Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem40 41562
Description: Lemma for lcfr 41565. Eliminate 𝐵 and 𝐼. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑𝐺𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑𝑋0 )
lcfrlem38.y (𝜑𝑌0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem40 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑓,𝑔,𝐿   ,𝑓,𝑔   + ,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔   𝑓,𝑋,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔   0 ,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem40
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g𝑈)
2 eqid 2736 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3 lcfrlem38.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 lcfrlem38.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 41090 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 lcfrlem38.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9 lcfrlem38.p . . . 4 + = (+g𝑈)
10 lcfrlem38.sp . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
173, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 16lcfrlem4 41525 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
19 eldifsn 4784 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑋0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
21 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐸)
223, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 21lcfrlem4 41525 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
23 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
24 eldifsn 4784 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑌0 ))
2522, 23, 24sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
26 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
273, 7, 4, 8, 9, 1, 10, 2, 5, 20, 25, 26lcfrlem21 41543 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
281, 2, 6, 27lsateln0 38974 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 )
29 lcfrlem38.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
30 lcfrlem38.c . . . 4 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
3153ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32153ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝑄)
33 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑𝐺𝐶)
34333ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝐶)
35163ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋𝐸)
36213ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌𝐸)
37183ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋0 )
38233ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌0 )
39263ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40 eqid 2736 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
41 simp2 1138 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
42 simp3 1139 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖0 )
433, 7, 4, 9, 29, 11, 12, 13, 30, 14, 31, 32, 34, 35, 36, 1, 37, 38, 10, 39, 40, 41, 42lcfrlem39 41561 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
4443rexlimdv3a 3158 . 2 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸))
4528, 44mpd 15 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2939  wrex 3069  {crab 3435  cdif 3947  cin 3949  wss 3950  {csn 4624  {cpr 4626   ciun 4989  cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  +gcplusg 17293  0gc0g 17480  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LSAtomsclsa 38953  LFnlclfn 39036  LKerclk 39064  LDualcld 39102  HLchlt 39329  LHypclh 39964  DVecHcdvh 41058  ocHcoch 41327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-riotaBAD 38932
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-undef 8294  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-0g 17482  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-proset 18336  df-poset 18355  df-plt 18371  df-lub 18387  df-glb 18388  df-join 18389  df-meet 18390  df-p0 18466  df-p1 18467  df-lat 18473  df-clat 18540  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-cntz 19331  df-oppg 19360  df-lsm 19650  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-ring 20228  df-oppr 20326  df-dvdsr 20349  df-unit 20350  df-invr 20380  df-dvr 20393  df-nzr 20505  df-rlreg 20686  df-domn 20687  df-drng 20723  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094  df-lsatoms 38955  df-lshyp 38956  df-lcv 38998  df-lfl 39037  df-lkr 39065  df-ldual 39103  df-oposet 39155  df-ol 39157  df-oml 39158  df-covers 39245  df-ats 39246  df-atl 39277  df-cvlat 39301  df-hlat 39330  df-llines 39478  df-lplanes 39479  df-lvols 39480  df-lines 39481  df-psubsp 39483  df-pmap 39484  df-padd 39776  df-lhyp 39968  df-laut 39969  df-ldil 40084  df-ltrn 40085  df-trl 40139  df-tgrp 40723  df-tendo 40735  df-edring 40737  df-dveca 40983  df-disoa 41009  df-dvech 41059  df-dib 41119  df-dic 41153  df-dih 41209  df-doch 41328  df-djh 41375
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  41563
  Copyright terms: Public domain W3C validator