Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkr1OLDN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochkr1OLDN 39798
Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 37388. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkr1OLD.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1OLD.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1OLD.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1OLD.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1OLD.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1OLD.z 0 = (0g𝑅)
dochkr1OLD.i 1 = (1r𝑅)
dochkr1OLD.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1OLD.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1OLD.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochkr1OLD.g (𝜑𝐺𝐹)
dochkr1OLD.n (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochkr1OLDN (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑥) = 1 )
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dochkr1OLDN
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
2 eqid 2737 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3 dochkr1OLD.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dochkr1OLD.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochkr1OLD.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 39429 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 dochkr1OLD.n . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
8 dochkr1OLD.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9 dochkr1OLD.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 dochkr1OLD.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 dochkr1OLD.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 dochkr1OLD.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
133, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12dochkrsat2 39775 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
147, 13mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
151, 2, 6, 14lsateln0 37313 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))𝑧 ≠ (0g𝑈))
16 dochkr1OLD.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17 dochkr1OLD.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
185ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1912ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝐺𝐹)
20 eldifsn 4742 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)))
2120biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}))
2221adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}))
233, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22dochfln0 39796 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑧) ≠ 0 )
2423ex 414 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g𝑈) → (𝐺𝑧) ≠ 0 ))
2524reximdva 3163 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))𝑧 ≠ (0g𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ 0 ))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ 0 )
279, 10, 11, 6, 12lkrssv 37414 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
28 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
293, 4, 9, 28, 8dochlss 39673 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
305, 27, 29syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
316, 30jca 513 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32313ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
333, 4, 5dvhlvec 39428 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
34333ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ LVec)
3516lvecdrng 20477 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
3763ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ LMod)
38123ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺𝐹)
393, 4, 9, 8dochssv 39674 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
405, 27, 39syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
4140sselda 3939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → 𝑧𝑉)
42413adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧𝑉)
43 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4416, 43, 9, 10lflcl 37382 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
4537, 38, 42, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺𝑧) ≠ 0 )
47 eqid 2737 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4843, 17, 47drnginvrcl 20117 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
4936, 45, 46, 48syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50 simp2 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
51 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
5216, 51, 43, 28lssvscl 20327 . . . . 5 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
5332, 49, 50, 52syl12anc 835 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
54 eqid 2737 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5516, 43, 54, 9, 51, 10lflmul 37386 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)))
5637, 38, 49, 42, 55syl112anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)))
57 dochkr1OLD.i . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
5843, 17, 54, 57, 47drnginvrl 20119 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)) = 1 )
5936, 45, 46, 58syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)) = 1 )
6056, 59eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 )
61 fveqeq2 6843 . . . . 5 (𝑥 = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) → ((𝐺𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 ))
6261rspcev 3576 . . . 4 (((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑥) = 1 )
6353, 60, 62syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑥) = 1 )
6463rexlimdv3a 3154 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑥) = 1 ))
6526, 64mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑥) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  cdif 3902  wss 3905  {csn 4581  cfv 6488  (class class class)co 7346  Basecbs 17014  .rcmulr 17065  Scalarcsca 17067   ·𝑠 cvsca 17068  0gc0g 17252  1rcur 19836  invrcinvr 20012  DivRingcdr 20097  LModclmod 20233  LSubSpclss 20303  LVecclvec 20474  LSAtomsclsa 37292  LFnlclfn 37375  LKerclk 37403  HLchlt 37668  LHypclh 38303  DVecHcdvh 39397  ocHcoch 39666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-riotaBAD 37271
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-tpos 8121  df-undef 8168  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-fz 13350  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-0g 17254  df-proset 18115  df-poset 18133  df-plt 18150  df-lub 18166  df-glb 18167  df-join 18168  df-meet 18169  df-p0 18245  df-p1 18246  df-lat 18252  df-clat 18319  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-submnd 18533  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-subg 18853  df-cntz 19024  df-lsm 19342  df-cmn 19488  df-abl 19489  df-mgp 19820  df-ur 19837  df-ring 19884  df-oppr 19961  df-dvdsr 19982  df-unit 19983  df-invr 20013  df-dvr 20024  df-drng 20099  df-lmod 20235  df-lss 20304  df-lsp 20344  df-lvec 20475  df-lsatoms 37294  df-lshyp 37295  df-lfl 37376  df-lkr 37404  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-llines 37817  df-lplanes 37818  df-lvols 37819  df-lines 37820  df-psubsp 37822  df-pmap 37823  df-padd 38115  df-lhyp 38307  df-laut 38308  df-ldil 38423  df-ltrn 38424  df-trl 38478  df-tgrp 39062  df-tendo 39074  df-edring 39076  df-dveca 39322  df-disoa 39348  df-dvech 39398  df-dib 39458  df-dic 39492  df-dih 39548  df-doch 39667  df-djh 39714
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator