Theorem dochkr1 41481

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 39072. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkr1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochkr1.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dochkr1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkr1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochkr1.n	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochkr1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, ⊥   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dochkr1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3		dochkr1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochkr1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochkr1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		dochkr1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
8		dochkr1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochkr1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochkr1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochkr1.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochkr1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	3, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12	dochkrsat2 41459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
14	7, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	1, 2, 6, 14	lsateln0 38997	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
16		dochkr1.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	12	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		eldifsn 4785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
21	20	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
22	21	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
23	3, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22	dochfln0 41480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
25	24	reximdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
27	9, 10, 11, 6, 12	lkrssv 39098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
28		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
29	3, 4, 9, 28, 8	dochlss 41357	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	5, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 30	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
33	3, 4, 5	dvhlvec 41112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
34	33	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑈 ∈ LVec)
35	16	lvecdrng 21105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ DivRing)
37	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑈 ∈ LMod)
38	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39	3, 4, 9, 8	dochssv 41358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
40	5, 27, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
41	40	sselda 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
42	41	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
43		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
44	16, 43, 9, 10	lflcl 39066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
47		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
48	43, 17, 47	drnginvrcl 20754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
49	36, 45, 46, 48	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
51	49, 50	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
53	16, 52, 43, 28	lssvscl 20954	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
54	32, 51, 53	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
55	43, 17, 47	drnginvrn0 20755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅))
56	36, 45, 46, 55	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅))
57	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑈 ∈ LMod)
58	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
59		dochkr1.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
60	16, 17, 59, 10	lfl0 39067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅))
61	57, 58, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅))
62		fveqeq2 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐺‘𝑧) = (0g‘𝑅) ↔ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅)))
63	61, 62	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 = 0 → (𝐺‘𝑧) = (0g‘𝑅)))
64	63	necon3d 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ((𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑧 ≠ 0 ))
65	64	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ≠ 0 )
66	9, 52, 16, 43, 17, 59, 34, 49, 42	lvecvsn0 21112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 ↔ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
67	56, 65, 66	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 )
68		eldifsn 4785	. . . . 5 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ↔ ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 ))
69	54, 67, 68	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
70		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
71	16, 43, 70, 9, 52, 10	lflmul 39070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
72	37, 38, 49, 42, 71	syl112anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
73		dochkr1.i	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
74	43, 17, 70, 73, 47	drnginvrl 20757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
75	36, 45, 46, 74	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
76	72, 75	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 )
77		fveqeq2 6914	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ))
78	77	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ (((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )
79	69, 76, 78	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )
80	79	rexlimdv3a 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 ))
81	26, 80	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485  1_rcur 20179  inv_rcinvr 20388  DivRingcdr 20730  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LVecclvec 21102  LSAtomsclsa 38976  LFnlclfn 39059  LKerclk 39087  HLchlt 39352  LHypclh 39987  DVecHcdvh 41081  ocHcoch 41350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-riotaBAD 38955

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-undef 8299  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17487  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-lsatoms 38978  df-lshyp 38979  df-lfl 39060  df-lkr 39088  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162  df-tgrp 40746  df-tendo 40758  df-edring 40760  df-dveca 41006  df-disoa 41032  df-dvech 41082  df-dib 41142  df-dic 41176  df-dih 41232  df-doch 41351  df-djh 41398

This theorem is referenced by:  lcfl6  41503