Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem40 41187
Description: Lemma for lcfr 41190. Eliminate 𝐵 and 𝐼. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑𝐺𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑𝑋0 )
lcfrlem38.y (𝜑𝑌0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem40 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑓,𝑔,𝐿   ,𝑓,𝑔   + ,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔   𝑓,𝑋,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔   0 ,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem40
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g𝑈)
2 eqid 2725 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3 lcfrlem38.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 lcfrlem38.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 40715 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 lcfrlem38.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9 lcfrlem38.p . . . 4 + = (+g𝑈)
10 lcfrlem38.sp . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
173, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 16lcfrlem4 41150 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
19 eldifsn 4792 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑋0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 581 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
21 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐸)
223, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 21lcfrlem4 41150 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
23 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
24 eldifsn 4792 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑌0 ))
2522, 23, 24sylanbrc 581 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
26 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
273, 7, 4, 8, 9, 1, 10, 2, 5, 20, 25, 26lcfrlem21 41168 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
281, 2, 6, 27lsateln0 38599 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 )
29 lcfrlem38.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
30 lcfrlem38.c . . . 4 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
3153ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32153ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝑄)
33 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑𝐺𝐶)
34333ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝐶)
35163ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋𝐸)
36213ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌𝐸)
37183ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋0 )
38233ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌0 )
39263ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40 eqid 2725 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
41 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
42 simp3 1135 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖0 )
433, 7, 4, 9, 29, 11, 12, 13, 30, 14, 31, 32, 34, 35, 36, 1, 37, 38, 10, 39, 40, 41, 42lcfrlem39 41186 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
4443rexlimdv3a 3148 . 2 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸))
4528, 44mpd 15 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  {crab 3418  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  {csn 4630  {cpr 4632   ciun 4997  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  +gcplusg 17241  0gc0g 17429  LSubSpclss 20832  LSpanclspn 20872  LSAtomsclsa 38578  LFnlclfn 38661  LKerclk 38689  LDualcld 38727  HLchlt 38954  LHypclh 39589  DVecHcdvh 40683  ocHcoch 40952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38557
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-0g 17431  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-proset 18295  df-poset 18313  df-plt 18330  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-p0 18425  df-p1 18426  df-lat 18432  df-clat 18499  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-oppg 19314  df-lsm 19608  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-dvr 20357  df-drng 20643  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-lsp 20873  df-lvec 21005  df-lsatoms 38580  df-lshyp 38581  df-lcv 38623  df-lfl 38662  df-lkr 38690  df-ldual 38728  df-oposet 38780  df-ol 38782  df-oml 38783  df-covers 38870  df-ats 38871  df-atl 38902  df-cvlat 38926  df-hlat 38955  df-llines 39103  df-lplanes 39104  df-lvols 39105  df-lines 39106  df-psubsp 39108  df-pmap 39109  df-padd 39401  df-lhyp 39593  df-laut 39594  df-ldil 39709  df-ltrn 39710  df-trl 39764  df-tgrp 40348  df-tendo 40360  df-edring 40362  df-dveca 40608  df-disoa 40634  df-dvech 40684  df-dib 40744  df-dic 40778  df-dih 40834  df-doch 40953  df-djh 41000
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  41188
  Copyright terms: Public domain W3C validator