Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkr1OLDN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dochkr1OLDN 40653
Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 38243. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkr1OLD.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochkr1OLD.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochkr1OLD.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochkr1OLD.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochkr1OLD.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dochkr1OLD.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
dochkr1OLD.i 1 = (1rβ€˜π‘…)
dochkr1OLD.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
dochkr1OLD.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
dochkr1OLD.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dochkr1OLD.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
dochkr1OLD.n (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β‰  𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochkr1OLDN (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
Distinct variable groups:   π‘₯, 1   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯, βŠ₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   0 (π‘₯)
Proof of Theorem dochkr1OLDN
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . 4 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2730 . . . 4 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
3 dochkr1OLD.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dochkr1OLD.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dochkr1OLD.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 40284 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
7 dochkr1OLD.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β‰  𝑉)
8 dochkr1OLD.o . . . . . 6 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dochkr1OLD.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 dochkr1OLD.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
11 dochkr1OLD.l . . . . . 6 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
12 dochkr1OLD.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
133, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12dochkrsat2 40630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β‰  𝑉 ↔ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)))
147, 13mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
151, 2, 6, 14lsateln0 38168 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
16 dochkr1OLD.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
17 dochkr1OLD.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
185ad2antrr 722 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1912ad2antrr 722 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
20 eldifsn 4789 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ (𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
2120biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑧 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
2221adantll 710 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑧 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
233, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22dochfln0 40651 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
2423ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β†’ (𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ))
2524reximdva 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ))
2615, 25mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
279, 10, 11, 6, 12lkrssv 38269 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
28 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
293, 4, 9, 28, 8dochlss 40528 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
305, 27, 29syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
316, 30jca 510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ LMod ∧ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)))
32313ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (π‘ˆ ∈ LMod ∧ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)))
333, 4, 5dvhlvec 40283 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
34333ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
3516lvecdrng 20860 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
3763ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
38123ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
393, 4, 9, 8dochssv 40529 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑉)
405, 27, 39syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑉)
4140sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
42413adant3 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
43 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4416, 43, 9, 10lflcl 38237 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4537, 38, 42, 44syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
46 simp3 1136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
47 eqid 2730 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
4843, 17, 47drnginvrcl 20522 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4936, 45, 46, 48syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
50 simp2 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
51 eqid 2730 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
5216, 51, 43, 28lssvscl 20710 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
5332, 49, 50, 52syl12anc 833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
54 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5516, 43, 54, 9, 51, 10lflmul 38241 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
5637, 38, 49, 42, 55syl112anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
57 dochkr1OLD.i . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘…)
5843, 17, 54, 57, 47drnginvrl 20525 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)) = 1 )
5936, 45, 46, 58syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)) = 1 )
6056, 59eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = 1 )
61 fveqeq2 6899 . . . . 5 (π‘₯ = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 1 ↔ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = 1 ))
6261rspcev 3611 . . . 4 (((((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = 1 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
6353, 60, 62syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
6463rexlimdv3a 3157 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘₯) = 1 ))
6526, 64mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))(πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  1rcur 20075  invrcinvr 20278  DivRingcdr 20500  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LVecclvec 20857  LSAtomsclsa 38147  LFnlclfn 38230  LKerclk 38258  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  ocHcoch 40521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator