Theorem dochkr1OLDN 39420

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 37011. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkr1OLD.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1OLD.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1OLD.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1OLD.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1OLD.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1OLD.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dochkr1OLD.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dochkr1OLD.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1OLD.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1OLD.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkr1OLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochkr1OLD.n	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochkr1OLDN	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, ⊥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dochkr1OLDN

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3		dochkr1OLD.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochkr1OLD.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochkr1OLD.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 39051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		dochkr1OLD.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
8		dochkr1OLD.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochkr1OLD.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochkr1OLD.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochkr1OLD.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochkr1OLD.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	3, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12	dochkrsat2 39397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
14	7, 13	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	1, 2, 6, 14	lsateln0 36936	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
16		dochkr1OLD.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17		dochkr1OLD.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	5	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	12	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		eldifsn 4717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
21	20	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
22	21	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ {(0g‘𝑈)}))
23	3, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22	dochfln0 39418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
25	24	reximdva 3202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))𝑧 ≠ (0g‘𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
27	9, 10, 11, 6, 12	lkrssv 37037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
28		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
29	3, 4, 9, 28, 8	dochlss 39295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	5, 27, 29	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 30	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32	31	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
33	3, 4, 5	dvhlvec 39050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
34	33	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ LVec)
35	16	lvecdrng 20282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
37	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ LMod)
38	12	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
39	3, 4, 9, 8	dochssv 39296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
40	5, 27, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
41	40	sselda 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
42	41	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ 𝑉)
43		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
44	16, 43, 9, 10	lflcl 37005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
47		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
48	43, 17, 47	drnginvrcl 19923	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
49	36, 45, 46, 48	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
51		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
52	16, 51, 43, 28	lssvscl 20132	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
53	32, 49, 50, 52	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
54		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
55	16, 43, 54, 9, 51, 10	lflmul 37009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
56	37, 38, 49, 42, 55	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
57		dochkr1OLD.i	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
58	43, 17, 54, 57, 47	drnginvrl 19925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
59	36, 45, 46, 58	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
60	56, 59	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 )
61		fveqeq2 6765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ))
62	61	rspcev 3552	. . . 4 ⊢ (((((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘(((invr‘𝑅)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )
63	53, 60, 62	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )
64	63	rexlimdv3a 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 ))
65	26, 64	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))(𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LVecclvec 20279  LSAtomsclsa 36915  LFnlclfn 36998  LKerclk 37026  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  ocHcoch 39288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336

This theorem is referenced by: (None)