Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem40 38710
Description: Lemma for lcfr 38713. Eliminate 𝐵 and 𝐼. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑𝐺𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑𝑋0 )
lcfrlem38.y (𝜑𝑌0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem40 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑓,𝑔,𝐿   ,𝑓,𝑔   + ,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔   𝑓,𝑋,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔   0 ,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem40
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g𝑈)
2 eqid 2819 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3 lcfrlem38.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 lcfrlem38.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 38238 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 lcfrlem38.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2819 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9 lcfrlem38.p . . . 4 + = (+g𝑈)
10 lcfrlem38.sp . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
173, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 16lcfrlem4 38673 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
19 eldifsn 4711 . . . . 5 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑋0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 585 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
21 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐸)
223, 7, 4, 8, 11, 12, 13, 14, 5, 15, 21lcfrlem4 38673 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
23 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
24 eldifsn 4711 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑌0 ))
2522, 23, 24sylanbrc 585 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑈) ∖ { 0 }))
26 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
273, 7, 4, 8, 9, 1, 10, 2, 5, 20, 25, 26lcfrlem21 38691 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
281, 2, 6, 27lsateln0 36123 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 )
29 lcfrlem38.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
30 lcfrlem38.c . . . 4 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
3153ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32153ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝑄)
33 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑𝐺𝐶)
34333ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝐺𝐶)
35163ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋𝐸)
36213ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌𝐸)
37183ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑋0 )
38233ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑌0 )
39263ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40 eqid 2819 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
41 simp2 1132 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
42 simp3 1133 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → 𝑖0 )
433, 7, 4, 9, 29, 11, 12, 13, 30, 14, 31, 32, 34, 35, 36, 1, 37, 38, 10, 39, 40, 41, 42lcfrlem39 38709 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ 𝑖0 ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
4443rexlimdv3a 3284 . 2 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))𝑖0 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸))
4528, 44mpd 15 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  wrex 3137  {crab 3140  cdif 3931  cin 3933  wss 3934  {csn 4559  {cpr 4561   ciun 4910  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LSAtomsclsa 36102  LFnlclfn 36185  LKerclk 36213  LDualcld 36251  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  ocHcoch 38475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36104  df-lshyp 36105  df-lcv 36147  df-lfl 36186  df-lkr 36214  df-ldual 36252  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tgrp 37871  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-dveca 38131  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476  df-djh 38523
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  38711
  Copyright terms: Public domain W3C validator