Theorem lsatlss 40160

Description: The set of 1-dim subspaces is a set of subspaces. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatlss.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsatlss	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem lsatlss

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lsatlss.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lsatset 40154	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 = ran (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↦ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
6		eldifi 4066	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
7		lsatlss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	1, 7, 2	lspsncl 21259	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
9	6, 8	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
10	9	fmpttd 7118	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↦ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})):((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})⟶𝑆)
11	10	frnd 6721	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ran (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ↦ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ⊆ 𝑆)
12	5, 11	eqsstrd 3943	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  0_gc0g 17617  LModclmod 21142  LSubSpclss 21213  LSpanclspn 21253  LSAtomsclsa 40138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-plusg 17448  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mgp 20368  df-ur 20415  df-ring 20468  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-lsatoms 40140

This theorem is used by:  lsatlssel  40161  lssats  40176  lpssat  40177  lssatle  40179  lssat  40180