Theorem dochkr1 38145

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 35737. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkr1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochkr1.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dochkr1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkr1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochkr1.n	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochkr1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, ⊥   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dochkr1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3		dochkr1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochkr1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochkr1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 37777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		dochkr1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
8		dochkr1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochkr1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochkr1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochkr1.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochkr1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	3, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12	dochkrsat2 38123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
14	7, 13	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	1, 2, 6, 14	lsateln0 35662	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
16		dochkr1.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	5	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	12	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		eldifsn 4626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
21	20	biimpri 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
22	21	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
23	3, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22	dochfln0 38144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
24	23	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
25	24	reximdva 3237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
27	9, 10, 11, 6, 12	lkrssv 35763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
28		eqid 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
29	3, 4, 9, 28, 8	dochlss 38021	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	5, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 30	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32	31	3ad2ant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
33	3, 4, 5	dvhlvec 37776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
34	33	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑈 ∈ LVec)
35	16	lvecdrng 19567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ DivRing)
37	6	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑈 ∈ LMod)
38	12	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39	3, 4, 9, 8	dochssv 38022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
40	5, 27, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
41	40	sselda 3889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
42	41	3adant3 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
43		eqid 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
44	16, 43, 9, 10	lflcl 35731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
47		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
48	43, 17, 47	drnginvrcl 19209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
49	36, 45, 46, 48	syl3anc 1364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50		simp2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
51	49, 50	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
53	16, 52, 43, 28	lssvscl 19417	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
54	32, 51, 53	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
55	43, 17, 47	drnginvrn0 19210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅))
56	36, 45, 46, 55	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅))
57	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑈 ∈ LMod)
58	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
59		dochkr1.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
60	16, 17, 59, 10	lfl0 35732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅))
61	57, 58, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅))
62		fveqeq2 6547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝐺‘𝑧) = (0g‘𝑅) ↔ (𝐺‘ 0 ) = (0g‘𝑅)))
63	61, 62	syl5ibrcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 = 0 → (𝐺‘𝑧) = (0g‘𝑅)))
64	63	necon3d 3005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ((𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑧 ≠ 0 ))
65	64	3impia 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑧 ≠ 0 )
66	9, 52, 16, 43, 17, 59, 34, 49, 42	lvecvsn0 19571	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 ↔ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
67	56, 65, 66	mpbir2and 709	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 )
68		eldifsn 4626	. . . . 5 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ↔ ((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ≠ 0 ))
69	54, 67, 68	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
70		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
71	16, 43, 70, 9, 52, 10	lflmul 35735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
72	37, 38, 49, 42, 71	syl112anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
73		dochkr1.i	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
74	43, 17, 70, 73, 47	drnginvrl 19211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
75	36, 45, 46, 74	syl3anc 1364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
76	72, 75	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 )
77		fveqeq2 6547	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ))
78	77	rspcev 3559	. . . 4 ⊢ (((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )
79	69, 76, 78	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )
80	79	rexlimdv3a 3249	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 ))
81	26, 80	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  {csn 4472  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  ._rcmulr 16395  Scalarcsca 16397   ·_𝑠 cvsca 16398  0_gc0g 16542  1_rcur 18941  inv_rcinvr 19111  DivRingcdr 19192  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  LVecclvec 19564  LSAtomsclsa 35641  LFnlclfn 35724  LKerclk 35752  HLchlt 36017  LHypclh 36651  DVecHcdvh 37745  ocHcoch 38014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-riotaBAD 35620

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-undef 7790  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35643  df-lshyp 35644  df-lfl 35725  df-lkr 35753  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166  df-lvols 36167  df-lines 36168  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463  df-lhyp 36655  df-laut 36656  df-ldil 36771  df-ltrn 36772  df-trl 36826  df-tgrp 37410  df-tendo 37422  df-edring 37424  df-dveca 37670  df-disoa 37696  df-dvech 37746  df-dib 37806  df-dic 37840  df-dih 37896  df-doch 38015  df-djh 38062

This theorem is referenced by:  lcfl6  38167