Theorem lsatlss 39488

Description: The set of 1-dim subspaces is a set of subspaces. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatlss.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsatlss	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem lsatlss

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lsatlss.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lsatset 39482	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 = ran (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↦ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
6		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
7		lsatlss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	1, 7, 2	lspsncl 20967	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
9	6, 8	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
10	9	fmpttd 7056	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↦ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})):((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})⟶𝑆)
11	10	frnd 6663	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ran (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↦ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ⊆ 𝑆)
12	5, 11	eqsstrd 3949	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LSAtomsclsa 39466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lsatoms 39468

This theorem is referenced by:  lsatlssel  39489  lssats  39504  lpssat  39505  lssatle  39507  lssat  39508