Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoelN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoelN 38712
Description: Composition of lattice translations of an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 38708 uses. (Contributed by NM, 1-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnel.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnel.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrncoelN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ π‘Š))

Proof of Theorem ltrncoelN
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2l 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 ltrnel.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6ltrnel 38708 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
873adant2l 1178 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
93, 4, 5, 6ltrnel 38708 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ π‘Š))
101, 2, 8, 9syl3anc 1371 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  lecple 17169  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-map 8789  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-glb 18265  df-p0 18343  df-lat 18350  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator