Theorem dochkr1 42040

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 39632. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkr1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochkr1.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dochkr1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkr1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochkr1.n	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochkr1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, ⊥   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dochkr1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3		dochkr1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochkr1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochkr1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		dochkr1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
8		dochkr1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochkr1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochkr1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochkr1.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochkr1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	3, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12	dochkrsat2 42018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
14	7, 13	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	1, 2, 6, 14	lsateln0 39557	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
16		dochkr1.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	12	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		eldifsn 4736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
21	20	biimpri 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
22	21	adantll 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
23	3, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22	dochfln0 42039	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
24	23	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
25	24	reximdva 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
27	9, 10, 11, 6, 12	lkrssv 39658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
28		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
29	3, 4, 9, 28, 8	dochlss 41916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	5, 27, 29	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 30	jca 518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32	31	3ad2ant1 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
33	3, 4, 5	dvhlvec 41671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
34	33	3ad2ant1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑈 ∈ LVec)
35	16	lvecdrng 21141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ DivRing)
37	6	3ad2ant1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑈 ∈ LMod)
38	12	3ad2ant1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39	3, 4, 9, 8	dochssv 41917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
40	5, 27, 39	syl2anc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
41	40	sselda 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
42	41	3adant3 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
43		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
44	16, 43, 9, 10	lflcl 39626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
47		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
48	43, 17, 47	drnginvrcl 20771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
49	36, 45, 46, 48	syl3anc 1382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50		simp2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
51	49, 50	jca 518	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
53	16, 52, 43, 28	lssvscl 20991	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
54	32, 51, 53	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
55	43, 17, 47	drnginvrn0 20772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅))
56	36, 45, 46, 55	syl3anc 1382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅))
57	6	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑈 ∈ LMod)
58	12	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
59		dochkr1.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
60	16, 17, 59, 10	lfl0 39627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅))
61	57, 58, 60	syl2anc 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅))
62		fveqeq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐺‘𝑧) = (0g‘𝑅) ↔ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅)))
63	61, 62	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 = 0 → (𝐺‘𝑧) = (0g‘𝑅)))
64	63	necon3d 2968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ((𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑧 ≠ 0 ))
65	64	3impia 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ≠ 0 )
66	9, 52, 16, 43, 17, 59, 34, 49, 42	lvecvsn0 21148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 ↔ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
67	56, 65, 66	mpbir2and 721	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 )
68		eldifsn 4736	. . . . 5 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ↔ ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 ))
69	54, 67, 68	sylanbrc 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
70		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
71	16, 43, 70, 9, 52, 10	lflmul 39630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
72	37, 38, 49, 42, 71	syl112anc 1385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
73		dochkr1.i	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
74	43, 17, 70, 73, 47	drnginvrl 20774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
75	36, 45, 46, 74	syl3anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
76	72, 75	eqtrd 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 )
77		fveqeq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ))
78	77	rspcev 3572	. . . 4 ⊢ (((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )
79	69, 76, 78	syl2anc 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )
80	79	rexlimdv3a 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 ))
81	26, 80	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3892   ⊆ wss 3895  {csn 4572  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259  Scalarcsca 17261   ·_𝑠 cvsca 17262  0_gc0g 17440  1_rcur 20199  inv_rcinvr 20404  DivRingcdr 20747  LModclmod 20896  LSubSpclss 20967  LVecclvec 21138  LSAtomsclsa 39536  LFnlclfn 39619  LKerclk 39647  HLchlt 39912  LHypclh 40546  DVecHcdvh 41640  ocHcoch 41909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 39515

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-undef 8237  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-0g 17442  df-proset 18298  df-poset 18317  df-plt 18332  df-lub 18348  df-glb 18349  df-join 18350  df-meet 18351  df-p0 18427  df-p1 18428  df-lat 18436  df-clat 18503  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-cntz 19329  df-lsm 19648  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20749  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-lvec 21139  df-lsatoms 39538  df-lshyp 39539  df-lfl 39620  df-lkr 39648  df-oposet 39738  df-ol 39740  df-oml 39741  df-covers 39828  df-ats 39829  df-atl 39860  df-cvlat 39884  df-hlat 39913  df-llines 40060  df-lplanes 40061  df-lvols 40062  df-lines 40063  df-psubsp 40065  df-pmap 40066  df-padd 40358  df-lhyp 40550  df-laut 40551  df-ldil 40666  df-ltrn 40667  df-trl 40721  df-tgrp 41305  df-tendo 41317  df-edring 41319  df-dveca 41565  df-disoa 41591  df-dvech 41641  df-dib 41701  df-dic 41735  df-dih 41791  df-doch 41910  df-djh 41957

This theorem is referenced by:  lcfl6  42062