Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochkr1 38145
Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 35737. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkr1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1.z 0 = (0g𝑈)
dochkr1.i 1 = (1r𝑅)
dochkr1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochkr1.g (𝜑𝐺𝐹)
dochkr1.n (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochkr1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥,   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dochkr1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
2 eqid 2795 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3 dochkr1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dochkr1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochkr1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 37777 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 dochkr1.n . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
8 dochkr1.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9 dochkr1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 dochkr1.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 dochkr1.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 dochkr1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
133, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12dochkrsat2 38123 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
147, 13mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
151, 2, 6, 14lsateln0 35662 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))𝑧 ≠ (0g𝑈))
16 dochkr1.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17 eqid 2795 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
185ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1912ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝐺𝐹)
20 eldifsn 4626 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)))
2120biimpri 229 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}))
2221adantll 710 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}))
233, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22dochfln0 38144 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅))
2423ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g𝑈) → (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)))
2524reximdva 3237 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))𝑧 ≠ (0g𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅))
279, 10, 11, 6, 12lkrssv 35763 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
28 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
293, 4, 9, 28, 8dochlss 38021 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
305, 27, 29syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
316, 30jca 512 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32313ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
333, 4, 5dvhlvec 37776 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
34333ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑈 ∈ LVec)
3516lvecdrng 19567 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ DivRing)
3763ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑈 ∈ LMod)
38123ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝐺𝐹)
393, 4, 9, 8dochssv 38022 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
405, 27, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
4140sselda 3889 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → 𝑧𝑉)
42413adant3 1125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧𝑉)
43 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4416, 43, 9, 10lflcl 35731 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
4537, 38, 42, 44syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46 simp3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅))
47 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4843, 17, 47drnginvrcl 19209 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
4936, 45, 46, 48syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50 simp2 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
5149, 50jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
52 eqid 2795 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
5316, 52, 43, 28lssvscl 19417 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
5432, 51, 53syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
5543, 17, 47drnginvrn0 19210 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ≠ (0g𝑅))
5636, 45, 46, 55syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ≠ (0g𝑅))
576adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → 𝑈 ∈ LMod)
5812adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → 𝐺𝐹)
59 dochkr1.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑈)
6016, 17, 59, 10lfl0 35732 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺0 ) = (0g𝑅))
6157, 58, 60syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → (𝐺0 ) = (0g𝑅))
62 fveqeq2 6547 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → ((𝐺𝑧) = (0g𝑅) ↔ (𝐺0 ) = (0g𝑅)))
6361, 62syl5ibrcom 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → (𝑧 = 0 → (𝐺𝑧) = (0g𝑅)))
6463necon3d 3005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → ((𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅) → 𝑧0 ))
65643impia 1110 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧0 )
669, 52, 16, 43, 17, 59, 34, 49, 42lvecvsn0 19571 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ≠ 0 ↔ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧0 )))
6756, 65, 66mpbir2and 709 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ≠ 0 )
68 eldifsn 4626 . . . . 5 ((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ↔ ((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ≠ 0 ))
6954, 67, 68sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
70 eqid 2795 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7116, 43, 70, 9, 52, 10lflmul 35735 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)))
7237, 38, 49, 42, 71syl112anc 1367 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)))
73 dochkr1.i . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
7443, 17, 70, 73, 47drnginvrl 19211 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)) = 1 )
7536, 45, 46, 74syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)) = 1 )
7672, 75eqtrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 )
77 fveqeq2 6547 . . . . 5 (𝑥 = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) → ((𝐺𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 ))
7877rspcev 3559 . . . 4 (((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
7969, 76, 78syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
8079rexlimdv3a 3249 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅) → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 ))
8126, 80mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106  cdif 3856  wss 3859  {csn 4472  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  .rcmulr 16395  Scalarcsca 16397   ·𝑠 cvsca 16398  0gc0g 16542  1rcur 18941  invrcinvr 19111  DivRingcdr 19192  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  LVecclvec 19564  LSAtomsclsa 35641  LFnlclfn 35724  LKerclk 35752  HLchlt 36017  LHypclh 36651  DVecHcdvh 37745  ocHcoch 38014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-riotaBAD 35620
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-undef 7790  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35643  df-lshyp 35644  df-lfl 35725  df-lkr 35753  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166  df-lvols 36167  df-lines 36168  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463  df-lhyp 36655  df-laut 36656  df-ldil 36771  df-ltrn 36772  df-trl 36826  df-tgrp 37410  df-tendo 37422  df-edring 37424  df-dveca 37670  df-disoa 37696  df-dvech 37746  df-dib 37806  df-dic 37840  df-dih 37896  df-doch 38015  df-djh 38062
This theorem is referenced by:  lcfl6  38167
  Copyright terms: Public domain W3C validator