑝 𝑧 β‰  0 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑧 β‰  0 ))
1610, 15mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑧 β‰  0 )
175, 16exlimddv 1930 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑧 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  0gc0g 17391  LModclmod 20703  LSAtomsclsa 38356  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DVecHcdvh 40461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lsatoms 38358  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-disoa 40412  df-dvech 40462  df-dib 40522  df-dic 40556  df-dih 40612
This theorem is referenced by:  dvh2dim  40828  hdmap14lem14  41264  hgmapval0  41275  hgmapval1  41276  hgmapadd  41277  hgmapmul  41278  hgmaprnlem5N  41283  hgmap11  41285
  Copyright terms: Public domain W3C validator