Theorem dochkr1OLDN 41466

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 39056. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkr1OLD.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1OLD.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1OLD.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1OLD.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1OLD.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1OLD.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dochkr1OLD.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dochkr1OLD.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1OLD.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1OLD.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkr1OLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochkr1OLD.n	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochkr1OLDN	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, ⊥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dochkr1OLDN

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3		dochkr1OLD.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochkr1OLD.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochkr1OLD.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		dochkr1OLD.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
8		dochkr1OLD.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochkr1OLD.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochkr1OLD.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochkr1OLD.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochkr1OLD.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	3, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12	dochkrsat2 41443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
14	7, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	1, 2, 6, 14	lsateln0 38981	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
16		dochkr1OLD.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17		dochkr1OLD.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	12	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		eldifsn 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
21	20	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
22	21	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
23	3, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22	dochfln0 41464	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
25	24	reximdva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
27	9, 10, 11, 6, 12	lkrssv 39082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
28		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
29	3, 4, 9, 28, 8	dochlss 41341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	5, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 30	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
33	3, 4, 5	dvhlvec 41096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
34	33	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ LVec)
35	16	lvecdrng 21044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
37	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ LMod)
38	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39	3, 4, 9, 8	dochssv 41342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
40	5, 27, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
41	40	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
42	41	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ 𝑉)
43		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
44	16, 43, 9, 10	lflcl 39050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
47		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
48	43, 17, 47	drnginvrcl 20673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
49	36, 45, 46, 48	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
51		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
52	16, 51, 43, 28	lssvscl 20893	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
53	32, 49, 50, 52	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
54		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
55	16, 43, 54, 9, 51, 10	lflmul 39054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
56	37, 38, 49, 42, 55	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
57		dochkr1OLD.i	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
58	43, 17, 54, 57, 47	drnginvrl 20676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
59	36, 45, 46, 58	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
60	56, 59	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 )
61		fveqeq2 6849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ))
62	61	rspcev 3585	. . . 4 ⊢ (((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )
63	53, 60, 62	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )
64	63	rexlimdv3a 3138	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 ))
65	26, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  1_rcur 20101  inv_rcinvr 20307  DivRingcdr 20649  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  LVecclvec 21041  LSAtomsclsa 38960  LFnlclfn 39043  LKerclk 39071  HLchlt 39336  LHypclh 39971  DVecHcdvh 41065  ocHcoch 41334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lsatoms 38962  df-lshyp 38963  df-lfl 39044  df-lkr 39072  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tgrp 40730  df-tendo 40742  df-edring 40744  df-dveca 40990  df-disoa 41016  df-dvech 41066  df-dib 41126  df-dic 41160  df-dih 41216  df-doch 41335  df-djh 41382

This theorem is referenced by: (None)